Hisamuddin Sk
Updated: March 03, 20261. মনে মনে হিসাব করি —
(a) 10 টাকার $\frac{1}{2}$ অংশ কত?
$10 \times \frac{1}{2} = 5$ টাকা।
উত্তর: 5 টাকা
উত্তর: 5 টাকা
(b) 25 টাকার $\frac{1}{5}$ অংশ কত?
$25 \times \frac{1}{5} = 5$ টাকা।
উত্তর: 5 টাকা
উত্তর: 5 টাকা
(c) কত টাকার $\frac{1}{3}$ অংশ 4 টাকা?
ধরি, মোট টাকা = $x$
প্রশ্নানুসারে, $x \times \frac{1}{3} = 4$
$\Rightarrow x = 4 \times 3 = 12$
উত্তর: 12 টাকা
প্রশ্নানুসারে, $x \times \frac{1}{3} = 4$
$\Rightarrow x = 4 \times 3 = 12$
উত্তর: 12 টাকা
(d) কত মিনিটের $\frac{1}{6}$ অংশ 6 মিনিট?
ধরি, মোট মিনিট = $y$
প্রশ্নানুসারে, $y \times \frac{1}{6} = 6$
$\Rightarrow y = 6 \times 6 = 36$
উত্তর: 36 মিনিট
প্রশ্নানুসারে, $y \times \frac{1}{6} = 6$
$\Rightarrow y = 6 \times 6 = 36$
উত্তর: 36 মিনিট
(e) আমি মালার থেকে তার এক ঝুড়ি আমের $\frac{1}{3}$ অংশ আম নিলাম। আমি যদি 7 টি আম নিই তাহলে মালার ঝুড়িতে কতগুলি আম ছিল হিসাব করি।
ধরি, ঝুড়িতে মোট আম ছিল $x$ টি।
আমি নিলাম $x \times \frac{1}{3}$ টি আম, যা 7 টির সমান।
$\therefore x \times \frac{1}{3} = 7$
$\Rightarrow x = 7 \times 3 = 21$
উত্তর: 21 টি আম ছিল।
আমি নিলাম $x \times \frac{1}{3}$ টি আম, যা 7 টির সমান।
$\therefore x \times \frac{1}{3} = 7$
$\Rightarrow x = 7 \times 3 = 21$
উত্তর: 21 টি আম ছিল।
(f) উপরের ছবির বৃত্তের $\frac{2}{7}$ অংশ লাল রং, ত্রিভুজের $\frac{3}{5}$ অংশ সবুজ রং, চতুর্ভুজের $\frac{1}{7}$ অংশ নীল রং দিই।
ছবিতে মোট বৃত্ত আছে 14 টি।
$\therefore$ লাল রং দেব = $14 \times \frac{2}{7} = 4$ টি বৃত্তে।
ছবিতে মোট ত্রিভুজ আছে 15 টি।
$\therefore$ সবুজ রং দেব = $15 \times \frac{3}{5} = 9$ টি ত্রিভুজে।
ছবিতে মোট চতুর্ভুজ আছে 14 টি।
$\therefore$ নীল রং দেব = $14 \times \frac{1}{7} = 2$ টি চতুর্ভুজে।
$\therefore$ লাল রং দেব = $14 \times \frac{2}{7} = 4$ টি বৃত্তে।
ছবিতে মোট ত্রিভুজ আছে 15 টি।
$\therefore$ সবুজ রং দেব = $15 \times \frac{3}{5} = 9$ টি ত্রিভুজে।
ছবিতে মোট চতুর্ভুজ আছে 14 টি।
$\therefore$ নীল রং দেব = $14 \times \frac{1}{7} = 2$ টি চতুর্ভুজে।
(g) আজ আমি 10 লিটার খাবার জল থেকে এনেছি। আমি $\frac{1}{5}$ অংশ জল খেয়েছি। বাকি জলের $\frac{1}{4}$ অংশ জল আমি ভাইকে দিয়েছি। আজ কত জল পড়ে আছে হিসাব করি।
আমি জল খেয়েছি = $10 \times \frac{1}{5} = 2$ লিটার।
খাওয়ার পর বাকি জল আছে = $10 - 2 = 8$ লিটার।
ভাইকে দিয়েছি = $8 \times \frac{1}{4} = 2$ লিটার।
$\therefore$ এখন জল পড়ে আছে = $8 - 2 = 6$ লিটার।
উত্তর: 6 লিটার জল পড়ে আছে।
খাওয়ার পর বাকি জল আছে = $10 - 2 = 8$ লিটার।
ভাইকে দিয়েছি = $8 \times \frac{1}{4} = 2$ লিটার।
$\therefore$ এখন জল পড়ে আছে = $8 - 2 = 6$ লিটার।
উত্তর: 6 লিটার জল পড়ে আছে।
2. মান খুঁজি —
(i) $3 \times \frac{6}{11}$
$= \frac{3 \times 6}{11} = \frac{18}{11} = \mathbf{1\frac{7}{11}}$
