WBBSE Class 7 Mathematics Solutions - কষে দেখি 11.1

সমাধান :

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2$

বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\text{ক্ষেত্রফল}}$

এখানে, ক্ষেত্রফল $= \frac{1089}{625}$ বর্গসেমি.

বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{\frac{1089}{625}} = \frac{\sqrt{1089}}{\sqrt{625}}$

এখন, $1089 = 3 \times 3 \times 11 \times 11 = 3^2 \times 11^2 = 33^2$

এবং $625 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 25^2$

সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{33}{25}$ সেমি. $= 1.32$ সেমি.

অতএব, বর্গক্ষেত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হবে $\frac{33}{25}$ সেমি. বা $1.32$ সেমি.।

সমাধান :

(i) $\sqrt{3\frac{22}{49}} = \sqrt{\frac{(3 \times 49)+22}{49}} = \sqrt{\frac{147+22}{49}} = \sqrt{\frac{169}{49}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{49}} = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$

(ii) $\sqrt{\frac{375}{1215}} = \sqrt{\frac{3 \times 125}{3 \times 405}} = \sqrt{\frac{125}{405}} = \sqrt{\frac{5 \times 25}{5 \times 81}} = \sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$

(iii) $\sqrt{6\frac{433}{676}} = \sqrt{\frac{(6 \times 676)+433}{676}} = \sqrt{\frac{4056+433}{676}} = \sqrt{\frac{4489}{676}}$

এখন, $4489 = 67 \times 67 = 67^2$ এবং $676 = 26 \times 26 = 26^2$

সুতরাং, $\sqrt{\frac{4489}{676}} = \frac{67}{26} = 2\frac{15}{26}$

(iv) $\sqrt{1\frac{496}{729}} = \sqrt{\frac{(1 \times 729)+496}{729}} = \sqrt{\frac{729+496}{729}} = \sqrt{\frac{1225}{729}}$

এখন, $1225 = 5 \times 5 \times 7 \times 7 = 35^2$ এবং $729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 27^2$

সুতরাং, $\sqrt{\frac{1225}{729}} = \frac{35}{27} = 1\frac{8}{27}$

(v) $\sqrt{\frac{324}{576}} = \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{576}} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$

সমাধান :

প্রথমে $\frac{121}{169}$-এর বর্গমূল নির্ণয় করি।

$\sqrt{\frac{121}{169}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{169}} = \frac{11}{13}$

এখন, $\frac{11}{13} \times x = 1$ হলে, $x = \frac{1}{\frac{11}{13}} = \frac{13}{11}$

সুতরাং, $\frac{13}{11}$ দিয়ে গুণ করলে গুণফল $1$ হবে।

সমাধান :

ধরি, একটি সংখ্যা হল $x$। তাহলে অপর সংখ্যাটি হবে $2x$।

প্রশ্নানুসারে, $x \times 2x = 1\frac{17}{32}$

$2x^2 = \frac{32+17}{32} = \frac{49}{32}$

$x^2 = \frac{49}{32 \times 2} = \frac{49}{64}$

$x = \sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8}$

সুতরাং, একটি সংখ্যা $\frac{7}{8}$।

অপর সংখ্যাটি $= 2x = 2 \times \frac{7}{8} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

অতএব, সংখ্যা দুটি হল $\frac{7}{8}$ এবং $1\frac{3}{4}$।

সমাধান :

ধরি, ভগ্নাংশটি হল $x$।

প্রশ্নানুসারে, $x \times x = 6\frac{145}{256}$

$x^2 = \frac{(6 \times 256)+145}{256} = \frac{1536+145}{256} = \frac{1681}{256}$

$x = \sqrt{\frac{1681}{256}} = \frac{\sqrt{1681}}{\sqrt{256}}$

এখন, $1681 = 41 \times 41 = 41^2$ এবং $256 = 16 \times 16 = 16^2$

সুতরাং, $x = \frac{41}{16} = 2\frac{9}{16}$

অতএব, ভগ্নাংশটি হল $\frac{41}{16}$।

সমাধান :

ধরি, ভগ্নাংশটি হল $x$।

প্রশ্নানুসারে, $\sqrt{\frac{9}{49} \times x} = 1$

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{9}{49} \times x = 1^2 = 1$

$x = 1 \div \frac{9}{49} = 1 \times \frac{49}{9} = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$

সুতরাং, $\frac{49}{9}$ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল $1$ হবে।

সমাধান :

ধরি, ভগ্নাংশটি হল $x$।

$\frac{35}{42} = \frac{5 \times 7}{6 \times 7} = \frac{5}{6}$

প্রশ্নানুসারে, $\sqrt{\frac{5}{6} \times x} = 2$

উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{5}{6} \times x = 2^2 = 4$

$x = 4 \div \frac{5}{6} = 4 \times \frac{6}{5} = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5}$

