Hisamuddin Sk
Updated: March 09, 2026মনে রাখার সহজ নিয়ম:
- অংকে যদি 'সবচেয়ে বড়ো', 'সর্বাধিক', 'বৃহত্তম' বা 'সবচেয়ে লম্বা' ইত্যাদি থাকে, তবে সাধারণত গ.সা.গু. (HCF) নির্ণয় করতে হয়।
- অংকে যদি 'সবচেয়ে ছোটো', 'ক্ষুদ্রতম', 'কমপক্ষে' বা 'একসাথে কখন' ইত্যাদি থাকে, তবে ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয় করতে হয়।
যেহেতু 'সবচেয়ে বড়ো মাপের পাত্র' বলা হয়েছে, তাই 35, 56 এবং 84 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
35 = 5 × 7
56 = 2 × 2 × 2 × 7
84 = 2 × 2 × 3 × 7
গ.সা.গু. = 7
উত্তর: সবচেয়ে বড়ো 7 লিটার মাপের পাত্র দিয়ে পূর্ণসংখ্যক বার মাপতে পারব।
যেহেতু 'সবচেয়ে লম্বা দৈর্ঘ্যের ফিতে' বলা হয়েছে, তাই 2000 এবং 1600 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
1600 ) 2000 ( 1
1600
-------
400 ) 1600 ( 4
1600
-------
0
গ.সা.গু. = 400
উত্তর: সবচেয়ে লম্বা 400 সেমি. দৈর্ঘ্যের ফিতে দিয়ে পূর্ণসংখ্যায় মাপতে পারব।
সবচেয়ে বেশি পরিবারের সংখ্যা বের করতে 1071, 595 এবং 357 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
1071 = 3 × 3 × 7 × 17
595 = 5 × 7 × 17
357 = 3 × 7 × 17
গ.সা.গু. = 7 × 17 = 119
সবচেয়ে বেশি 119 টি পরিবারের মধ্যে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
- প্রত্যেক পরিবার ধুতি পাবে = 1071 ÷ 119 = 9 টি
- প্রত্যেক পরিবার শাড়ি পাবে = 595 ÷ 119 = 5 টি
- প্রত্যেক পরিবার জামা পাবে = 357 ÷ 119 = 3 টি
সামনের চাকার পরিধি = 1 মি. 4 ডেসিমি. = (10 + 4) = 14 ডেসিমি.
পেছনের চাকার পরিধি = 14 ডেসিমি. এর আড়াই গুণ (2.5) = (14 × 2.5) = 35 ডেসিমি.
কমপক্ষে কত পথ জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই 14 এবং 35 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
35 = 5 × 7
ল.সা.গু. = 2 × 5 × 7 = 70
উত্তর: কমপক্ষে 70 ডেসিমি. (বা 7 মিটার) পথ গেলে চাকা দুটি একই সঙ্গে পূর্ণসংখ্যক বার ঘোরা সম্পূর্ণ করবে।
যেহেতু 'বৃহত্তম সংখ্যা' বলা হয়েছে, তাই 306, 810 এবং 2214 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
810 = 2 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
2214 = 2 × 3 × 3 × 3 × 41
গ.সা.গু. = 2 × 3 × 3 = 18
উত্তর: নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 18।
আলো আবার 'একসাথে' পরিবর্তন হওয়ার সময় বের করতে 16, 28 এবং 40 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
28 = 2 × 2 × 7
40 = 2 × 2 × 2 × 5
ল.সা.গু. = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7 = 560
অর্থাৎ, 560 সেকেন্ড পর আলো আবার একসাথে পরিবর্তন হবে।
560 সেকেন্ড = (560 ÷ 60) মিনিট = 9 মিনিট 20 সেকেন্ড।
উত্তর: সকাল 8 টায় একসাথে পরিবর্তন হওয়ার পর, আবার সকাল 8 টা বেজে 9 মিনিট 20 সেকেন্ডে আলো একসাথে পরিবর্তন করবে।
'কমপক্ষে কত দৈর্ঘ্য' বের করতে হলে 45, 50 এবং 75 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
50 = 5 × 5 × 2
75 = 5 × 5 × 3
ল.সা.গু. = 5 × 5 × 3 × 3 × 2 = 450
উত্তর: কমপক্ষে 450 সেমি. (বা 4.5 মিটার) দৈর্ঘ্যের ফিতে সম্পূর্ণভাবে মাপতে পারব।
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করার জন্য 15, 20, 24 এবং 32 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
20 = 2 × 2 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
ল.সা.গু. = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 480
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 480।
আমরা জানি, প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
= (2175 × 145) ÷ 725
= 2175 ÷ 5
= 435
উত্তর: অপর সংখ্যাটি 435।
প্রথমে 145 ও 232 এর গ.সা.গু. বের করি:
145 = 5 × 29, 232 = 8 × 29। অতএব গ.সা.গু. = 29।
সূত্র অনুযায়ী, ল.সা.গু. = (সংখ্যা দুটির গুণফল) ÷ গ.সা.গু.
