1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = 5$ সেমি এবং জ্যা $AB = 8$ সেমি।
কেন্দ্র O থেকে AB জ্যা-এর ওপর OD লম্ব অঙ্কন করলাম।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore AD = \displaystyle\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ সেমি।
এখন, $\triangle ODA$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার $\angle ODA = 90^\circ$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $OD^2 + AD^2 = OA^2$
$\implies OD^2 + 4^2 = 5^2$
$\implies OD^2 + 16 = 25 \implies OD^2 = 25 - 16 = 9$
$\implies OD = \sqrt{9} = 3$ সেমি।
O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি।
2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি.। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি.। PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
বৃত্তের ব্যাস = 26 সেমি।
$\therefore$ ব্যাসার্ধ ($OP$) = $\displaystyle\frac{26}{2} = 13$ সেমি।
ধরি, O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব $OM = 5$ সেমি। (অর্থাৎ, $OM \perp PQ$)
সমকোণী $\triangle OMP$ থেকে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী পাই:
$PM^2 + OM^2 = OP^2$
$\implies PM^2 + 5^2 = 13^2$
$\implies PM^2 + 25 = 169 \implies PM^2 = 169 - 25 = 144$
$\implies PM = \sqrt{144} = 12$ সেমি।
যেহেতু কেন্দ্রগামী লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $PQ = 2 \times PM$।
$\therefore PQ = 2 \times 12 = 24$ সেমি।
PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি।
3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি. এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
জ্যা $PQ = 4$ সেমি।
ধরি, O বিন্দু থেকে PQ-এর ওপর লম্ব $OM$। অর্থাৎ $OM = 2.1$ সেমি।
লম্বর বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী, $PM = \displaystyle\frac{1}{2} \times PQ = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ সেমি।
সমকোণী $\triangle OMP$ থেকে পাই:
$OP^2 = OM^2 + PM^2$
$\implies OP^2 = (2.1)^2 + 2^2 = 4.41 + 4 = 8.41$
$\implies OP = \sqrt{8.41} = 2.9$ সেমি। (এটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
বৃত্তের ব্যাস = $2 \times$ ব্যাসার্ধ = $2 \times 2.9 = 5.8$ সেমি।
বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি।
4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি. হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।
ধরি, ছোট জ্যা $AB = 6$ সেমি এবং বড় জ্যা $CD = 8$ সেমি।
O কেন্দ্র থেকে AB এর ওপর লম্ব $OM = 4$ সেমি।
যেহেতু $OM \perp AB$, তাই $AM = \displaystyle\frac{6}{2} = 3$ সেমি।
সমকোণী $\triangle OMA$ থেকে (বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA$ নির্ণয়):
$OA^2 = OM^2 + AM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$\implies OA = \sqrt{25} = 5$ সেমি। (এটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
এখন বড় জ্যা $CD$-এর ক্ষেত্রে:
ধরি, O কেন্দ্র থেকে CD এর ওপর লম্ব দূরত্ব $ON$।
$\therefore CN = \displaystyle\frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ সেমি।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OC = OA = 5$ সেমি।
সমকোণী $\triangle ONC$ থেকে পাই:
$ON^2 + CN^2 = OC^2 \implies ON^2 + 4^2 = 5^2$
$\implies ON^2 + 16 = 25 \implies ON^2 = 25 - 16 = 9 \implies ON = 3$ সেমি।
অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।
5. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি. এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি. হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি., সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
