Hisamuddin Sk
Updated: March 19, 2026অনুপাত সম্পর্কিত কিছু নিয়ম:
- সমজাতীয় রাশি: অনুপাত সর্বদা দুটি সমজাতীয় রাশির (অর্থাৎ যাদের একক একই) মধ্যেই করা যায়।
- লঘু অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্বপদ (প্রথম সংখ্যা) উত্তরপদের (দ্বিতীয় সংখ্যা) চেয়ে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে।
- গুরু অনুপাত: কোনো অনুপাতের পূর্বপদ উত্তরপদের চেয়ে বড় হলে, তাকে গুরু অনুপাত বলে।
1
নীচের কোন কোন ক্ষেত্রে অনুপাত তৈরি করা সম্ভব লিখি।
a) আমার বন্ধু জয়িতার ওজন ও জয়িতার উচ্চতা।
b) এ মাসে আমি কতদিন স্কুলে গেছি ও আমার বন্ধু জাহির কতদিন স্কুলে গেছে।
c) আমার কাছে কতটাকা ছিল ও কতটাকা খরচ করছি।
d) আমার বোতলে কত লিটার জল আছে ও সেই জলের তাপমাত্রা।
e) আমি আজ সারাদিনে কতক্ষণ খেলেছি ও আমার ভাই কতক্ষণ খেলেছে।
a) আমার বন্ধু জয়িতার ওজন ও জয়িতার উচ্চতা।
b) এ মাসে আমি কতদিন স্কুলে গেছি ও আমার বন্ধু জাহির কতদিন স্কুলে গেছে।
c) আমার কাছে কতটাকা ছিল ও কতটাকা খরচ করছি।
d) আমার বোতলে কত লিটার জল আছে ও সেই জলের তাপমাত্রা।
e) আমি আজ সারাদিনে কতক্ষণ খেলেছি ও আমার ভাই কতক্ষণ খেলেছে।
সমাধান:
a) ওজন ও উচ্চতা
সম্ভব নয়
(ওজন এবং উচ্চতা সমজাতীয় রাশি নয়, একক আলাদা)
b) স্কুলে যাওয়ার দিনসংখ্যা
সম্ভব
(দুটিই দিনসংখ্যা, অর্থাৎ সমজাতীয় রাশি)
c) টাকার পরিমাণ
সম্ভব
(দুটিই টাকার পরিমাণ, অর্থাৎ সমজাতীয় রাশি)
d) জলের পরিমাণ (লিটার) ও তাপমাত্রা
সম্ভব নয়
(আয়তন এবং তাপমাত্রা সমজাতীয় রাশি নয়)
e) খেলার সময় (কতক্ষণ)
সম্ভব
(দুটিই সময়, অর্থাৎ সমজাতীয় রাশি)
2
নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও গুরু অনুপাত না লঘু অনুপাত লিখি।
সমাধান:
i) 10 কিগ্রা. ও 15 কিগ্রা.
$10 : 15 = 2 : 3$
(5 দিয়ে ভাগ করে)
(5 দিয়ে ভাগ করে)
লঘু অনুপাত
ii) 27 টি ও 18 টি
$27 : 18 = 3 : 2$
(9 দিয়ে ভাগ করে)
(9 দিয়ে ভাগ করে)
গুরু অনুপাত
iii) 30 টাকা ও 22.50 টাকা
$30 : 22.50 = 3000 : 2250$
$= 300 : 225 = 4 : 3$
(75 দিয়ে ভাগ করে)
$= 300 : 225 = 4 : 3$
(75 দিয়ে ভাগ করে)
গুরু অনুপাত
iv) 4.9 লিটার ও 8.4 লিটার
$4.9 : 8.4 = 49 : 84$
$= 7 : 12$
(7 দিয়ে ভাগ করে)
$= 7 : 12$
(7 দিয়ে ভাগ করে)
লঘু অনুপাত
v) 52 মিটার ও 78 মিটার
$52 : 78 = 2 : 3$
(26 দিয়ে ভাগ করে)
(26 দিয়ে ভাগ করে)
লঘু অনুপাত
vi) 1 ঘণ্টা 24 মিনিট ও 6 ঘণ্টা 18 মিনিট
সব মিনিটে প্রকাশ করি:
$(60+24) : (360+18)$
$= 84 : 378$
$= 14 : 63 = 2 : 9$
(প্রথমে 6, তারপর 7 দিয়ে ভাগ)
$(60+24) : (360+18)$
$= 84 : 378$
$= 14 : 63 = 2 : 9$
(প্রথমে 6, তারপর 7 দিয়ে ভাগ)
লঘু অনুপাত
3
2 মিটার লম্বা বাঁশের দৈর্ঘ্যের 75 সেমি. দৈর্ঘ্যে লাল রং দিলাম। বাঁশের বাকি দৈর্ঘ্যে সাদা রং দিলাম।
i) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ও বাঁশে লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
ii) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ও বাঁশে সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
iii) বাঁশে লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্য ও সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
i) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ও বাঁশে লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
ii) বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ও বাঁশে সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
iii) বাঁশে লাল রং দেওয়া দৈর্ঘ্য ও সাদা রং দেওয়া দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখি।
সমাধান:
বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য = 2 মিটার = 200 সেমি.
