প্রয়োজনীয় সূত্র (Important Formulas):
- আয়তঘনের আয়তন (Volume) = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা
- আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য}\times\text{প্রস্থ} + \text{প্রস্থ}\times\text{উচ্চতা} + \text{উচ্চতা}\times\text{দৈর্ঘ্য})$
- আয়তঘনের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{\text{দৈর্ঘ্য}^2 + \text{প্রস্থ}^2 + \text{উচ্চতা}^2}$
- ঘনকের আয়তন = $(\text{বাহু})^3$
- ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6 \times (\text{বাহু})^2$
- ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3} \times \text{বাহু}$
1. আমরা পরিবেশের 4টি আয়তঘনাকার ও 4টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি।
আয়তঘনাকার (Cuboidal) বস্তু:
- ইট (Brick)
- বই (Book)
- দেশলাই বাক্স (Matchbox)
- জ্যামিতি বাক্স (Geometry box)
ঘনক আকার (Cubical) বস্তু:
- লুডোর ছক্কা (Ludo dice)
- রুবিকস কিউব (Rubik's cube)
- চিনির কিউব (Sugar cube)
- বরফের টুকরো (Ice cube)
2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।
প্রদত্ত চিত্র অনুযায়ী (উপরে D, C, A, B এবং নীচে F, G, E, H):
তলগুলি (6টি):
- ওপরের তল: ABCD
- নীচের তল: EFGH
- সামনের তল: ABHE
- পিছনের তল: DCGF
- ডানদিকের তল: CBHG
- বাঁদিকের তল: DAEF
ধারগুলি (12টি):
AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BH, CG, DF
শীর্ষবিন্দুগুলি (8টি):
A, B, C, D, E, F, G, H
3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
আমরা জানি, সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনাকার ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যায়, সেটি হলো ওই ঘরের কর্ণ (Diagonal)।
ঘরের দৈর্ঘ্য ($l$) = 5 মি., প্রস্থ ($w$) = 4 মি., উচ্চতা ($h$) = 3 মি।
কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$
$\implies \text{কর্ণ} = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}$
$\implies \text{কর্ণ} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50}$
$\implies \text{কর্ণ} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ মিটার।
ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য $5\sqrt{2}$ মিটার।
4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।
আমরা জানি, ঘনকের প্রতিটি তল একটি বর্গক্ষেত্র।
ধরি, ঘনকের একটি ধারের (বাহুর) দৈর্ঘ্য = $a$ মিটার।
তাহলে একটি তলের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ মিটার।
প্রশ্নানুসারে, $a^2 = 64$
$\implies a = \sqrt{64} = 8$ মিটার।
ঘনকের আয়তনের সূত্র = $a^3$ ঘন একক।
$\implies \text{আয়তন} = 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512$ ঘন মিটার।
ঘনকটির আয়তন 512 ঘন মিটার।
5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মোট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।
খালের চওড়া (প্রস্থ, $w$) = 2 মিটার।
খালের গভীরতা (উচ্চতা, $h$) = 8 ডেসিমিটার = $\displaystyle\frac{8}{10}$ মিটার = 0.8 মিটার।
ধরি, খালটি $l$ মিটার লম্বা (দৈর্ঘ্য)।
মোট কাটা মাটির আয়তন = 240 ঘন মিটার।
আমরা জানি, আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ গভীরতা
$\implies 240 = l \times 2 \times 0.8$
$\implies 240 = 1.6 \times l$
$\implies l = \displaystyle\frac{240}{1.6} = \frac{2400}{16} = 150$ মিটার।
খালটি 150 মিটার লম্বা।
6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য $4\sqrt{3}$ সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