ধরি, প্রথম জ্যা $AB = 48$ সেমি। কেন্দ্র O থেকে AB এর ওপর লম্ব $OM = 7$ সেমি।
$AM = \displaystyle\frac{48}{2} = 24$ সেমি।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = \sqrt{OM^2 + AM^2} = \sqrt{7^2 + 24^2}$
$\implies OA = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ সেমি।
দ্বিতীয় জ্যা-এর ক্ষেত্রে:
ধরি, জ্যাটি $CD$ এবং কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $ON = 20$ সেমি। ব্যাসার্ধ $OC = 25$ সেমি।
সমকোণী $\triangle ONC$ থেকে পাই:
$CN^2 = OC^2 - ON^2 = 25^2 - 20^2 = 625 - 400 = 225$
$\implies CN = \sqrt{225} = 15$ সেমি।
$\therefore$ নির্ণেয় জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($CD$) = $2 \times CN = 2 \times 15 = 30$ সেমি।
সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি হবে।
6. পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP $\perp$ AB; AB = 6 সেমি. এবং PC = 2 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
চিত্রানুযায়ী, $OP \perp AB$ এবং জ্যা $AB = 6$ সেমি।
যেহেতু $OP \perp AB$, তাই P বিন্দুটি AB কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore AP = \displaystyle\frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ সেমি।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = OC = r$ সেমি।
দেওয়া আছে $PC = 2$ সেমি।
তাহলে $OP = OC - PC = (r - 2)$ সেমি।
এখন, সমকোণী $\triangle OPA$-তে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই:
$OP^2 + AP^2 = OA^2$
$\implies (r - 2)^2 + 3^2 = r^2$
$\implies r^2 - 4r + 4 + 9 = r^2$
উভয়পক্ষ থেকে $r^2$ বাতিল করে পাই:
$\implies -4r + 13 = 0 \implies 4r = 13 \implies r = \displaystyle\frac{13}{4} = 3.25$
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.25 সেমি।
7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC = DB।
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত (এককেন্দ্রীয়)। একটি সরলরেখা বড়ো বৃত্তটিকে A ও B বিন্দুতে এবং ছোটো বৃত্তটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: $AC = DB$
অঙ্কন: কেন্দ্র O থেকে সরলরেখাটির ওপর $OM \perp AB$ অঙ্কন করা হলো।
প্রমাণ:
বড়ো বৃত্তের ক্ষেত্রে, AB একটি জ্যা এবং $OM \perp AB$।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা-এর ওপর লম্ব অঙ্কন করলে তা জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore AM = MB$ ------ (i)
একইভাবে, ছোটো বৃত্তের ক্ষেত্রে, CD একটি জ্যা এবং $OM \perp CD$।
$\therefore CM = MD$ ------ (ii)
এখন, (i) নং সমীকরণ থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
$AM - CM = MB - MD$
চিত্র থেকে স্পষ্ট যে, $AM - CM = AC$ এবং $MB - MD = DB$।
$\implies AC = DB$
(প্রমাণিত)
8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে (অর্থাৎ $AP = PB$ এবং $CP = PD$)।
প্রামাণ্য বিষয়: AB এবং CD উভয়ই বৃত্তের ব্যাস হতে বাধ্য।
প্রমাণ (বিরোধাভাস পদ্ধতিতে):
ধরি, AB এবং CD জ্যা দুটি বৃত্তের ব্যাস নয়। অর্থাৎ, ছেদবিন্দু P বৃত্তের কেন্দ্র O নয় ($P \neq O$)।
কেন্দ্র O থেকে P বিন্দু যুক্ত করলাম (OP)।
যেহেতু AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু P, উপপাদ্য অনুযায়ী, বৃত্তের কেন্দ্র ও জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা ওই জ্যা-এর ওপর লম্ব হয়।
$\therefore OP \perp AB \implies \angle OPB = 90^\circ$
আবার, CD জ্যা-এর মধ্যবিন্দুও P।
$\therefore OP \perp CD \implies \angle OPD = 90^\circ$
অর্থাৎ, P বিন্দুতে OP রেখাংশের ওপর AB এবং CD উভয় সরলরেখাই লম্ব।
কিন্তু একটি সরলরেখার ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবলমাত্র একটিই লম্ব অঙ্কন করা সম্ভব। সুতরাং, AB এবং CD দুটি ভিন্ন সরলরেখা হতে পারে না, তারা সমাপতিত (coincident) হবে। কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে তারা পরস্পরচ্ছেদী দুটি ভিন্ন জ্যা।