$= \frac{3 \times 6}{11} = \frac{18}{11} = \mathbf{1\frac{7}{11}}$
(ii) $11 \times \frac{2}{3}$
$= \frac{11 \times 2}{3} = \frac{22}{3} = \mathbf{7\frac{1}{3}}$
$= \frac{11 \times 2}{3} = \frac{22}{3} = \mathbf{7\frac{1}{3}}$
(iii) $\frac{7}{3} \times 2\frac{3}{2}$
$= \frac{7}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{6} = \mathbf{8\frac{1}{6}}$
$= \frac{7}{3} \times \frac{7}{2} = \frac{49}{6} = \mathbf{8\frac{1}{6}}$
(iv) $\frac{3}{8} \times \frac{6}{4}$
$= \frac{18}{32} = \mathbf{\frac{9}{16}}$
$= \frac{18}{32} = \mathbf{\frac{9}{16}}$
(v) $\frac{6}{49} \times \frac{7}{3}$
$= \frac{6 \times 7}{49 \times 3} = \mathbf{\frac{2}{7}}$
$= \frac{6 \times 7}{49 \times 3} = \mathbf{\frac{2}{7}}$
(vi) $\frac{15}{28} \times 2\frac{1}{3}$
$= \frac{15}{28} \times \frac{7}{3} = \frac{5 \times 1}{4 \times 1} = \frac{5}{4} = \mathbf{1\frac{1}{4}}$
$= \frac{15}{28} \times \frac{7}{3} = \frac{5 \times 1}{4 \times 1} = \frac{5}{4} = \mathbf{1\frac{1}{4}}$
(vii) $4\frac{8}{13} \times 7\frac{4}{5}$
$= \frac{60}{13} \times \frac{39}{5} = \frac{12 \times 3}{1 \times 1} = \mathbf{36}$
$= \frac{60}{13} \times \frac{39}{5} = \frac{12 \times 3}{1 \times 1} = \mathbf{36}$
(viii) $2\frac{3}{5} \times 6$
$= \frac{13}{5} \times 6 = \frac{78}{5} = \mathbf{15\frac{3}{5}}$
$= \frac{13}{5} \times 6 = \frac{78}{5} = \mathbf{15\frac{3}{5}}$
সমস্যার সমাধান (3 থেকে 7)
3. একটি বালতিতে $\frac{1}{2}$ লিটার জল ধরে। এরকম 7টি বালতিতে কত লিটার জল ধরবে হিসাব করি।
1 টি বালতিতে জল ধরে = $\frac{1}{2}$ লিটার।
$\therefore$ 7 টি বালতিতে জল ধরবে = $7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ লিটার।
উত্তর: $3\frac{1}{2}$ লিটার
$\therefore$ 7 টি বালতিতে জল ধরবে = $7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ লিটার।
উত্তর: $3\frac{1}{2}$ লিটার
4. অখিলবাবু তাঁর সম্পত্তির $\frac{1}{4}$ অংশ পাড়ার লাইব্রেরিতে দান করলেন। বাকি সম্পত্তির $\frac{1}{6}$ অংশ স্ত্রীকে দিলেন। বাকি অংশ দুই ছেলের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি অখিলবাবু স্ত্রীকে ও দুই ছেলের প্রত্যেককে কত অংশ সম্পত্তি দিলেন।
ধরি, মোট সম্পত্তি = 1 অংশ।
লাইব্রেরিতে দান করার পর বাকি থাকে = $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ অংশ।
স্ত্রীকে দিলেন বাকি সম্পত্তির $\frac{1}{6}$ অংশ।
$\therefore$ স্ত্রী পেলেন = $\frac{3}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{8}$ অংশ।
স্ত্রীকে দেওয়ার পর বাকি সম্পত্তি = $\frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8}$ অংশ।
এই বাকি অংশ 2 ছেলেকে সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন।
$\therefore$ প্রত্যেক ছেলে পেল = $\frac{5}{8} \div 2 = \frac{5}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$ অংশ।