ধরি, ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি।
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{3} \times a$
প্রশ্নানুসারে, $\sqrt{3} \times a = 4\sqrt{3}$
উভয়পক্ষ থেকে $\sqrt{3}$ বাতিল করে পাই, $a = 4$ সেমি।
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2$
$\implies \text{ক্ষেত্রফল} = 6 \times (4)^2 = 6 \times 16 = 96$ বর্গ সেমি।
ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি।
7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।
আমরা জানি, একটি ঘনকের 12 টি ধার থাকে এবং প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য সমান।
ধরি, একটি ধারের দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি।
প্রশ্নানুসারে, $12 \times a = 60$
$\implies a = \displaystyle\frac{60}{12} = 5$ সেমি।
ঘনফল বা আয়তন = $a^3$
$\implies \text{ঘনফল} = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ ঘন সেমি।
ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি।
8. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।
ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অর্থাৎ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2$ (যেখানে $a$ হলো একটি ধারের দৈর্ঘ্য)।
প্রশ্নানুসারে, $6a^2 = 216$
$\implies a^2 = \displaystyle\frac{216}{6} = 36$
$\implies a = \sqrt{36} = 6$ সেমি।
ঘনকের আয়তন = $a^3 = 6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ ঘন সেমি।
ঘনকটির আয়তন 216 ঘন সেমি।
9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি.। তাকে সমান আয়তনবিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমকোণী চৌপলের মোট আয়তন = 432 ঘন সেমি।
একে সমান আয়তনের দুটি ঘনকে ভাগ করা হলো।
$\therefore$ প্রতিটি ঘনকের আয়তন = $\displaystyle\frac{432}{2} = 216$ ঘন সেমি।
ধরি, ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = $a$ সেমি।
আমরা জানি, ঘনকের আয়তন = $a^3$
$\implies a^3 = 216$
$\implies a = \sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6 \times 6 \times 6} = 6$ সেমি।
প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি হবে।
10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
ধরি, মূল ঘনকের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
তাহলে মূল ঘনকের ঘনফল (আয়তন) = $a^3$ ঘন একক।
প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হলো। অর্থাৎ, বাহুর দৈর্ঘ্য অর্ধেক হয়ে গেল।
পরিবর্তিত ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = $\displaystyle a - a \times \frac{50}{100} = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$ একক।
পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফল = $\displaystyle\left(\frac{a}{2}\right)^3 = \frac{a^3}{8}$ ঘন একক।
মূল ঘনক এবং পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত:
$\implies a^3 : \displaystyle\frac{a^3}{8}$
উভয়পক্ষকে $a^3$ দিয়ে ভাগ করে এবং 8 দিয়ে গুণ করে পাই:
$\implies 1 : \displaystyle\frac{1}{8} \implies 8 : 1$
মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8:1।
11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি. হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।
দেওয়া আছে, দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা = 3 : 2 : 1
ধরি, দৈর্ঘ্য = $3x$ সেমি, প্রস্থ = $2x$ সেমি এবং উচ্চতা = $x$ সেমি (যেখানে $x > 0$)।
বাক্সটির আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা
$\implies (3x) \times (2x) \times (x) = 384$
$\implies 6x^3 = 384 \implies x^3 = \displaystyle\frac{384}{6} = 64$
$\implies x = \sqrt[3]{64} = 4$
অতএব, বাক্সটির দৈর্ঘ্য = $3 \times 4 = 12$ সেমি, প্রস্থ = $2 \times 4 = 8$ সেমি, উচ্চতা = 4 সেমি।
বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য}\times\text{প্রস্থ} + \text{প্রস্থ}\times\text{উচ্চতা} + \text{উচ্চতা}\times\text{দৈর্ঘ্য})$
$\implies \text{ক্ষেত্রফল} = 2 \times (12 \times 8 + 8 \times 4 + 4 \times 12)$
$\implies \text{ক্ষেত্রফল} = 2 \times (96 + 32 + 48) = 2 \times 176 = 352$ বর্গ সেমি।
বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গ সেমি।
12. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা. হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
চা ভর্তি বাক্সের ওজন = 52 কিগ্রা 350 গ্রাম = 52.350 কিগ্রা।
খালি বাক্সের ওজন = 3.75 কিগ্রা।
$\therefore$ শুধুমাত্র চায়ের ওজন = $52.350 - 3.75 = 48.600$ কিগ্রা।
বাক্সটির ভিতরের আয়তন = (দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা)
$\implies \text{আয়তন} = 7.5 \times 6 \times 5.4 = 45 \times 5.4 = 243$ ঘন ডেসিমিটার।
অর্থাৎ, 243 ঘন ডেসিমিটার চায়ের ওজন 48.6 কিগ্রা।
$\therefore 1$ ঘন ডেসিমিটার চায়ের ওজন = $\displaystyle\frac{48.6}{243}$ কিগ্রা।
$\implies \displaystyle\frac{48.6}{243} = 0.2$ কিগ্রা।
0.2 কিগ্রা = $0.2 \times 1000 = 200$ গ্রাম।
1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্রাম হবে।
13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি., বেধ 1 মিলিমি. এবং প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম। যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x-এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
প্লেটটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট। সুতরাং এর দৈর্ঘ্য = $x$ সেমি এবং প্রস্থ = $x$ সেমি।
প্লেটটির বেধ (উচ্চতা) = 1 মিলিমিটার = $\displaystyle\frac{1}{10}$ সেমি = 0.1 সেমি।
প্লেটটির আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ বেধ = $x \times x \times 0.1 = 0.1x^2$ ঘন সেমি।
দেওয়া আছে, 1 ঘন সেমি পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম।
$\therefore$ প্লেটটির মোট ওজন = $0.1x^2 \times 8.4 = 0.84x^2$ গ্রাম।
প্রশ্নানুসারে, প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম।
$\implies 0.84x^2 = 4725$
$\implies x^2 = \displaystyle\frac{4725}{0.84} = \frac{472500}{84} = 5625$
$\implies x = \sqrt{5625} = 75$
x-এর নির্ণেয় মান 75।
14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই রাস্তার দু-পাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উঁচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং 8 মি. হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা = $h$ মিটার।
প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য = 14 মিটার এবং প্রস্থ = 8 মিটার।
একটি গর্ত থেকে প্রাপ্ত মাটির আয়তন = $14 \times 8 \times h$ ঘন মিটার।
রাস্তার দুপাশে মোট 30টি গর্ত খোঁড়া হয়েছে।
$\therefore$ 30টি গর্ত থেকে প্রাপ্ত মোট মাটির আয়তন = $30 \times (14 \times 8 \times h) = 3360h$ ঘন মিটার।
প্রশ্নানুসারে, মোট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগেছে।
$\implies 3360h = 2520$
$\implies h = \displaystyle\frac{2520}{3360} = \frac{252}{336} = \frac{3}{4} = 0.75$ মিটার।
0.75 মিটার = $0.75 \times 10 = 7.5$ ডেসিমিটার (বা 75 সেমি)।