এটি একটি স্ববিরোধ (Contradiction)।
সুতরাং, আমাদের প্রাথমিক ধারণা (যে P এবং O আলাদা বিন্দু) ভুল।
অতএব, P এবং O বিন্দু একই বিন্দু হতে হবে। অর্থাৎ, ছেদবিন্দু P-ই হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
যেহেতু জ্যা দুটি কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাই AB এবং CD উভয়েই বৃত্তের ব্যাস।
(প্রমাণিত)
9. X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY-এর মধ্যবিন্দু S-এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PA = AQ।
প্রদত্ত: X এবং Y কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY সরলরেখাংশের মধ্যবিন্দু S। SA যুক্ত করা হলো। A বিন্দু দিয়ে SA-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: $PA = AQ$
অঙ্কন: কেন্দ্র X থেকে AP জ্যা-এর ওপর $XC \perp PA$ এবং কেন্দ্র Y থেকে AQ জ্যা-এর ওপর $YD \perp AQ$ অঙ্কন করা হলো।
প্রমাণ:
প্রথম বৃত্তে PA একটি জ্যা এবং $XC \perp PA$।
$\therefore C$, PA-এর মধ্যবিন্দু $\implies PA = 2CA$ ------ (i)
দ্বিতীয় বৃত্তে AQ একটি জ্যা এবং $YD \perp AQ$।
$\therefore D$, AQ-এর মধ্যবিন্দু $\implies AQ = 2AD$ ------ (ii)
এখন, $XC \perp PQ$, $SA \perp PQ$ (প্রদত্ত) এবং $YD \perp PQ$।
যেহেতু একই সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বগুলি পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাই $XC \parallel SA \parallel YD$।
সুতরাং, XCDY একটি ট্রাপিজিয়াম, যার সমান্তরাল বাহুদ্বয় XC এবং YD।
এই ট্রাপিজিয়ামে, তির্যক বাহু XY-এর মধ্যবিন্দু S (প্রদত্ত) এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা SA অঙ্কন করা হয়েছে।
জ্যামিতির ধর্ম অনুযায়ী, ট্রাপিজিয়ামের একটি তির্যক বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলে তা অপর তির্যক বাহুটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore A$, CD বাহুর মধ্যবিন্দু হবে। অর্থাৎ, $CA = AD$।
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই:
$2CA = 2AD$
(i) এবং (ii) থেকে মান বসিয়ে পাই:
$\implies PA = AQ$
(প্রমাণিত)
10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের দুটি সমান্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি. হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
জ্যা $AB = 10$ সেমি এবং জ্যা $CD = 24$ সেমি।
O কেন্দ্র থেকে AB-এর ওপর লম্ব দূরত্ব = $x$ সেমি।
যেহেতু জ্যা দুটি সমান্তরাল এবং কেন্দ্রের বিপরীত পাশে অবস্থিত, তাই O থেকে CD-এর লম্ব দূরত্ব হবে = $(17 - x)$ সেমি।
আমরা জানি, লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী পাই:
AB জ্যা-এর ক্ষেত্রে: $r^2 = x^2 + \left(\displaystyle\frac{10}{2}\right)^2 = x^2 + 5^2$ ------ (i)
CD জ্যা-এর ক্ষেত্রে: $r^2 = (17 - x)^2 + \left(\displaystyle\frac{24}{2}\right)^2 = (17 - x)^2 + 12^2$ ------ (ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই:
$x^2 + 25 = (17 - x)^2 + 144$
$\implies x^2 + 25 = 289 - 34x + x^2 + 144$
উভয়পক্ষ থেকে $x^2$ বাতিল করে পাই:
$\implies 34x = 289 + 144 - 25$
$\implies 34x = 408 \implies x = \displaystyle\frac{408}{34} = 12$
এখন $x = 12$ মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$r^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$
$\implies r = \sqrt{169} = 13$
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।
11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q; বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD = 2PQ।
অঙ্কন: P বিন্দু থেকে CA-এর ওপর $PM \perp CD$ এবং Q বিন্দু থেকে AD-এর ওপর $QN \perp CD$ অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ:
P কেন্দ্রীয় বৃত্তে CA একটি জ্যা এবং $PM \perp CA$।