লাল রং দেওয়া হয়েছে = 75 সেমি.
সাদা রং দেওয়া হয়েছে = $200 - 75$ = 125 সেমি.
-
i) মোট দৈর্ঘ্য ও লাল রং দৈর্ঘ্যের অনুপাত:
= $200 : 75$ = $8 : 3$ (25 দিয়ে ভাগ করে) -
ii) মোট দৈর্ঘ্য ও সাদা রং দৈর্ঘ্যের অনুপাত:
= $200 : 125$ = $8 : 5$ (25 দিয়ে ভাগ করে) -
iii) লাল রং দৈর্ঘ্য ও সাদা রং দৈর্ঘ্যের অনুপাত:
= $75 : 125$ = $3 : 5$ (25 দিয়ে ভাগ করে)
4
আমার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত $7 : 5$। আমার ঘরের পরিসীমা ওই অনুপাতে কী কী হতে পারে তার চারটি লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘরের দৈর্ঘ্য = $7x$ একক এবং প্রস্থ = $5x$ একক (যেখানে $x$ একটি সাধারণ গুণিতক)।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 $\times$ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
পরিসীমা = $2 \times (7x + 5x)$
= $2 \times 12x$
= $24x$ একক
= $2 \times 12x$
= $24x$ একক
অর্থাৎ পরিসীমা সবসময় 24 এর গুণিতক হবে। $x$ এর মান 1, 2, 3, 4 বসিয়ে 4 টি সম্ভাব্য পরিসীমা পাব:
- ১) যদি $x=1$ হয়, তবে পরিসীমা = $24 \times 1 = \mathbf{24}$ একক।
- ২) যদি $x=2$ হয়, তবে পরিসীমা = $24 \times 2 = \mathbf{48}$ একক।
- ৩) যদি $x=3$ হয়, তবে পরিসীমা = $24 \times 3 = \mathbf{72}$ একক।
- ৪) যদি $x=4$ হয়, তবে পরিসীমা = $24 \times 4 = \mathbf{96}$ একক।
5
আমার কাছে 26টি স্ট্যাম্প আছে। আমি ও মিতা $8 : 5$ অনুপাতে স্ট্যাম্পগুলি ভাগ করে নেব। হিসাব করে দেখি আমি ও মিতা প্রত্যেকে কতগুলি করে স্ট্যাম্প নেব।
সমাধান:
মোট স্ট্যাম্পের সংখ্যা = 26 টি
আমার ও মিতার স্ট্যাম্প ভাগের অনুপাত = $8 : 5$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $8 + 5 = 13$
আমার স্ট্যাম্পের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{8}{13}$
মিতার স্ট্যাম্পের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{5}{13}$
অতএব, আমি স্ট্যাম্প নেব = $26 \times \frac{8}{13}$ = $2 \times 8$ = 16 টি
মিতা স্ট্যাম্প নেবে = $26 \times \frac{5}{13}$ = $2 \times 5$ = 10 টি
আমার স্ট্যাম্পের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{8}{13}$
মিতার স্ট্যাম্পের আনুপাতিক ভাগহার = $\frac{5}{13}$
অতএব, আমি স্ট্যাম্প নেব = $26 \times \frac{8}{13}$ = $2 \times 8$ = 16 টি
মিতা স্ট্যাম্প নেবে = $26 \times \frac{5}{13}$ = $2 \times 5$ = 10 টি
উত্তর: আমি 16 টি এবং মিতা 10 টি স্ট্যাম্প নেবে।
6
আমার পড়ার বই ও গল্পের বইয়ের অনুপাত $4 : 3$; পড়ার বই 28টি হলে গল্পের বইয়ের সংখ্যা কত হিসাব করি ও মোট বই কত হিসাব করি।
সমাধান:
পড়ার বই : গল্পের বই = $4 : 3$
পড়ার বইয়ের সংখ্যা = 28 টি
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{\text{পড়ার বই}}{\text{গল্পের বই}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{28}{\text{গল্পের বই}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \text{গল্পের বই} \times 4 = 28 \times 3$