প্রতিটি গর্তের গভীরতা 0.75 মিটার (বা 7.5 ডেসিমি)।
15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির $\displaystyle\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।
চৌবাচ্চাটি ঘনকাকৃতি এবং এর একটি ধারের দৈর্ঘ্য = 1.2 মিটার = 12 ডেসিমিটার।
চৌবাচ্চার মোট আয়তন = $(12)^3 = 12 \times 12 \times 12 = 1728$ ঘন ডেসিমিটার।
আমরা জানি, 1 ঘন ডেসিমিটার = 1 লিটার। $\therefore$ চৌবাচ্চায় মোট 1728 লিটার জল ধরে।
64 বালতি জল তুলে নেওয়ার পর চৌবাচ্চাটির $\displaystyle\frac{1}{3}$ অংশ জলপূর্ণ থাকে।
অর্থাৎ, তুলে নেওয়া জলের পরিমাণ = সম্পূর্ণ অংশ - অবশিষ্ট অংশ = $1 - \displaystyle\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ অংশ।
তুলে নেওয়া জলের আয়তন = $\displaystyle 1728 \times \frac{2}{3} = 576 \times 2 = 1152$ লিটার।
এই 1152 লিটার জল 64টি বালতিতে তোলা হয়েছে।
$\therefore$ প্রতিটি বালতিতে জল ধরে = $\displaystyle\frac{1152}{64} = 18$ লিটার।
প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।
16. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি., 1.5 ডেসিমি. ও 0.9 ডেসিমি. হলে, একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি। [এক গ্রোস = 12 ডজন]
কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং প্রস্থ 3.5 সেমি. হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
প্যাকেটের দৈর্ঘ্য = 2.8 ডেসিমি = 28 সেমি।
প্রস্থ = 1.5 ডেসিমি = 15 সেমি।
উচ্চতা = 0.9 ডেসিমি = 9 সেমি।
প্যাকেটের মোট আয়তন = $28 \times 15 \times 9 = 3780$ ঘন সেমি।
এক গ্রোস = 12 ডজন = $12 \times 12 = 144$ টি। অর্থাৎ প্যাকেটে 144 টি দেশলাই বাক্স আছে।
$\therefore$ একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন = $\displaystyle\frac{3780}{144} = 26.25$ ঘন সেমি।
দ্বিতীয় অংশ:
একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি এবং প্রস্থ = 3.5 সেমি।
ধরি, উচ্চতা = $h$ সেমি।
আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা
$\implies 5 \times 3.5 \times h = 26.25$
$\implies 17.5h = 26.25 \implies h = \displaystyle\frac{26.25}{17.5} = \frac{2625}{1750} = 1.5$ সেমি।
একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন 26.25 ঘন সেমি এবং উচ্চতা 1.5 সেমি হবে।
17. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটার = 21 ডেসিমিটার।
প্রস্থ = 1.5 মিটার = 15 ডেসিমিটার।
ধরি, আরও 630 লিটার জল ঢালার ফলে জলের গভীরতা $h$ ডেসিমিটার বৃদ্ধি পাবে।
আমরা জানি, 1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমিটার। তাই 630 লিটার = 630 ঘন ডেসিমিটার।
বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ গভীরতা বৃদ্ধি
$\implies 21 \times 15 \times h = 630$
$\implies 315h = 630 \implies h = \displaystyle\frac{630}{315} = 2$ ডেসিমিটার।
জলের গভীরতা 2 ডেসিমিটার (বা 0.2 মিটার) বৃদ্ধি পাবে।
18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার এবং 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানোর জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হলো। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।
আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের মোট ক্ষেত্রফল = $20 \times 15 = 300$ বর্গ মিটার।
মাঠের চার কোণে 4টি ঘনকাকৃতি গর্ত খোঁড়া হয়েছে, যার প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4 মিটার।
একটি গর্তের ওপরের তলের ক্ষেত্রফল = $4 \times 4 = 16$ বর্গ মিটার।
4টি গর্তের মোট ক্ষেত্রফল = $4 \times 16 = 64$ বর্গ মিটার।