= 5 × 232
= 1160
উত্তর: গ.সা.গু. হলো 29 এবং ল.সা.গু. হলো 1160।
144 ও 384 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করে পাই: 1152।
সূত্র অনুযায়ী, গ.সা.গু. = (সংখ্যা দুটির গুণফল) ÷ ল.সা.গু.
= 144 ÷ 3
= 48
উত্তর: ল.সা.গু. হলো 1152 এবং গ.সা.গু. হলো 48।
প্রথমে 20, 28, 32 ও 35 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি, যা হলো = 1120।
এখন 1120 দিয়ে 5834 কে ভাগ করি:
ভাগশেষ = 5834 - 5600 = 234
যেহেতু 234 অবশিষ্ট থাকছে, তাই 5834 থেকে 234 বিয়োগ করলে বিয়োগফলটি 1120 (অর্থাৎ 20, 28, 32 ও 35) দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে।
উত্তর: 234 বিয়োগ করতে হবে।
যেহেতু 32 ও 56 ভাগশেষ থাকে, তাই প্রকৃত বিভাজ্য সংখ্যাগুলি হবে:
- 2300 - 32 = 2268
- 3500 - 56 = 3444
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে 2268 ও 3444 এর গ.সা.গু.।
উত্তর: বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 84।
এই ধরনের অংকে সংখ্যাগুলোর পরস্পরের মধ্যে বিয়োগফল বের করে তাদের গ.সা.গু. করতে হয়।
- 775 - 650 = 125
- 1250 - 775 = 475
- 1250 - 650 = 600
এবার 125, 475 এবং 600 এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি।
উত্তর: নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 25।
যেহেতু গ.সা.গু. 48, ধরি সংখ্যা দুটি হলো 48x এবং 48y (যেখানে x, y পরস্পর মৌলিক)।
প্রশ্নানুসারে, 48x + 48y = 384
x + y = 384 ÷ 48 = 8
দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাব্য জোড়াগুলি হলো: (1, 7) এবং (3, 5)।
- প্রথম জোড়া: 48×1 = 48 এবং 48×7 = 336
- দ্বিতীয় জোড়া: 48×3 = 144 এবং 48×5 = 240
উত্তর: সংখ্যা দুটি হতে পারে (48, 336) অথবা (144, 240)।
আমরা জানি, ল.সা.গু. = গ.সা.গু. × (পরস্পর মৌলিক উৎপাদকের গুণফল)।
60 কে দুটি পরস্পর মৌলিক সংখ্যার গুণফল আকারে লিখলে জোড়াগুলি হবে: (1, 60), (3, 20), (4, 15), (5, 12)। অর্থাৎ মোট 4 জোড়া সংখ্যা হতে পারে।
সম্ভাব্য সংখ্যাগুলি (গ.সা.গু. 12 দিয়ে গুণ করে):
- ১ম জোড়া: 12×1 = 12 এবং 12×60 = 720
- ২য় জোড়া: 12×3 = 36 এবং 12×20 = 240
- ৩য় জোড়া: 12×4 = 48 এবং 12×15 = 180
- ৪র্থ জোড়া: 12×5 = 60 এবং 12×12 = 144
প্রথমে 7, 11 ও 13 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি। যেহেতু এরা সবাই মৌলিক সংখ্যা, তাই এদের ল.সা.গু. হবে এদের গুণফল।
অর্থাৎ বিয়োগফল হতে হবে 1001।
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (4000 + 1001) = 5001
উত্তর: সংখ্যাটি হলো 5001।
50 ও 100 এর মধ্যে 16 এর গুণিতকগুলি হলো: 16×4 = 64, 16×5 = 80, 16×6 = 96।
এখন এই তিনটি সংখ্যা থেকে এমন দুটি জোড়া বাছতে হবে যাদের গ.সা.গু. ঠিক 16 হয়।
- প্রথম জোড়া: 64 এবং 80 (কারণ 64=16×4, 80=16×5; 4 ও 5 পরস্পর মৌলিক, তাই গ.সা.গু. 16)
- দ্বিতীয় জোড়া: 80 এবং 96 (কারণ 80=16×5, 96=16×6; 5 ও 6 পরস্পর মৌলিক, তাই গ.সা.গু. 16)
প্রথমে 28, 33, 42 ও 77 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি।
এবার 98765 কে 924 দিয়ে ভাগ করি:
924 দ্বারা বিভাজ্য দুটি নিকটবর্তী সংখ্যা হলো:
- নিচের দিকের সংখ্যা: 98765 - 821 = 97944
- উপরের দিকের সংখ্যা: 97944 + 924 = 98868
যেহেতু 98868 সংখ্যাটি 98765 এর বেশি কাছাকাছি (পার্থক্য মাত্র 103), তাই এটিই উত্তর।
উত্তর: নিকটতম সংখ্যাটি হলো 98868।
প্রথমে 8, 12, 16 ও 20 এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি, যা হলো = 240।
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে (240k + 1) আকারের এবং এটি 13 দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে।
k এর বিভিন্ন মান বসিয়ে দেখি:
k = 2 বসালে: 240(2) + 1 = 481
481 ÷ 13 = 37 (সম্পূর্ণ বিভাজ্য)
উত্তর: নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 481।