$\Rightarrow \text{গল্পের বই} = \frac{28 \times 3}{4}$
$\Rightarrow \text{গল্পের বই} = 7 \times 3 = 21$
$\frac{\text{পড়ার বই}}{\text{গল্পের বই}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{28}{\text{গল্পের বই}} = \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \text{গল্পের বই} \times 4 = 28 \times 3$
$\Rightarrow \text{গল্পের বই} = \frac{28 \times 3}{4}$
$\Rightarrow \text{গল্পের বই} = 7 \times 3 = 21$
অতএব, গল্পের বইয়ের সংখ্যা = 21 টি।
মোট বই = পড়ার বই + গল্পের বই = $28 + 21$ = 49 টি।
উত্তর: গল্পের বইয়ের সংখ্যা 21 টি এবং মোট বই 49 টি।
7
এক ধরনের গহনায় সোনা ও রূপো $4 : 7$ অনুপাতে মেশানো আছে। এই রকম গহনার 357 মিলিগ্রাম রূপোর সাথে কত মিলিগ্রাম সোনা মেশানো হয়েছে হিসাব করি।
সমাধান:
গহনায় সোনা ও রূপোর অনুপাত = $4 : 7$
রূপোর পরিমাণ = 357 মিলিগ্রাম
প্রশ্নানুসারে,
$\frac{\text{সোনা}}{\text{রূপো}} = \frac{4}{7}$
$\Rightarrow \frac{\text{সোনা}}{357} = \frac{4}{7}$
$\Rightarrow \text{সোনা} = 357 \times \frac{4}{7}$
$\Rightarrow \text{সোনা} = 51 \times 4 = 204$
$\frac{\text{সোনা}}{\text{রূপো}} = \frac{4}{7}$
$\Rightarrow \frac{\text{সোনা}}{357} = \frac{4}{7}$
$\Rightarrow \text{সোনা} = 357 \times \frac{4}{7}$
$\Rightarrow \text{সোনা} = 51 \times 4 = 204$
উত্তর: গহনায় 204 মিলিগ্রাম সোনা মেশানো হয়েছে।
8
8. সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত লিখি।
9. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত লিখি।
9. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত লিখি।
সমাধান:
-
8) সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মানই সমান, এবং প্রতিটি কোণ $60^\circ$ হয়।
অতএব, তিনটি কোণের অনুপাত = $60^\circ : 60^\circ : 60^\circ$ = $1 : 1 : 1$ -
9) সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে:
আমরা জানি, সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ $90^\circ$ এবং বাকি দুটি কোণ সমান অর্থাৎ উভয়েই $45^\circ$ হয়।
অতএব, তিনটি কোণের অনুপাত = $90^\circ : 45^\circ : 45^\circ$ = $2 : 1 : 1$ (45 দিয়ে ভাগ করে)
10
210 টাকা ফতেমা ও শাকিলের মধ্যে $3 : 4$ অনুপাতে ভাগ করে দেওয়ার চেষ্টা করি। কাকে কত টাকা দেব হিসাব করি।
সমাধান:
মোট টাকার পরিমাণ = 210 টাকা
ফতেমা ও শাকিলের টাকার অনুপাত = $3 : 4$
অনুপাতের পদের সমষ্টি = $3 + 4 = 7$
ফতেমা পাবে = $210 \times \frac{3}{7}$ = $30 \times 3$ = 90 টাকা
শাকিল পাবে = $210 \times \frac{4}{7}$ = $30 \times 4$ = 120 টাকা
ফতেমা পাবে = $210 \times \frac{3}{7}$ = $30 \times 3$ = 90 টাকা
শাকিল পাবে = $210 \times \frac{4}{7}$ = $30 \times 4$ = 120 টাকা