উত্তর: স্ত্রী পেলেন $\frac{1}{8}$ অংশ এবং প্রত্যেক ছেলে পেল $\frac{5}{16}$ অংশ।
লাইব্রেরিতে দান করার পর বাকি থাকে = $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ অংশ।
স্ত্রীকে দিলেন বাকি সম্পত্তির $\frac{1}{6}$ অংশ।
$\therefore$ স্ত্রী পেলেন = $\frac{3}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{8}$ অংশ।
স্ত্রীকে দেওয়ার পর বাকি সম্পত্তি = $\frac{3}{4} - \frac{1}{8} = \frac{6-1}{8} = \frac{5}{8}$ অংশ।
এই বাকি অংশ 2 ছেলেকে সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন।
$\therefore$ প্রত্যেক ছেলে পেল = $\frac{5}{8} \div 2 = \frac{5}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$ অংশ।
উত্তর: স্ত্রী পেলেন $\frac{1}{8}$ অংশ এবং প্রত্যেক ছেলে পেল $\frac{5}{16}$ অংশ।
5. 150 টাকার $\frac{1}{2}$ অংশ থেকে কত টাকা নিলে 30 টাকা পড়ে থাকবে।
150 টাকার $\frac{1}{2}$ অংশ = $150 \times \frac{1}{2} = 75$ টাকা।
75 টাকা থেকে কিছু টাকা নেওয়ার পর 30 টাকা পড়ে থাকে।
$\therefore$ নেওয়া টাকার পরিমাণ = $75 - 30 = 45$ টাকা।
উত্তর: 45 টাকা নিলে 30 টাকা পড়ে থাকবে।
75 টাকা থেকে কিছু টাকা নেওয়ার পর 30 টাকা পড়ে থাকে।
$\therefore$ নেওয়া টাকার পরিমাণ = $75 - 30 = 45$ টাকা।
উত্তর: 45 টাকা নিলে 30 টাকা পড়ে থাকবে।
6. $\frac{6}{7}$ এর 3 গুণের সাথে কত যোগ করলে $2\frac{6}{7}$ হবে?
$\frac{6}{7}$ এর 3 গুণ = $\frac{6}{7} \times 3 = \frac{18}{7}$
যোগফল হতে হবে = $2\frac{6}{7} = \frac{20}{7}$
$\therefore$ যা যোগ করতে হবে তা হলো = $\frac{20}{7} - \frac{18}{7} = \frac{2}{7}$
উত্তর: $\frac{2}{7}$ যোগ করতে হবে।
যোগফল হতে হবে = $2\frac{6}{7} = \frac{20}{7}$
$\therefore$ যা যোগ করতে হবে তা হলো = $\frac{20}{7} - \frac{18}{7} = \frac{2}{7}$
উত্তর: $\frac{2}{7}$ যোগ করতে হবে।
7. শহরের একটি অনুষ্ঠানে প্রথম বছর 1400 জন দর্শক এসেছিলেন। পরের বছর দর্শক সংখ্যা প্রথম বছরের চেয়ে $\frac{7}{10}$ অংশ বেড়ে গেল। পরের বছর মোট কতজন দর্শক এসেছিলেন হিসাব করি।
দর্শক বেড়েছে = $1400$ এর $\frac{7}{10}$ অংশ = $1400 \times \frac{7}{10} = 980$ জন।
$\therefore$ পরের বছর মোট দর্শক এসেছিলেন = $1400 + 980 = 2380$ জন।
উত্তর: 2380 জন দর্শক এসেছিলেন।
$\therefore$ পরের বছর মোট দর্শক এসেছিলেন = $1400 + 980 = 2380$ জন।
উত্তর: 2380 জন দর্শক এসেছিলেন।
8. অনন্যক নির্ণয় করি
নীচের ভগ্নাংশগুলির অনন্যক খুঁজি ও যাদের অনন্যক প্রকৃত ভগ্নাংশ তাদের গোল দাগ দিই।
| ভগ্নাংশ | অনন্যক (Reciprocal) | প্রকৃত ভগ্নাংশ? |
|---|---|---|
| (i) $\frac{7}{5}$ | $\frac{5}{7}$ | হ্যাঁ |
| (ii) $\frac{1}{3}$ | $\frac{3}{1} = 3$ | না |
| (iii) $\frac{5}{8}$ | $\frac{8}{5}$ | না |
| (iv) $\frac{9}{7}$ | $\frac{7}{9}$ | হ্যাঁ |
| (v) $\frac{12}{5}$ | $\frac{5}{12}$ | হ্যাঁ |
| (vi) $\frac{5}{8}$ | $\frac{8}{5}$ | না |
| (vii) $\frac{1}{8}$ | $\frac{8}{1} = 8$ | না |
9. কোন ভগ্নাংশের অনন্যক সেই ভগ্নাংশের সমান?