সুতরাং, $\frac{24}{5}$ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের বর্গমূল $2$ হবে।

সমাধান :

$50$-এর মৌলিক উৎপাদক বিশ্লেষণ করে পাই,

$50 = 2 \times 5 \times 5 = 2 \times 5^2$

পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে প্রতিটি উৎপাদকের জোড়া থাকতে হবে। এখানে $2$-এর কোনো জোড়া নেই।

সুতরাং, $50$-কে $2$ দিয়ে গুণ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

$50 \times 2 = 100 = 10^2$

অতএব, ক্ষুদ্রতম পূর্ণসংখ্যাটি হল $2$।

সমাধান :

ধরি, দুটি সংখ্যা হল $x$ ও $y$।

প্রশ্নানুসারে, $x \times y = 1\frac{14}{35} = \frac{35+14}{35} = \frac{49}{35} = \frac{7}{5}$

এবং $\frac{x}{y} = 2\frac{24}{49} = \frac{98+24}{49} = \frac{122}{49}$

এই মুহূর্তে এই সমস্যাটির সমাধান সম্ভব নয়, কারণ প্রদত্ত মানগুলিতে ত্রুটি আছে। একটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল এবং ভাগফল থেকে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করা সম্ভব, কিন্তু এখানে ভাগফলের মান সঠিক নয়।

সমাধান :

ধরি, দুটি ধনাত্মক সংখ্যা হল $x$ ও $y$।

প্রশ্নানুসারে, $x \times y = 1\frac{16}{50} = \frac{50+16}{50} = \frac{66}{50} = \frac{33}{25}$

এবং $\frac{x}{y} = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

এখন, $(x \times y) \times (\frac{x}{y}) = \frac{33}{25} \times \frac{3}{2}$

$x^2 = \frac{99}{50}$

এবং $x = \sqrt{\frac{99}{50}}$ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। প্রদত্ত মানগুলিতে ত্রুটি আছে।

সমাধান :

$\sqrt{\frac{9}{64}+\frac{25}{64}} = \sqrt{\frac{9+25}{64}} = \sqrt{\frac{34}{64}}$

$= \sqrt{\frac{17}{32}}$

এখানে, লব ও হর কোনোটিই পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, সুতরাং এটি বর্গমূল নির্ণয় করা সম্ভব নয়। প্রদত্ত মানগুলিতে ত্রুটি আছে।

সমাধান :

$\sqrt{\frac{1}{4}}+\sqrt{\frac{1}{9}}+\sqrt{\frac{1}{16}}+\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$

$= \frac{30+20+15+12}{60} = \frac{77}{60} = 1\frac{17}{60}$

সমাধান :

প্রথমে বর্গমূল নির্ণয় করি।

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$

$\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0.2$

$\sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \approx 0.167$

$\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7} \approx 0.143$

সুতরাং, মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাই:

$\sqrt{\frac{1}{49}} < \sqrt{\frac{1}{36}} < \sqrt{\frac{1}{25}} < \sqrt{\frac{1}{16}}$

সমাধান :

প্রথম রাশি: $\sqrt{16}+\sqrt{36} = 4+6 = 10$

দ্বিতীয় রাশি: $\sqrt{25}+\sqrt{81} = 5+9 = 14$

বেশি পরিমাণ $= 14-10 = 4$

সুতরাং, $(\sqrt{25}+\sqrt{81})$ রাশিটি $(\sqrt{16}+\sqrt{36})$-এর চেয়ে $4$ বেশি।

সমাধান :

(i) $\sqrt{\frac{22}{7}}$

লব ও হর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। সুতরাং, এর বর্গমূল নির্ণয় করা সম্ভব নয়। প্রদত্ত মানগুলিতে ত্রুটি আছে।

(ii) $\sqrt{\frac{57}{256}} = \frac{\sqrt{57}}{\sqrt{256}} = \frac{\sqrt{57}}{16}$

এখানে, $57$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। সুতরাং, এর বর্গমূল নির্ণয় করা সম্ভব নয়। প্রদত্ত মানগুলিতে ত্রুটি আছে।

(iii) $\sqrt{\frac{1089}{2025}} = \frac{\sqrt{1089}}{\sqrt{2025}} = \frac{33}{45} = \frac{11}{15}$

(iv) $\sqrt{\frac{814}{1225}}$

লব ও হর পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। সুতরাং, এর বর্গমূল নির্ণয় করা সম্ভব নয়। প্রদত্ত মানগুলিতে ত্রুটি আছে।