$\therefore M$, CA জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। $\implies CA = 2MA$
Q কেন্দ্রীয় বৃত্তে AD একটি জ্যা এবং $QN \perp AD$।
$\therefore N$, AD জ্যা-এর মধ্যবিন্দু। $\implies AD = 2AN$
সম্পূর্ণ রেখাংশ $CD = CA + AD = 2MA + 2AN = 2(MA + AN) = 2MN$ ------ (i)
এখন, চতুর্ভুজ PMNQ-এর ক্ষেত্রে:
$\angle PMN = 90^\circ$ এবং $\angle QNM = 90^\circ$ (অঙ্কনানুসারে)।
যেহেতু একই সরলরেখার ওপর লম্ব, তাই $PM \parallel QN$।
আবার, প্রশ্নানুসারে $PQ \parallel CD$, অর্থাৎ $PQ \parallel MN$।
যেহেতু PMNQ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি পরস্পর সমান্তরাল এবং কোণগুলি সমকোণ, তাই এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহু সমান হয়। $\therefore MN = PQ$
(i) নং সমীকরণে $MN = PQ$ বসিয়ে পাই:
$\implies CD = 2PQ$
(প্রমাণিত)
12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা $AB = AC$।
প্রামাণ্য বিষয়: $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডক O বিন্দুগামী (অর্থাৎ কেন্দ্রগামী)।
অঙ্কন: O, A ; O, B এবং O, C যুক্ত করা হলো।
প্রমাণ:
$\triangle OAB$ এবং $\triangle OAC$-এর মধ্যে,
- $AB = AC$ (প্রদত্ত)
- $OB = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
- $OA$ সাধারণ বাহু
$\therefore \triangle OAB \cong \triangle OAC$ (SSS সর্বসমতা শর্তানুসারে)
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ হিসেবে, $\angle OAB = \angle OAC$।
যেহেতু $\angle OAB = \angle OAC$, এর অর্থ হলো সরলরেখাংশ OA কোণ $\angle BAC$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।
যেহেতু OA রেখাংশটি O বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে শুরু হয়েছে, তাই আমরা বলতে পারি $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডকটি সর্বদা বৃত্তের কেন্দ্র O দিয়ে যায়।
(প্রমাণিত)
13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\angle BAC$-এর সমদ্বিখণ্ডকটি O বিন্দুগামী (কেন্দ্রগামী), অর্থাৎ $\angle OAB = \angle OAC$।
প্রামাণ্য বিষয়: $AB = AC$
অঙ্কন: কেন্দ্র O থেকে AB-এর ওপর $OM \perp AB$ এবং AC-এর ওপর $ON \perp AC$ অঙ্কন করলাম।
প্রমাণ:
$\triangle OMA$ এবং $\triangle ONA$-এর মধ্যে,
- $\angle OMA = \angle ONA = 90^\circ$ (অঙ্কনানুসারে)
- $\angle OAM = \angle OAN$ (প্রদত্ত)
- $OA$ সাধারণ অতিভুজ
$\therefore \triangle OMA \cong \triangle ONA$ (AAS সর্বসমতা শর্তানুসারে)
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু হিসেবে, $OM = ON$।
এর অর্থ হলো, কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB এবং AC এর লম্ব দূরত্ব সমান।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী জ্যা-গুলির দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হয়।
$\therefore AB = AC$
(প্রমাণিত)
14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
প্রদত্ত: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি জ্যা AB এবং CD। কেন্দ্র থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব OM এবং CD এর লম্ব দূরত্ব ON। প্রদত্ত শর্তানুসারে, AB জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী, অর্থাৎ $OM < ON$।
প্রামাণ্য বিষয়: $AB > CD$
অঙ্কন: O, A এবং O, C যুক্ত করলাম। ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$। $\therefore OA = OC = r$।
প্রমাণ:
সমকোণী $\triangle OMA$ থেকে পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী পাই: $AM^2 = OA^2 - OM^2 = r^2 - OM^2$
সমকোণী $\triangle ONC$ থেকে পাই: $CN^2 = OC^2 - ON^2 = r^2 - ON^2$
যেহেতু $OM < ON$, উভয়দিক বর্গ করলে পাই $OM^2 < ON^2$।
তাহলে, ঋণাত্মক হওয়ার কারণে অসমতাটি উল্টে যাবে: $-OM^2 > -ON^2$
উভয়দিকে $r^2$ যোগ করলে পাই: $r^2 - OM^2 > r^2 - ON^2$