উত্তর: 1 (কারণ 1 এর অনন্যক $\frac{1}{1} = 1$)।
সমস্যার সমাধান ও মান খুঁজি (10 থেকে 18)
10. রমার কাছে যতগুলি স্ট্যাম্প আছে তার $\frac{2}{3}$ অংশ আমাকে দিল। রমা যদি 18টি স্ট্যাম্প আমাকে দেয় তবে রমার কাছে কতগুলি স্ট্যাম্প ছিল হিসাব করি।
ধরি, রমার কাছে মোট স্ট্যাম্প ছিল 1 অংশ।
প্রশ্নানুসারে, $\frac{2}{3}$ অংশ = 18 টি স্ট্যাম্প।
$\therefore$ 1 বা সম্পূর্ণ অংশ = $18 \div \frac{2}{3} = 18 \times \frac{3}{2} = 9 \times 3 = 27$ টি।
উত্তর: রমার কাছে 27 টি স্ট্যাম্প ছিল।
প্রশ্নানুসারে, $\frac{2}{3}$ অংশ = 18 টি স্ট্যাম্প।
$\therefore$ 1 বা সম্পূর্ণ অংশ = $18 \div \frac{2}{3} = 18 \times \frac{3}{2} = 9 \times 3 = 27$ টি।
উত্তর: রমার কাছে 27 টি স্ট্যাম্প ছিল।
11. রাজিয়া তার টাকার $\frac{2}{5}$ অংশ দেবনাথকে ও $\frac{3}{10}$ অংশ সুনিতাকে দেওয়ার পরে তার কাছে 180 টাকা রইল। প্রথমে রাজিয়ার কাছে কত টাকা ছিল হিসাব করি।
রাজিয়া মোট দিল = $\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$ অংশ।
তার কাছে বাকি রইল = $1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ অংশ।
প্রশ্নানুসারে, এই $\frac{3}{10}$ অংশ = 180 টাকা।
$\therefore$ মোট টাকা (1 অংশ) = $180 \div \frac{3}{10} = 180 \times \frac{10}{3} = 60 \times 10 = 600$ টাকা।
উত্তর: রাজিয়ার কাছে প্রথমে 600 টাকা ছিল।
তার কাছে বাকি রইল = $1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ অংশ।
প্রশ্নানুসারে, এই $\frac{3}{10}$ অংশ = 180 টাকা।
$\therefore$ মোট টাকা (1 অংশ) = $180 \div \frac{3}{10} = 180 \times \frac{10}{3} = 60 \times 10 = 600$ টাকা।
উত্তর: রাজিয়ার কাছে প্রথমে 600 টাকা ছিল।
12. মান খুঁজি (ভাগ করি) —
(i) $15 \div \frac{5}{3} = 15 \times \frac{3}{5} = \mathbf{9}$
(ii) $14 \div \frac{7}{2} = 14 \times \frac{2}{7} = \mathbf{4}$
(iii) $\frac{6}{13} \div 3 = \frac{6}{13} \times \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{2}{13}}$
(iv) $\frac{12}{19} \div 6 = \frac{12}{19} \times \frac{1}{6} = \mathbf{\frac{2}{19}}$
(v) $5\frac{1}{5} \div \frac{13}{2} = \frac{26}{5} \times \frac{2}{13} = \mathbf{\frac{4}{5}}$
(vi) $2\frac{2}{5} \div 1\frac{1}{5} = \frac{12}{5} \div \frac{6}{5} = \frac{12}{5} \times \frac{5}{6} = \mathbf{2}$
(vii) $4\frac{3}{7} \div 3\frac{2}{7} = \frac{31}{7} \div \frac{23}{7} = \frac{31}{7} \times \frac{7}{23} = \frac{31}{23} = \mathbf{1\frac{8}{23}}$
13. ঠিক উত্তরটি খুঁজে দাগ দিই —
-
(i) $\frac{3}{4}$ -এর মধ্যে $\frac{1}{16}$ কতবার আছে হিসাব করি।
$\Rightarrow \frac{3}{4} \div \frac{1}{16} = \frac{3}{4} \times 16 = 12$
সঠিক উত্তর: (b) 12 -
(ii) একটি ফিতের $\frac{7}{8}$ অংশের দৈর্ঘ্য 56 মিটার। ফিতের মোট দৈর্ঘ্য কত হতে পারে হিসাব করি।
$\Rightarrow 56 \div \frac{7}{8} = 56 \times \frac{8}{7} = 64$ মিটার।
সঠিক উত্তর: (b) 64 মিটার -
(iii) $5\frac{6}{7}$ এর অনন্যক হলো -
$\Rightarrow 5\frac{6}{7} = \frac{41}{7}$, এর অনন্যক উল্টে দিলে হয় $\frac{7}{41}$
