WBBSE Class 8 Mathematics Solutions - কষে দেখি 5.3

সমাধান :

উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য আমরা $a^3 \pm b^3$ এবং $a^3+b^3+c^3-3abc$ এর সূত্রগুলি ব্যবহার করেছি।

সমাধান :

(i) $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$ এবং $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
সুতরাং, $(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2) = (a^3+b^3)(a^3-b^3) = (a^3)^2-(b^3)^2 = a^6-b^6$

(ii) $(a-2b)(a^2+2ab+4b^2) = a^3-(2b)^3 = a^3-8b^3$
সুতরাং, $(a-2b)(a^2+2ab+4b^2)(a^3+8b^3) = (a^3-8b^3)(a^3+8b^3) = (a^3)^2-(8b^3)^2 = a^6-64b^6$

(iii) $(4a^2-9) = (2a-3)(2a+3)$
$(4a^2-6a+9)$ এবং $(4a^2+6a+9)$
$(2a-3)(4a^2+6a+9) = (2a)^3-3^3=8a^3-27$
$(2a+3)(4a^2-6a+9) = (2a)^3+3^3=8a^3+27$
সুতরাং, $(4a^2-9)(4a^2-6a+9)(4a^2+6a+9) = (8a^3-27)(8a^3+27) = (8a^3)^2-27^2 = 64a^6-729$

(iv) আমরা জানি, $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$
$(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$
$(y-z)(y^2+yz+z^2) = y^3-z^3$
$(z-x)(z^2+zx+x^2) = z^3-x^3$
সুতরাং, $x^3-y^3+y^3-z^3+z^3-x^3 = 0$

(v) $(x+1)(x^2-x+1) = x^3+1^3 = x^3+1$
$(2x-1)(4x^2+2x+1) = (2x)^3-1^3 = 8x^3-1$
$(x-1)(x^2+x+1) = x^3-1^3 = x^3-1$
সুতরাং, $(x^3+1)+(8x^3-1)-(x^3-1) = x^3+1+8x^3-1-x^3+1 = 8x^3+1$

সমাধান :

দেওয়া আছে, $x+\frac{1}{x} = -1$
বা, $x(x+\frac{1}{x}) = -1 \times x$
বা, $x^2+1 = -x$
বা, $x^2+x+1=0$
এখন, $x^3-1 = x^3-1^3 = (x-1)(x^2+x+1)$
$= (x-1)(0)$ [যেহেতু $x^2+x+1=0$]
$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো $0$।

সমাধান :

দেওয়া আছে, $a+\frac{9}{a} = 3$
বা, $\frac{a^2+9}{a} = 3$
বা, $a^2+9 = 3a$
বা, $a^2-3a+9=0$
এখন, $a^3+27 = a^3+3^3 = (a+3)(a^2-3a+9)$
$= (a+3)(0)$ [যেহেতু $a^2-3a+9=0$]
$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো $0$।

সমাধান :

দেওয়া আছে, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1$
বা, $\frac{a^2+b^2}{ab}=1$
বা, $a^2+b^2=ab$
বা, $a^2-ab+b^2=0$
এখন, $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
$= (a+b)(0)$ [যেহেতু $a^2-ab+b^2=0$]
$= 0$

সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো $0$।

সমাধান :

i) $1000a^3+27b^6$
$= (10a)^3+(3b^2)^3$
$= (10a+3b^2)((10a)^2 - (10a)(3b^2) + (3b^2)^2)$
$= (10a+3b^2)(100a^2 - 30ab^2 + 9b^4)$

ii) $1-216z^3$
$= 1^3-(6z)^3$
$= (1-6z)(1^2+1(6z)+(6z)^2)$
$= (1-6z)(1+6z+36z^2)$

iii) $m^4-m$
$= m(m^3-1)$
$= m(m^3-1^3)$
$= m(m-1)(m^2+m+1)$

iv) $192a^3+3$
$= 3(64a^3+1)$
$= 3((4a)^3+1^3)$
$= 3(4a+1)((4a)^2-4a(1)+1^2)$
$= 3(4a+1)(16a^2-4a+1)$

v) $16a^4x+54ay^3$
$= 2a(8a^3x+27y^3)$
$= 2a((2a)^3x+ (3y)^3)$

প্রশ্নটি সম্ভবত $16a^4x+54ax^3$ হবে। ধরে নিচ্ছি $x$ চলকটি $a$ এর সাথে গুণ আকারে আছে।
$= 2a(8a^3+27y^3)$
$= 2a((2a)^3+(3y)^3)$
$= 2a(2a+3y)(4a^2-6ay+9y^2)$