তাহলে, অবশিষ্ট জমির ক্ষেত্রফল (যেখানে মাটি ছড়ানো হবে) = $300 - 64 = 236$ বর্গ মিটার।
একটি গর্ত থেকে প্রাপ্ত মাটির আয়তন = $4^3 = 64$ ঘন মিটার।
4টি গর্ত থেকে প্রাপ্ত মোট মাটির আয়তন = $4 \times 64 = 256$ ঘন মিটার।
ধরি, মাঠের তলের উচ্চতা $h$ মিটার বৃদ্ধি পাবে।
$\text{অবশিষ্ট জমির ক্ষেত্রফল} \times \text{উচ্চতা বৃদ্ধি} = \text{মোট মাটির আয়তন}$
$\implies 236 \times h = 256$
$\implies h = \displaystyle\frac{256}{236} = \frac{64}{59} = 1\frac{5}{59}$ মিটার।
মাঠের তলের উচ্চতা $1\frac{5}{59}$ মিটার বৃদ্ধি পাবে।
19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি. উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
নীচু জমির দৈর্ঘ্য = 48 মিটার, প্রস্থ = 31.5 মিটার।
উচ্চতা বৃদ্ধি করতে হবে = 6.5 ডেসিমিটার = 0.65 মিটার।
প্রয়োজনীয় মাটির মোট আয়তন = $48 \times 31.5 \times 0.65$ ঘন মিটার
$= 48 \times 31.5 \times 0.65 = 982.8$ ঘন মিটার।
পাশের জমির দৈর্ঘ্য = 27 মিটার, প্রস্থ = 18.2 মিটার।
ধরি, গর্তটি $h$ মিটার গভীর করতে হবে।
গর্ত থেকে প্রাপ্ত মাটির আয়তন = $27 \times 18.2 \times h$ ঘন মিটার = $491.4h$ ঘন মিটার।
প্রশ্নানুসারে, $491.4h = 982.8$
$\implies h = \displaystyle\frac{982.8}{491.4} = 2$ মিটার।
গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।
20. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার, 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল। ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনাকার পাত্রে ঢালা হলো এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি. হলো। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো, তবে 1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে দেখি।
তিনটি ড্রামের মোট তেলের পরিমাণ = $800 + 725 + 575 = 2100$ লিটার = 2100 ঘন ডেসিমিটার।
আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা = 7 ডেসিমিটার।
পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত = 4 : 3
ধরি, দৈর্ঘ্য = $4x$ ডেসিমিটার এবং প্রস্থ = $3x$ ডেসিমিটার।
তেলের আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ গভীরতা
$\implies (4x) \times (3x) \times 7 = 2100$
$\implies 84x^2 = 2100 \implies x^2 = \displaystyle\frac{2100}{84} = 25$
$\implies x = 5$
$\therefore$ পাত্রের দৈর্ঘ্য = $4 \times 5 = 20$ ডেসিমিটার = 2 মিটার।
পাত্রের প্রস্থ = $3 \times 5 = 15$ ডেসিমিটার = 1.5 মিটার।
দ্বিতীয় অংশ:
যদি পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতো, তবে পাত্রের সর্বোচ্চ আয়তন হতো:
$20 \text{ ডেসিমি.} \times 15 \text{ ডেসিমি.} \times 5 \text{ ডেসিমি.} = 1500$ ঘন ডেসিমিটার বা 1500 লিটার।
যেহেতু পাত্রটির সর্বোচ্চ ধারণক্ষমতা 1500 লিটার, তাই সেখানে 1620 লিটার তেল রাখা সম্ভব নয়।
পাত্রের দৈর্ঘ্য 2 মি, প্রস্থ 1.5 মি। 1620 লিটার তেল রাখা যেত না।
21. আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানোর পরও চাহিদার 25% জল মজুত থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানোর জন্য মাত্র 2.5 মি. দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি. বেশি হতো, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হতো তা হিসাব করে লিখি।
তিনটি পরিবারের মোট দৈনিক জলের চাহিদা = $1200 + 1050 + 950 = 3200$ লিটার।
চাহিদা মেটানোর পরও 25% জল মজুত রাখতে হবে।
25% মজুত জলের পরিমাণ = $3200 \times \displaystyle\frac{25}{100} = 800$ লিটার।
ট্যাঙ্কের মোট জল ধারণ ক্ষমতা হতে হবে = $3200 + 800 = 4000$ লিটার = 4000 ঘন ডেসিমিটার।
ট্যাঙ্কের দৈর্ঘ্য = 2.5 মিটার = 25 ডেসিমিটার।
ট্যাঙ্কের প্রস্থ = 1.6 মিটার = 16 ডেসিমিটার।
ধরি, ট্যাঙ্কের গভীরতা = $h_1$ ডেসিমিটার।
আয়তন = $25 \times 16 \times h_1 = 4000 \implies 400h_1 = 4000 \implies h_1 = 10$ ডেসিমিটার = 1 মিটার।
দ্বিতীয় অংশ:
যদি জায়গাটি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমিটার বেশি হতো, তবে নতুন প্রস্থ হতো = $16 + 4 = 20$ ডেসিমিটার।
ধরি, নতুন গভীরতা = $h_2$ ডেসিমিটার।
আয়তন = $25 \times 20 \times h_2 = 4000 \implies 500h_2 = 4000 \implies h_2 = 8$ ডেসিমিটার = 0.8 মিটার।
প্রথম ক্ষেত্রে ট্যাঙ্কটি 1 মিটার গভীর করতে হবে এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে 0.8 মিটার গভীর করতে হতো।
22. 5 সেমি. পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা.। কিন্তু চাল ভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা.। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি. এবং 8.5 ডেসিমি. এবং এক ঘন ডেসিমি. চালের ওজন 1.5 কিগ্রা.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি. 1.50 টাকা হিসেবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।
খালি বাক্সের ওজন = 115.5 কিগ্রা।
চাল ভর্তি বাক্সের ওজন = 880.5 কিগ্রা।
$\therefore$ শুধুমাত্র চালের ওজন = $880.5 - 115.5 = 765$ কিগ্রা।
দেওয়া আছে, 1 ঘন ডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা।
$\therefore$ চালের মোট আয়তন = $\displaystyle\frac{765}{1.5} = 510$ ঘন ডেসিমিটার।
যেহেতু চাল বাক্সটিতে ভর্তি আছে, তাই বাক্সের ভিতরের আয়তন = 510 ঘন ডেসিমিটার।
বাক্সটির ভিতরের দৈর্ঘ্য = 12 ডেসিমি. এবং প্রস্থ = 8.5 ডেসিমি.
ধরি, বাক্সের ভিতরের উচ্চতা = $h$ ডেসিমিটার।
আমরা জানি, ভিতরের আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা
$\implies 12 \times 8.5 \times h = 510$
$\implies 102h = 510 \implies h = \displaystyle\frac{510}{102} = 5$ ডেসিমিটার।
বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা 5 ডেসিমিটার।
দ্বিতীয় অংশ (বাইরের চারিপাশ রং করার খরচ):
কাঠের তক্তাটি 5 সেমি. = 0.5 ডেসিমি. পুরু।
যেহেতু বাক্সটি ঢাকনাসহ (Closed Box), তাই প্রতিটি মাত্রার (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা) দুই দিকেই কাঠ আছে।
বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য = $12 + (2 \times 0.5) = 12 + 1 = 13$ ডেসিমিটার।
বাক্সের বাইরের প্রস্থ = $8.5 + (2 \times 0.5) = 8.5 + 1 = 9.5$ ডেসিমিটার।
বাক্সের বাইরের উচ্চতা = $5 + (2 \times 0.5) = 5 + 1 = 6$ ডেসিমিটার।
বাক্সের বাইরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $2 \times (\text{দৈর্ঘ্য}\times\text{প্রস্থ} + \text{প্রস্থ}\times\text{উচ্চতা} + \text{উচ্চতা}\times\text{দৈর্ঘ্য})$
$\implies$ ক্ষেত্রফল = $2 \times (13 \times 9.5 + 9.5 \times 6 + 6 \times 13)$
$\implies$ ক্ষেত্রফল = $2 \times (123.5 + 57 + 78) = 2 \times 258.5 = 517$ বর্গ ডেসিমিটার।
প্রতি বর্গ ডেসিমি. রং করার খরচ 1.50 টাকা।
$\therefore$ মোট খরচ = $517 \times 1.50 = 775.50$ টাকা।
বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে 775.50 টাকা খরচ পড়বে।
23. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):-
(i) একটি সমকোণী চৌপলাকার বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি. এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি.। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা—
সমাধান: উচ্চতা = আয়তন / ক্ষেত্রফল = 440 / 88 = 5 সেমি.