সঠিক উত্তর: (c) $\frac{7}{41}$
14. $16\frac{2}{3}$ মিটার লম্বা ফিতের $\frac{3}{8}$ অংশ কেটে নিয়ে তাকে সমান 5 টি ভাগে কাটলে একটি টুকরোর দৈর্ঘ্য কী পাব হিসাব করি।
ফিতের কাটা অংশ = $16\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{50}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{25}{4}$ মিটার।
একে সমান 5 ভাগে ভাগ করলে, 1 টি টুকরোর দৈর্ঘ্য = $\frac{25}{4} \div 5 = \frac{25}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$ মিটার।
উত্তর: $1\frac{1}{4}$ মিটার।
একে সমান 5 ভাগে ভাগ করলে, 1 টি টুকরোর দৈর্ঘ্য = $\frac{25}{4} \div 5 = \frac{25}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$ মিটার।
উত্তর: $1\frac{1}{4}$ মিটার।
15. জানালার পর্দা তৈরির জন্য বাবা $12\frac{7}{10}$ মিটার লম্বা পর্দার কাপড় কিনে আনলেন। কিন্তু বাড়িতে $5\frac{3}{5}$ মিটার লম্বা পর্দার কাপড় ছিল। তিনটি জানালার প্রতি পর্দায় $4\frac{5}{6}$ মিটার লম্বা কাপড় লাগল। এখনও আরও কত মিটার লম্বা পর্দার কাপড় পড়ে আছে হিসাব করি।
মোট কাপড় = $12\frac{7}{10} + 5\frac{3}{5} = \frac{127}{10} + \frac{28}{5} = \frac{127 + 56}{10} = \frac{183}{10}$ মিটার।
3 টি পর্দায় মোট কাপড় লাগল = $3 \times 4\frac{5}{6} = 3 \times \frac{29}{6} = \frac{29}{2}$ মিটার।
$\therefore$ কাপড় পড়ে আছে = $\frac{183}{10} - \frac{29}{2} = \frac{183 - 145}{10} = \frac{38}{10} = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$ মিটার।
উত্তর: $3\frac{4}{5}$ মিটার কাপড় পড়ে আছে।
3 টি পর্দায় মোট কাপড় লাগল = $3 \times 4\frac{5}{6} = 3 \times \frac{29}{6} = \frac{29}{2}$ মিটার।
$\therefore$ কাপড় পড়ে আছে = $\frac{183}{10} - \frac{29}{2} = \frac{183 - 145}{10} = \frac{38}{10} = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$ মিটার।
উত্তর: $3\frac{4}{5}$ মিটার কাপড় পড়ে আছে।
16. আজ আমার ঠাকুরমা অনেকটা কুলের আচার তৈরি করলেন। তিনি সেই আচারের $\frac{4}{7}$ অংশ কাঁচের শিশিতে ভরতি করে তুলে রাখলেন এবং বাকিটা আমাদের 6 জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। হিসাব করে দেখি আমরা প্রত্যেকে মোট আচারের কত অংশ পেলাম।
শিশিতে রাখার পর বাকি আচার = $1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$ অংশ।
এই বাকি অংশ 6 জনের মধ্যে ভাগ করা হলো।
$\therefore$ প্রত্যেকে পেল = $\frac{3}{7} \div 6 = \frac{3}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{14}$ অংশ।
উত্তর: প্রত্যেকে আচারের $\frac{1}{14}$ অংশ পেল।
এই বাকি অংশ 6 জনের মধ্যে ভাগ করা হলো।
$\therefore$ প্রত্যেকে পেল = $\frac{3}{7} \div 6 = \frac{3}{7} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{14}$ অংশ।
উত্তর: প্রত্যেকে আচারের $\frac{1}{14}$ অংশ পেল।
17. মেহবুব ও তার দল ঠিক করেছে 33 দিনে $24\frac{11}{15}$ কিমি. রাস্তা তৈরি করবেন। তাঁরা প্রতিদিন $\frac{11}{15}$ কিমি. করে 25 দিন রাস্তা তৈরি করলেন। এবার ঠিক সময়ে বাকি কাজ শেষ করতে হলে তাঁদেরকে বাকি দিনের প্রতিদিন কতটুকু করে রাস্তা তৈরি করতে হবে?