$\implies AM^2 > CN^2 \implies AM > CN$
উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করে পাই: $2AM > 2CN$
যেহেতু কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $AB = 2AM$ এবং $CD = 2CN$।
$\implies AB > CD$
(প্রমাণিত)
15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।
বিবৃতি: বৃত্তের ভিতরের কোনো বিন্দু (ধরি P) দিয়ে অঙ্কিত যে জ্যা-টি OP-এর ওপর লম্ব (যেখানে O কেন্দ্র), সেই জ্যা-টিই হলো ওই বিন্দু দিয়ে যাওয়া ক্ষুদ্রতম জ্যা।
প্রমাণ:
ধরি, P বিন্দু দিয়ে দুটি জ্যা অঙ্কন করা হলো: একটি জ্যা AB যা OP-এর ওপর লম্ব ($OP \perp AB$) এবং অপর একটি যেকোনো জ্যা CD।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $AB < CD$।
কেন্দ্র O থেকে CD জ্যা-এর ওপর $ON \perp CD$ অঙ্কন করলাম।
সমকোণী $\triangle ONP$-এ, $\angle ONP = 90^\circ$। সুতরাং, OP হলো অতিভুজ।
আমরা জানি সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজই বৃহত্তম বাহু। $\therefore OP > ON$।
আগের উপপাদ্য (14 নং) অনুযায়ী, কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব বেশি, সেই জ্যা-টি দৈর্ঘ্যে ছোটো হয়।
যেহেতু $OP > ON$ (অর্থাৎ AB জ্যা-এর দূরত্ব CD জ্যা-এর দূরত্বের চেয়ে বেশি),
$\therefore AB < CD$
অর্থাৎ, P বিন্দুগামী অন্য যেকোনো জ্যা-এর চেয়ে লম্ব জ্যা AB ছোটো।
অতএব, কেন্দ্র এবং ওই বিন্দুর সংযোজক রেখার ওপর লম্ব জ্যা-টিই হলো ক্ষুদ্রতম জ্যা। (প্রমাণিত)
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):-
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। $\angle AOB = 60^\circ$ হলে, $\angle COD$-এর মান—
ব্যাখ্যা: সমান জ্যা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
(a) $40^\circ$ (b) $30^\circ$ (c) $60^\circ$ (d) $90^\circ$ -
(ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব—
ব্যাখ্যা: জ্যা-এর অর্ধেক = 5। দূরত্ব $= \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ সেমি।
(a) 12.5 সেমি. (b) 12 সেমি. (c) $\sqrt{69}$ সেমি. (d) 24 সেমি. -
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, CD জ্যা-এর দূরত্ব—
ব্যাখ্যা: সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হয়।
(a) 2 সেমি. (b) 4 সেমি. (c) 6 সেমি. (d) 8 সেমি. -
(iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব—
ব্যাখ্যা: কেন্দ্র থেকে লম্ব দূরত্ব $= \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ সেমি। যেহেতু জ্যা দুটি সমান ও সমান্তরাল, তারা কেন্দ্রের বিপরীত পাশে আছে। মোট দূরত্ব $= 6 + 6 = 12$ সেমি।
(a) 12 সেমি. (b) 16 সেমি. (c) 20 সেমি. (d) 5 সেমি. -
(v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O; একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 5 সেমি. হলে BD-এর দৈর্ঘ্য—
ব্যাখ্যা: আমরা ৭ নং প্রশ্নে প্রমাণ করেছি যে $AC = BD$ হয়। তাই BD = 5 সেমি।
(a) 2.5 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 10 সেমি. (d) কোনোটিই নয়।
(i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।
ব্যাখ্যা: তিনটি সমরেখ (collinear) বিন্দু দিয়ে কোনো বৃত্ত আঁকা সম্ভব নয়।
উত্তর: মিথ্যা।
(ii) ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।
ব্যাখ্যা: তিনটি অসমরেখ বিন্দু (A, B, C) দিয়ে কেবলমাত্র একটিই নির্দিষ্ট বৃত্ত আঁকা যায়।
উত্তর: সত্য।
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটি OA ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, $\angle OAB = \angle OAC$
ব্যাখ্যা: এটি সর্বদা সত্য নয়। কেবলমাত্র যদি $AB = AC$ হয়, তবেই এটি সত্য হবে।
উত্তর: মিথ্যা।
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, $\angle POQ : \angle ROS =$ 1 : 1
(যেহেতু জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করবে)।
(ii) বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের কেন্দ্রগামী।