vi) $729a^6b^3c^3-125$
$= (9a^2b)^3 - 5^3$
$= (9a^2b-5)((9a^2b)^2+9a^2b(5)+5^2)$
$= (9a^2b-5)(81a^4b^2+45a^2b+25)$

vii) $\frac{x^6}{a^6}-\frac{27}{b^3}$
$= (\frac{x^2}{a^2})^3 - (\frac{3}{b})^3$
$= (\frac{x^2}{a^2}-\frac{3}{b})((\frac{x^2}{a^2})^2 + \frac{x^2}{a^2}\frac{3}{b} + (\frac{3}{b})^2)$
$= (\frac{x^2}{a^2}-\frac{3}{b})(\frac{x^4}{a^4} + \frac{3x^2}{a^2b} + \frac{9}{b^2})$

viii) $\frac{x^3}{64} - \frac{64}{x^3}$
$= (\frac{x}{4})^3 - (\frac{4}{x})^3$
$= (\frac{x}{4}-\frac{4}{x})((\frac{x}{4})^2 + \frac{x}{4}\frac{4}{x} + (\frac{4}{x})^2)$
$= (\frac{x}{4}-\frac{4}{x})(\frac{x^2}{16} + 1 + \frac{16}{x^2})$

ix) $x^3+3x^2y+3xy^2+2y^3$
$= (x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)+y^3$
$= (x+y)^3+y^3$
$= (x+y+y)((x+y)^2-(x+y)y+y^2)$
$= (x+2y)(x^2+2xy+y^2-xy-y^2+y^2)$
$= (x+2y)(x^2+xy+y^2)$

x) $1+9x+27x^2+28x^3$
$= 1^3+3(1^2)(3x)+3(1)(3x)^2+(3x)^3+x^3$
$= (1+3x)^3+x^3$
$= (1+3x+x)((1+3x)^2-(1+3x)x+x^2)$
$= (1+4x)(1+6x+9x^2-x-3x^2+x^2)$
$= (1+4x)(1+5x+7x^2)$

xi) $x^3-9y^3-3xy(x-y)$
$= x^3-y^3-8y^3-3xy(x-y)$
$= (x^3-y^3)-8y^3-3xy(x-y)$
$= (x-y)(x^2+xy+y^2)-8y^3-3xy(x-y)$
$= (x-y)(x^2+xy+y^2-3xy)-8y^3$
$= (x-y)(x^2-2xy+y^2)-8y^3$
$= (x-y)(x-y)^2-8y^3$
$= (x-y)^3-(2y)^3$
$= (x-y-2y)((x-y)^2+(x-y)2y+(2y)^2)$
$= (x-3y)(x^2-2xy+y^2+2xy-2y^2+4y^2)$
$= (x-3y)(x^2+3y^2)$

xii) $8-a^3+3a^2b-3ab^2+b^3$
$= 8-(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)$
$= 2^3-(a-b)^3$
$= (2-(a-b))(2^2+2(a-b)+(a-b)^2)$
$= (2-a+b)(4+2a-2b+a^2-2ab+b^2)$

xiii) $x^6+3x^4b^3+3x^2b^6+b^9$
$= (x^2)^3+3(x^2)^2(b^3)+3(x^2)(b^3)^2+(b^3)^3$
$= (x^2+b^3)^3$

xiv) $x^9+27$
$= (x^3)^3+3^3$
$= (x^3+3)((x^3)^2-3x^3+3^2)$
$= (x^3+3)(x^6-3x^3+9)$

xv) $x^6-y^6$
$= (x^3)^2-(y^3)^2$
$= (x^3-y^3)(x^3+y^3)$
$= (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)$

xvi) $x^{12}-y^{12}$
$= (x^6)^2-(y^6)^2$
$= (x^6-y^6)(x^6+y^6)$
$= (x^3-y^3)(x^3+y^3)((x^2)^3+(y^2)^3)$
$= (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

xvii) $m^3-n^3-m(m^2-n^2)+n(m-n)^2$
$= (m-n)(m^2+mn+n^2) - m(m-n)(m+n)+n(m-n)^2$
$= (m-n) [ (m^2+mn+n^2) - m(m+n) + n(m-n) ]$
$= (m-n) [ m^2+mn+n^2 - m^2-mn+nm-n^2 ]$
$= (m-n)(mn)$