মোট রাস্তা তৈরি করতে হবে = $24\frac{11}{15} = \frac{371}{15}$ কিমি।
25 দিনে রাস্তা তৈরি হয়েছে = $25 \times \frac{11}{15} = \frac{5 \times 11}{3} = \frac{55}{3} = \frac{275}{15}$ কিমি।
$\therefore$ বাকি রাস্তা = $\frac{371}{15} - \frac{275}{15} = \frac{96}{15} = \frac{32}{5}$ কিমি।
কাজ শেষ করার বাকি সময় = $33 - 25 = 8$ দিন।
$\therefore$ প্রতিদিন করতে হবে = $\frac{32}{5} \div 8 = \frac{32}{5} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{5}$ কিমি।
উত্তর: প্রতিদিন $\frac{4}{5}$ কিমি করে রাস্তা তৈরি করতে হবে।
25 দিনে রাস্তা তৈরি হয়েছে = $25 \times \frac{11}{15} = \frac{5 \times 11}{3} = \frac{55}{3} = \frac{275}{15}$ কিমি।
$\therefore$ বাকি রাস্তা = $\frac{371}{15} - \frac{275}{15} = \frac{96}{15} = \frac{32}{5}$ কিমি।
কাজ শেষ করার বাকি সময় = $33 - 25 = 8$ দিন।
$\therefore$ প্রতিদিন করতে হবে = $\frac{32}{5} \div 8 = \frac{32}{5} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{5}$ কিমি।
উত্তর: প্রতিদিন $\frac{4}{5}$ কিমি করে রাস্তা তৈরি করতে হবে।
18. 5 -এর সঙ্গে $\frac{3}{7}$ যোগ করে যোগফলকে $4\frac{2}{3}$ দিয়ে গুণ করি। এবার এই গুণফলকে $4\frac{4}{9}$ দিয়ে ভাগ করে ভাগফলটি $8\frac{2}{5}$ থেকে বিয়োগ করি ও বিয়োগফল কী পেলাম হিসাব করে লিখি।
গাণিতিক রূপ:
$8\frac{2}{5} - [ \{ ( 5 + \frac{3}{7} ) \times 4\frac{2}{3} \} \div 4\frac{4}{9} ]$
$= \frac{42}{5} - [ \{ \frac{38}{7} \times \frac{14}{3} \} \div \frac{40}{9} ]$
$= \frac{42}{5} - [ \frac{76}{3} \times \frac{9}{40} ]$
$= \frac{42}{5} - \frac{19 \times 3}{10}$ (কাটাকুটি করে)
$= \frac{42}{5} - \frac{57}{10}$
$= \frac{84 - 57}{10} = \frac{27}{10} = \mathbf{2\frac{7}{10}}$
উত্তর: নির্ণেয় মান $2\frac{7}{10}$
$8\frac{2}{5} - [ \{ ( 5 + \frac{3}{7} ) \times 4\frac{2}{3} \} \div 4\frac{4}{9} ]$
$= \frac{42}{5} - [ \{ \frac{38}{7} \times \frac{14}{3} \} \div \frac{40}{9} ]$
$= \frac{42}{5} - [ \frac{76}{3} \times \frac{9}{40} ]$
$= \frac{42}{5} - \frac{19 \times 3}{10}$ (কাটাকুটি করে)
$= \frac{42}{5} - \frac{57}{10}$
$= \frac{84 - 57}{10} = \frac{27}{10} = \mathbf{2\frac{7}{10}}$
উত্তর: নির্ণেয় মান $2\frac{7}{10}$
19. সরল করি —
(i) $\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$
$= \frac{6 + 20 - 15}{30} = \mathbf{\frac{11}{30}}$
$= \frac{6 + 20 - 15}{30} = \mathbf{\frac{11}{30}}$
(ii) $\frac{1}{5} + \frac{1}{2} - \frac{2}{15} - \frac{1}{6}$
$= \frac{6 + 15 - 4 - 5}{30} = \frac{12}{30} = \mathbf{\frac{2}{5}}$
$= \frac{6 + 15 - 4 - 5}{30} = \frac{12}{30} = \mathbf{\frac{2}{5}}$
(iii) $\frac{7}{12} + 5\frac{2}{9} + \frac{11}{18} - 2\frac{5}{12}$
$= \frac{7}{12} + \frac{47}{9} + \frac{11}{18} - \frac{29}{12}$
$= \frac{21 + 188 + 22 - 87}{36} = \frac{144}{36} = \mathbf{4}$
$= \frac{7}{12} + \frac{47}{9} + \frac{11}{18} - \frac{29}{12}$
$= \frac{21 + 188 + 22 - 87}{36} = \frac{144}{36} = \mathbf{4}$
(iv) $3\frac{1}{2} + \frac{7}{6} \times \frac{3}{8} - \frac{5}{24}$
$= \frac{7}{2} + \frac{7}{16} - \frac{5}{24} = \frac{168 + 21 - 10}{48} = \frac{179}{48} = \mathbf{3\frac{35}{48}}$
$= \frac{7}{2} + \frac{7}{16} - \frac{5}{24} = \frac{168 + 21 - 10}{48} = \frac{179}{48} = \mathbf{3\frac{35}{48}}$
(v) $\frac{3}{8} \div \frac{2}{3} \text{ এর } \frac{1}{9} \text{ এর } \frac{1}{16}$
$= \frac{3}{8} \div \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{16} \right)$ (যেহেতু 'এর' এর কাজ আগে হয়)
$= \frac{3}{8} \div \frac{2}{432} = \frac{3}{8} \times \frac{432}{2} = \frac{3}{8} \times 216 = 3 \times 27 = \mathbf{81}$
$= \frac{3}{8} \div \left( \frac{2}{3} \times \frac{1}{9} \times \frac{1}{16} \right)$ (যেহেতু 'এর' এর কাজ আগে হয়)
$= \frac{3}{8} \div \frac{2}{432} = \frac{3}{8} \times \frac{432}{2} = \frac{3}{8} \times 216 = 3 \times 27 = \mathbf{81}$
(vi) $6\frac{2}{5} + 3\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{7}{10}$
$= \frac{32}{5} + \frac{10}{3} + \frac{1}{2} - \frac{7}{10} = \frac{192 + 100 + 15 - 21}{30} = \frac{286}{30} = \frac{143}{15} = \mathbf{9\frac{8}{15}}$
$= \frac{32}{5} + \frac{10}{3} + \frac{1}{2} - \frac{7}{10} = \frac{192 + 100 + 15 - 21}{30} = \frac{286}{30} = \frac{143}{15} = \mathbf{9\frac{8}{15}}$
(vii) $\left\{ \frac{11}{16} \div \left( \frac{5}{6} + \frac{2}{3} \right) \right\} - \frac{1}{3}$
$= \left\{ \frac{11}{16} \div \frac{5 + 4}{6} \right\} - \frac{1}{3}$
$= \left\{ \frac{11}{16} \times \frac{6}{9} \right\} - \frac{1}{3} = \left\{ \frac{11}{16} \times \frac{2}{3} \right\} - \frac{1}{3}$
$= \frac{11}{24} - \frac{1}{3} = \frac{11 - 8}{24} = \frac{3}{24} = \mathbf{\frac{1}{8}}$
$= \left\{ \frac{11}{16} \div \frac{5 + 4}{6} \right\} - \frac{1}{3}$
$= \left\{ \frac{11}{16} \times \frac{6}{9} \right\} - \frac{1}{3} = \left\{ \frac{11}{16} \times \frac{2}{3} \right\} - \frac{1}{3}$
$= \frac{11}{24} - \frac{1}{3} = \frac{11 - 8}{24} = \frac{3}{24} = \mathbf{\frac{1}{8}}$
(viii) $4\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{8}$
$= \frac{14}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{8} = \frac{16}{3} - \frac{3}{8} = \frac{128 - 9}{24} = \frac{119}{24} = \mathbf{4\frac{23}{24}}$
$= \frac{14}{3} + \frac{2}{3} - \frac{3}{8} = \frac{16}{3} - \frac{3}{8} = \frac{128 - 9}{24} = \frac{119}{24} = \mathbf{4\frac{23}{24}}$
(ix) $\left( 2\frac{3}{4} + 3\frac{1}{2} \div 2\frac{1}{7} \right) \div 13\frac{1}{4}$
$= \left( \frac{11}{4} + \frac{7}{2} \div \frac{15}{7} \right) \div \frac{53}{4}$
$= \left( \frac{11}{4} + \frac{7}{2} \times \frac{7}{15} \right) \div \frac{53}{4} = \left( \frac{11}{4} + \frac{49}{30} \right) \div \frac{53}{4}$
$= \frac{165 + 98}{60} \div \frac{53}{4} = \frac{263}{60} \times \frac{4}{53} = \frac{263}{15 \times 53} = \mathbf{\frac{263}{795}}$
$= \left( \frac{11}{4} + \frac{7}{2} \div \frac{15}{7} \right) \div \frac{53}{4}$
$= \left( \frac{11}{4} + \frac{7}{2} \times \frac{7}{15} \right) \div \frac{53}{4} = \left( \frac{11}{4} + \frac{49}{30} \right) \div \frac{53}{4}$
$= \frac{165 + 98}{60} \div \frac{53}{4} = \frac{263}{60} \times \frac{4}{53} = \frac{263}{15 \times 53} = \mathbf{\frac{263}{795}}$
(x) $1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \overline{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2 - 1}{6} \right) \right\} \right]$ (রেখাবন্ধনীর কাজ আগে)
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{3 - 1}{6} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \left( \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{6} \right\} \right] = 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \frac{11}{6} \right]$
$= 1 - \left( \frac{1}{2} \times \frac{6}{11} \right) = 1 - \frac{3}{11} = \frac{11 - 3}{11} = \mathbf{\frac{8}{11}}$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{2 - 1}{6} \right) \right\} \right]$ (রেখাবন্ধনীর কাজ আগে)
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{3 - 1}{6} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \left( \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} \right) \right\} \right]$
$= 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \left\{ 2 - \frac{1}{6} \right\} \right] = 1 - \left[ \frac{1}{2} \div \frac{11}{6} \right]$