উত্তর: ফতেমাকে 90 টাকা এবং শাকিলকে 120 টাকা দেব।
11
মোহিত এক দোকান থেকে 18 টাকায় 6টি কলা কিনে আনল। কিন্তু রাজু অন্য দোকান থেকে 2 ডজন কলা 72 টাকায় কিনল। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি কে কলা কিনতে বেশি টাকা দিয়েছে।
সমাধান:
আমরা জানি, 1 ডজন = 12 টি। তাহলে 2 ডজন = 24 টি।
মোহিতের ক্ষেত্রে:
কেনার খরচ ও কলার সংখ্যার অনুপাত = $18 : 6$ = $3 : 1$
(অর্থাৎ মোহিতের 1টি কলার দাম 3 টাকা)
(অর্থাৎ মোহিতের 1টি কলার দাম 3 টাকা)
রাজুর ক্ষেত্রে:
কেনার খরচ ও কলার সংখ্যার অনুপাত = $72 : 24$ = $3 : 1$
(অর্থাৎ রাজুরও 1টি কলার দাম 3 টাকা)
(অর্থাৎ রাজুরও 1টি কলার দাম 3 টাকা)
যেহেতু দুজনেরই অনুপাত সমান ($3 : 1$), তাই দুজনেরই কলার দাম একই।
উত্তর: দুজনেই কলা কিনতে সমান দরে টাকা দিয়েছে, কেউ বেশি দেয়নি।
12
আমাদের স্কুল থেকে আয়েশা ও কামালের বাড়ি যথাক্রমে 1 কিমি. ও 600 মিটার দূরে। আজ আয়েশা ও কামাল বাড়ি থেকে যথাক্রমে 20 মিনিটে ও 12 মিনিটে স্কুলে এসেছে। অনুপাতে প্রকাশ করে দেখি ওরা একই সময়ে না একজন আগে স্কুলে এসেছে।
সমাধান:
আমরা জানি, 1 কিমি. = 1000 মিটার।
আয়েশার স্কুলের দূরত্ব = 1000 মিটার এবং সময় লেগেছে 20 মিনিট।
কামালের স্কুলের দূরত্ব = 600 মিটার এবং সময় লেগেছে 12 মিনিট।
দুজনের দূরত্বের অনুপাত = $1000 : 600$
= $10 : 6$ = $5 : 3$
= $10 : 6$ = $5 : 3$
দুজনের স্কুলে আসতে লাগা সময়ের অনুপাত = $20 : 12$
= $5 : 3$ (4 দিয়ে ভাগ করে)
= $5 : 3$ (4 দিয়ে ভাগ করে)
যেহেতু দুজনের অতিক্রান্ত দূরত্বের অনুপাত ও সময়ের অনুপাত সমান ($5 : 3$), তার মানে তাদের হাঁটার গতিবেগ সমান।
উত্তর: তুলনামূলকভাবে ওরা একই সময়ে (সমান গতিবেগে) স্কুলে এসেছে। কেউ কারও চেয়ে আগে বা পরে আসেনি।
13
নীচের অনুপাতগুলির মধ্যে কোন্ কোন্ অনুপাতগুলি সমান হিসাব করি।
সমাধান:
i) $3 : 3$ ও $5 : 5$
$3 : 3 = 1 : 1$
$5 : 5 = 1 : 1$
সমান
$5 : 5 = 1 : 1$
সমান
ii) $20 : 24$ ও $25 : 30$
$20 : 24 = 5 : 6$
$25 : 30 = 5 : 6$
সমান
$25 : 30 = 5 : 6$
সমান
iii) $1 : 9$ ও $9 : 18$
$1 : 9$ (লঘিষ্ঠ আকার)
$9 : 18 = 1 : 2$
সমান নয়
$9 : 18 = 1 : 2$
সমান নয়
iv) $28 : 21$ ও $20 : 15$
$28 : 21 = 4 : 3$
$20 : 15 = 4 : 3$
সমান
$20 : 15 = 4 : 3$
সমান
v) $1.4 : 0.6$ ও $6.3 : 2.7$
$1.4 : 0.6 = 14 : 6 = 7 : 3$
$6.3 : 2.7 = 63 : 27 = 7 : 3$
সমান
$6.3 : 2.7 = 63 : 27 = 7 : 3$
সমান
vi) $52 : 39$ ও $44 : 33$
$52 : 39 = 4 : 3$
$44 : 33 = 4 : 3$
সমান
$44 : 33 = 4 : 3$
সমান
14
নীচের কোন্ সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে দেখি।
সমাধান (প্রান্তিক পদের গুণফল = মধ্য পদের গুণফল যাচাই):
i) 9, 7, 36, 28
$9 \times 28 = 252$
$7 \times 36 = 252$
$7 \times 36 = 252$
সমানুপাতে আছে।
ii) 12, 30, 14, 70
$12 \times 70 = 840$
$30 \times 14 = 420$
$30 \times 14 = 420$
সমানুপাতে নেই।
iii) 24, 6, 108, 27
$24 \times 27 = 648$
$6 \times 108 = 648$
$6 \times 108 = 648$
সমানুপাতে আছে।
iv) $\frac{1}{2}, 1\frac{1}{3}, 1\frac{1}{5}, 1\frac{1}{15}$
পূর্ণ ভেঙে পাই: $\frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \frac{6}{5}, \frac{16}{15}$
প্রান্তিক গুণফল = $\frac{1}{2} \times \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$
মধ্য গুণফল = $\frac{4}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$
(দুটি গুণফল সমান নয়)
প্রান্তিক গুণফল = $\frac{1}{2} \times \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$
মধ্য গুণফল = $\frac{4}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5}$
(দুটি গুণফল সমান নয়)
সমানুপাতে নেই।
v) 72, 45, 70, 25
$72 \times 25 = 1800$
$45 \times 70 = 3150$
$45 \times 70 = 3150$
সমানুপাতে নেই।
vi) নিজে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বসাই।
ধরি, 2, 4, 3, 6
$2 \times 6 = 12$
$4 \times 3 = 12$
$2 \times 6 = 12$
$4 \times 3 = 12$
সমানুপাতে আছে।
15
নীচের সংখ্যাগুলি সমানুপাতে আছে কিনা দেখি এবং প্রত্যেক ক্ষেত্রে যতগুলি সমানুপাত তৈরি করা যায় তা করি।
সমাধান:
a) 60, 2, 10, 12
$60 \times 12 = 720$
$2 \times 10 = 20$
সমানুপাতে নেই।
$2 \times 10 = 20$
সমানুপাতে নেই।
b) 4, 10, 6, 15
$4 \times 15 = 60$
$10 \times 6 = 60$
সমানুপাতে আছে।
$10 \times 6 = 60$
সমানুপাতে আছে।
- 4 : 10 :: 6 : 15
- 15 : 6 :: 10 : 4
- 4 : 6 :: 10 : 15
- 15 : 10 :: 6 : 4
c) 8, 9, 24, 2
$8 \times 2 = 16$
$9 \times 24 = 216$
সমানুপাতে নেই।
$9 \times 24 = 216$
সমানুপাতে নেই।
d) 3, 5, 15, 25
$3 \times 25 = 75$
$5 \times 15 = 75$
সমানুপাতে আছে।
$5 \times 15 = 75$
সমানুপাতে আছে।
- 3 : 5 :: 15 : 25
- 25 : 15 :: 5 : 3
- 3 : 15 :: 5 : 25
- 25 : 5 :: 15 : 3
e) 45, 5, 75, 5
$45 \times 5 = 225$
$5 \times 75 = 375$
সমানুপাতে নেই।
$5 \times 75 = 375$
সমানুপাতে নেই।
f) 24, 4, 36, 6
$24 \times 6 = 144$
$4 \times 36 = 144$
সমানুপাতে আছে।
$4 \times 36 = 144$
সমানুপাতে আছে।
- 24 : 4 :: 36 : 6
- 6 : 36 :: 4 : 24
- 24 : 36 :: 4 : 6
- 6 : 4 :: 36 : 24
16
আমার বন্ধু প্রিয়ার উচ্চতা 160 সেমি. ও তার মায়ের উচ্চতা 170 সেমি.। আবার প্রিয়ার ওজন 40 কিগ্রা. এবং তার মায়ের ওজন 42.5 কিগ্রা.। তাদের উচ্চতার সাথে ওজন সমানুপাতে আছে কিনা হিসাব করি।
সমাধান:
উচ্চতার অনুপাত:
প্রিয়ার উচ্চতা : মায়ের উচ্চতা = $160 : 170$ = $16 : 17$
ওজনের অনুপাত:
প্রিয়ার ওজন : মায়ের ওজন = $40 : 42.5$
উভয় পদকে 10 দিয়ে গুণ করে পাই: $400 : 425$
25 দিয়ে ভাগ করে পাই: $16 : 17$
উভয় পদকে 10 দিয়ে গুণ করে পাই: $400 : 425$
25 দিয়ে ভাগ করে পাই: $16 : 17$
যেহেতু, উচ্চতার অনুপাত = ওজনের অনুপাত ($16 : 17$)
উত্তর: হ্যাঁ, তাদের উচ্চতার সাথে ওজন সমানুপাতে আছে।