(a) 4 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 3 সেমি. (d) 6 সেমি. -
(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ওই গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈর্ঘ্য, 4 মি. প্রস্থ এবং 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে—
সমাধান: সংখ্যা = গর্তের আয়তন / তক্তার আয়তন = $(40 \times 12 \times 16) / (5 \times 4 \times 2) = 7680 / 40 = 192$
(a) 192 টি (b) 190 টি (c) 180 টি (d) 182 টি -
(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন—
সমাধান: ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $4a^2 = 256 \implies a^2 = 64 \implies a = 8$। আয়তন = $8^3 = 512$
(a) 64 ঘন মি. (b) 216 ঘন মি. (c) 256 ঘন মি. (d) 512 ঘন মি. -
(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত—
সমাধান: আয়তনের অনুপাত $1:27 \implies$ বাহুর অনুপাত $\sqrt[3]{1}:\sqrt[3]{27} = 1:3$। ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $1^2:3^2 = 1:9$
(a) 1 : 3 (b) 1 : 8 (c) 1 : 9 (d) 1 : 18 -
(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল S বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে, S এবং d এর সম্পর্ক—
সমাধান: $S = 6a^2$ এবং $d = a\sqrt{3} \implies a^2 = d^2/3$। মান বসালে $S = 6(d^2/3) = 2d^2$
(a) $S = 2d^2$ (b) $d^2 = \frac{S}{2}$ (c) $S = d^2$ (d) $S = 6d^2$
(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ হলে ঘনকটির আয়তন 4 গুণ হবে।
ব্যাখ্যা: বাহু $a$ থেকে $2a$ হলে, আয়তন $(2a)^3 = 8a^3$ হবে, অর্থাৎ 8 গুণ হবে।
উত্তর: মিথ্যা।
(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি. উচ্চতার হলে, বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘন মিটার। [1 হেক্টর = 10000 বর্গ মিটার]
ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = $2 \times 10000 = 20000$ বর্গ মিটার। উচ্চতা = 5 সেমি = 0.05 মিটার। আয়তন = $20000 \times 0.05 = 1000$ ঘন মিটার।
উত্তর: সত্য।
(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা 4 টি।
(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $\sqrt{2}$ $\times$ একটি ধারের দৈর্ঘ্য।
(iii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ঘনক (Cube)।
24. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি আয়তঘনের তলসংখ্যা $x$, ধারসংখ্যা $y$, শীর্ষবিন্দু সংখ্যা $z$ এবং কর্ণের সংখ্যা $p$ হলে $x-y+z+p$ এর মান কত তা লিখি।আমরা জানি, আয়তঘনের তলসংখ্যা ($x$) = 6, ধারসংখ্যা ($y$) = 12, শীর্ষবিন্দু সংখ্যা ($z$) = 8 এবং কর্ণের সংখ্যা ($p$) = 4।
অতএব, $x - y + z + p = 6 - 12 + 8 + 4$
$= 18 - 12 = 6$
নির্ণেয় মান: 6
প্রথম আয়তঘনের আয়তন = $4 \times 6 \times 4 = 96$ ঘন একক।
দ্বিতীয় আয়তঘনের আয়তন = $8 \times (2h - 1) \times 2 = 16(2h - 1)$ ঘন একক।
প্রশ্নানুসারে, আয়তন দুটি সমান।
$\implies 16(2h - 1) = 96$
$\implies 2h - 1 = \displaystyle\frac{96}{16} = 6$
$\implies 2h = 6 + 1 = 7 \implies h = \displaystyle\frac{7}{2} = 3.5$
h-এর মান 3.5
ধরি, ঘনকের প্রাথমিক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।
প্রাথমিক সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ($S_1$) = $6a^2$ বর্গ একক।
বাহু 50% বৃদ্ধি পেলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = $\displaystyle a + a \times \frac{50}{100} = a + 0.5a = 1.5a$ একক।
নতুন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ($S_2$) = $6(1.5a)^2 = 6 \times 2.25a^2 = 13.5a^2$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $S_2 - S_1 = 13.5a^2 - 6a^2 = 7.5a^2$ বর্গ একক।
শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $\displaystyle\frac{\text{বৃদ্ধি}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100\%$
$\implies \displaystyle\frac{7.5a^2}{6a^2} \times 100\% = \frac{7.5}{6} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%$
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পাবে।