$= 1 - \left( \frac{1}{2} \times \frac{6}{11} \right) = 1 - \frac{3}{11} = \frac{11 - 3}{11} = \mathbf{\frac{8}{11}}$
(xi) $2 - \frac{1}{10} \times \frac{1}{3} \div \frac{4}{25} \div \frac{1}{8}$
$= 2 - \frac{1}{30} \times \frac{25}{4} \times 8$
$= 2 - \frac{1}{30} \times 50 = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6 - 5}{3} = \mathbf{\frac{1}{3}}$
$= 2 - \frac{1}{30} \times \frac{25}{4} \times 8$
$= 2 - \frac{1}{30} \times 50 = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6 - 5}{3} = \mathbf{\frac{1}{3}}$
(xii) $1\frac{1}{2} \left[ 3\frac{1}{2} \div 2\frac{1}{3} \left\{ 1\frac{1}{4} \div \left( 2 + 3\frac{2}{3} \right) \right\} \right]$
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \frac{7}{3} \left\{ \frac{5}{4} \div \frac{17}{3} \right\} \right]$
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \left( \frac{7}{3} \times \left( \frac{5}{4} \times \frac{3}{17} \right) \right) \right]$ (বন্ধনী ও 'এর' এর কাজ)
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \left( \frac{7}{3} \times \frac{15}{68} \right) \right]$
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \frac{35}{68} \right] = \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \times \frac{68}{35} \right] = \frac{3}{2} \times \frac{34}{5} = \frac{51}{5} = \mathbf{10\frac{1}{5}}$
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \frac{7}{3} \left\{ \frac{5}{4} \div \frac{17}{3} \right\} \right]$
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \left( \frac{7}{3} \times \left( \frac{5}{4} \times \frac{3}{17} \right) \right) \right]$ (বন্ধনী ও 'এর' এর কাজ)
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \left( \frac{7}{3} \times \frac{15}{68} \right) \right]$
$= \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \div \frac{35}{68} \right] = \frac{3}{2} \left[ \frac{7}{2} \times \frac{68}{35} \right] = \frac{3}{2} \times \frac{34}{5} = \frac{51}{5} = \mathbf{10\frac{1}{5}}$
(xiii) $\left( 1\frac{1}{13} \times 2\frac{3}{5} \right) \div \left( 7\frac{1}{2} \times 3\frac{1}{10} \right) \div \frac{28}{279}$
$= \left( \frac{14}{13} \times \frac{13}{5} \right) \div \left( \frac{15}{2} \times \frac{31}{10} \right) \div \frac{28}{279}$
$= \frac{14}{5} \div \frac{93}{4} \div \frac{28}{279}$
$= \frac{14}{5} \times \frac{4}{93} \times \frac{279}{28}$
$= \frac{14}{5} \times \frac{4}{93} \times \frac{93 \times 3}{14 \times 2}$ (279 ও 28 কে ভেঙে)
$= \frac{14 \times 4 \times 3}{5 \times 28} = \frac{168}{140} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = \mathbf{1\frac{1}{5}}$
$= \left( \frac{14}{13} \times \frac{13}{5} \right) \div \left( \frac{15}{2} \times \frac{31}{10} \right) \div \frac{28}{279}$
$= \frac{14}{5} \div \frac{93}{4} \div \frac{28}{279}$
$= \frac{14}{5} \times \frac{4}{93} \times \frac{279}{28}$
$= \frac{14}{5} \times \frac{4}{93} \times \frac{93 \times 3}{14 \times 2}$ (279 ও 28 কে ভেঙে)
$= \frac{14 \times 4 \times 3}{5 \times 28} = \frac{168}{140} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = \mathbf{1\frac{1}{5}}$
Frequently Asked Questions
কষে দেখি 6 হলো ষষ্ঠ শ্রেণীর গণিত বইয়ের ষষ্ঠ অধ্যায়। এখানে ভগ্নাংশকে পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ ও ভাগ করার নিয়ম এবং বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধান শেখানো হয়েছে।
দুটি ভগ্নাংশ গুণ করার সময় লবের সাথে লব এবং হরের সাথে হর গুণ করতে হয়। মিশ্র ভগ্নাংশ থাকলে প্রথমে তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে পরিণত করে নিতে হয়।