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) 10 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।ধরি বৃত্ত দুটির কেন্দ্র P এবং Q। সাধারণ জ্যা-এর নাম AB, যার দৈর্ঘ্য 12 সেমি।
কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা PQ সাধারণ জ্যা AB-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। ধরি ছেদবিন্দু M।
$\therefore AM = \displaystyle\frac{12}{2} = 6$ সেমি এবং $\angle PMA = 90^\circ$।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ $PA = 10$ সেমি। সমকোণী $\triangle PMA$ থেকে পাই:
$PM = \sqrt{PA^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ সেমি।
যেহেতু বৃত্ত দুটি সমান (ব্যাসার্ধ সমান), তাই $QM$ এর মানও 8 সেমি হবে।
$\therefore PQ = PM + QM = 8 + 8 = 16$ সেমি।
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি।
যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র (ধরি O) ত্রিভুজ ABC এর বাইরে অবস্থিত এবং $AB=AC$, এর অর্থ $\angle BAC$ হলো একটি স্থূলকোণ। O কেন্দ্রটি A বিন্দুর বিপরীত দিকে (BC এর অপর পাশে) অবস্থিত।
O, A যুক্ত করা হলো যা BC কে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রতিসমতার কারণে AM $\perp$ BC এবং M, BC এর মধ্যবিন্দু।
এখানে $OA = OB = 5$ সেমি (ব্যাসার্ধ)। $AB = 6$ সেমি।
ধরি, $AM = h$ এবং $OM = y$। যেহেতু O বিন্দু ত্রিভুজের বাইরে, তাই A এবং O বিন্দু BC এর দুই বিপরীত পাশে অবস্থিত।
$\therefore$ সরলরেখাংশ $OA = AM + OM \implies 5 = h + y \implies y = 5 - h$
ধরি, $BM = x$। তাহলে সমকোণী $\triangle ABM$ থেকে পাই: $x^2 + h^2 = AB^2 \implies x^2 + h^2 = 36$ ------ (1)
সমকোণী $\triangle OBM$ থেকে পাই: $x^2 + y^2 = OB^2 \implies x^2 + (5-h)^2 = 25$ ------ (2)
সমীকরণ (1) থেকে $x^2$ এর মান (2) এ বসালে পাই:
$(36 - h^2) + (25 - 10h + h^2) = 25$
$\implies 61 - 10h = 25 \implies 10h = 36 \implies h = 3.6$
এখন (1) নং থেকে পাই: $x^2 = 36 - (3.6)^2 = 36 - 12.96 = 23.04$
$\implies x = \sqrt{23.04} = 4.8$ সেমি।
$\therefore BC = 2 \times BM = 2x = 2 \times 4.8 = 9.6$ সেমি।
BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি।
দেওয়া আছে, $AB = CD = 6$ সেমি।
$\triangle AOB$-এর ক্ষেত্রে, $OA = OB$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং, $\triangle AOB$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এর ফলে $\angle OAB = \angle OBA$।
দেওয়া আছে $\angle AOB = 60^\circ$।
বাকি দুটি কোণের সমষ্টি $= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।
যেহেতু কোণ দুটি সমান, তাই প্রতিটি কোণ $= \displaystyle\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$।
যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি কোণই $60^\circ$, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore OA = OB = AB = 6$ সেমি।
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
আমরা জানি (15 নং উপপাদ্য থেকে), বৃত্তের ভিতরের কোনো বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত যে জ্যা-টি কেন্দ্র থেকে ওই বিন্দুর সংযোজক রেখার ওপর লম্ব হয়, সেটিই ন্যূনতম জ্যা।
ধরি, ন্যূনতম জ্যা-টি হলো AB এবং $OP \perp AB$।
সমকোণী $\triangle OPA$ থেকে পাই:
$AP = \sqrt{OA^2 - OP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ সেমি।
ন্যূনতম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ($AB$) = $2 \times AP = 2 \times 4 = 8$ সেমি।
P বিন্দুগামী ন্যূনতম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি।
আমরা 11 নং প্রশ্নে প্রমাণ করেছি যে, এই ধরনের চিত্রে $CD = 2PQ$ হয়।
যেহেতু $PQ = 5$ সেমি দেওয়া আছে,
$\therefore CD = 2 \times 5 = 10$ সেমি।
CD-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি।