WBBSE Class 8 Mathematics Solutions - কষে দেখি 10.2

সমাধান :

এখানে লোকসংখ্যা, দৈনিক কাজের সময় এবং মোট সময়ের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

লোকসংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক এবং দৈনিক কাজের সময়ের সাথেও সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় সময় = $15 \times \frac{14}{24} \times \frac{4}{7}$ দিন

$= \frac{15 \times 14 \times 4}{24 \times 7}$ দিন

$= \frac{840}{168}$ দিন

$= 5$ দিন

সুতরাং, 24 জন লোক দৈনিক 7 ঘন্টা কাজ করলে কাজটি 5 দিনে শেষ হবে।

সমাধান :

এখানে পৃষ্ঠার সংখ্যা, প্রতি পৃষ্ঠার লাইন সংখ্যা এবং প্রতি লাইনের শব্দসংখ্যার মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

পৃষ্ঠার সংখ্যার সাথে লাইন সংখ্যা ও শব্দ সংখ্যার ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় পৃষ্ঠার সংখ্যা = $105 \times \frac{25}{30} \times \frac{8}{10}$ টি

$= \frac{105 \times 25 \times 8}{30 \times 10}$ টি

$= \frac{21000}{300}$ টি

$= 70$ টি

সুতরাং, ছাপা বইটি 70 পৃষ্ঠার হবে।

সমাধান :

মোট জমি = 540 বিঘা, মোট সময় = 14 দিন।

4 দিনে চাষ করা হয়েছে = 120 বিঘা।

অবশিষ্ট জমি = $540 - 120 = 420$ বিঘা।

অবশিষ্ট সময় = $14 - 4 = 10$ দিন।

জমির পরিমাণের সাথে ট্রাক্টরের সংখ্যার সরল সম্পর্ক। সময়ের সাথে ট্রাক্টরের সংখ্যার ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় ট্রাক্টরের সংখ্যা = $5 \times \frac{420}{120} \times \frac{4}{10}$ টি

$= \frac{5 \times 420 \times 4}{120 \times 10}$ টি

$= \frac{8400}{1200}$ টি

$= 7$ টি

অতএব, আরও $7-5 = 2$ টি ট্রাক্টর লাগবে।

সুতরাং, সময়মতো কাজ শেষ করতে হলে আরও 2 টি ট্রাক্টর লাগবে।

সমাধান :

মোট রাস্তা = 1 অংশ।

সারাতে বাকি আছে = $1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ অংশ।

মোট লোকসংখ্যা = $30 + 10 = 40$ জন।

এখানে কাজের পরিমাণ, লোকসংখ্যা এবং সময়ের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

কাজের পরিমাণের সাথে সময়ের সরল সম্পর্ক। লোকসংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় সময় = $15 \times \frac{4/7}{3/7} \times \frac{30}{40}$ দিন

$= 15 \times \frac{4}{3} \times \frac{30}{40}$ দিন

$= \frac{15 \times 4 \times 30}{3 \times 40}$ দিন

$= \frac{1800}{120}$ দিন

$= 15$ দিন

সুতরাং, রাস্তাটির বাকি অংশ সারাতে 15 দিন সময় লাগবে।

সমাধান :

এখানে পাম্পের ক্ষমতা, জলের পরিমাণ এবং সময়ের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

পাম্পের ক্ষমতার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক। জলের পরিমাণের সাথে সময়ের সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় সময় = $8 \times \frac{5}{7} \times \frac{63000}{36000}$ ঘন্টা

$= 8 \times \frac{5}{7} \times \frac{63}{36}$ ঘন্টা

$= \frac{8 \times 5 \times 63}{7 \times 36}$ ঘন্টা

$= \frac{2520}{252}$ ঘন্টা

$= 10$ ঘন্টা

সুতরাং, 63000 লিটার জল তুলতে 10 ঘন্টা সময় লাগবে।

সমাধান :

এখানে মোটরের ক্ষমতা, সময় এবং বিদ্যুৎ খরচের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

মোটরের ক্ষমতার সাথে বিদ্যুৎ খরচের সরল সম্পর্ক। সময়ের সাথেও বিদ্যুৎ খরচের সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় বিদ্যুৎ খরচ = $20 \times \frac{3}{5} \times \frac{10}{8}$ একক

$= \frac{20 \times 3 \times 10}{5 \times 8}$ একক

$= \frac{600}{40}$ একক

$= 15$ একক

সুতরাং, 15 একক বিদ্যুৎ খরচ হবে।

সমাধান :

এখানে তাঁতির সংখ্যা, সময় এবং শাড়ির সংখ্যার মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

তাঁতির সংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক। শাড়ির সংখ্যার সাথে তাঁতির সংখ্যার সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় তাঁতির সংখ্যা = $14 \times \frac{12}{10} \times \frac{300}{210}$ জন

$= \frac{14 \times 12 \times 300}{10 \times 210}$ জন

$= \frac{50400}{2100}$ জন

$= 24$ জন

অতিরিক্ত তাঁতি নিয়োগ করতে হবে = $24 - 14 = 10$ জন।

সুতরাং, আর 10 জন তাঁতি নিয়োগ করতে হবে।

সমাধান :

মোট সময় = 10 দিন।

13 দিন পর, অবশিষ্ট সময় = $13 - 10 = 3$ দিন (কিন্তু প্রশ্নে বলা আছে 13 দিন পর, অর্থাৎ কাজটি নির্ধারিত সময়ের চেয়ে বেশি সময় লেগেছে। প্রশ্নে সম্ভবত ভুল আছে, ধরে নেওয়া যাক 10 দিনের মধ্যে কাজটি শেষ করার কথা ছিল এবং 3 দিন পরে $\frac{2}{5}$ অংশ কাজ শেষ হয়েছে)।

পুনর্গণনা করি: ধরা যাক কাজটি 10 দিনের মধ্যে শেষ করার কথা ছিল। কিন্তু 13 দিন পর দেখা গেল কাজটি $\frac{2}{5}$ অংশ সম্পূর্ণ হয়েছে। এটি একটি ভুল প্রশ্ন। সঠিক প্রশ্নটি হয়তো হবে: "13 দিন পরে দেখা গেল কাজটি $\frac{2}{5}$ অংশ সম্পূর্ণ হয়েছে। বাকি কাজটি 10 দিনের মধ্যে শেষ করতে হলে... "। কিন্তু প্রশ্নের বাক্য গঠন থেকে বোঝা যায়, কাজটি 10 দিনে শেষ করার কথা। আসুন আমরা ধরে নিই যে, প্রশ্নে "13 দিন" এর পরিবর্তে "3 দিন" লেখা উচিত ছিল।

সংশোধিত সমস্যা: একটি সংস্থা জাহাজ থেকে 10 দিনে জাহাজের মাল নামানোর বরাত পেয়েছে। সংস্থাটি তার জন্য 280 জন লোক নিয়োগ করেছে। 3 দিন পরে দেখা গেল কাজটি $\frac{2}{5}$ অংশ সম্পূর্ণ হয়েছে। আর কতজন লোক নিয়োগ করলে কাজটি সময়মতো (অর্থাৎ অবশিষ্ট $10-3 = 7$ দিনে) শেষ হবে তা ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে হিসাব করে লিখি।

অবশিষ্ট কাজ = $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ অংশ।

অবশিষ্ট সময় = $10 - 3 = 7$ দিন।

কাজের পরিমাণের সাথে লোকসংখ্যার সরল সম্পর্ক। সময়ের সাথে লোকসংখ্যার ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় লোকসংখ্যা = $280 \times \frac{3/5}{2/5} \times \frac{3}{7}$ জন

$= 280 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{7}$ জন

$= \frac{280 \times 3 \times 3}{2 \times 7}$ জন

$= \frac{2520}{14}$ জন

$= 180$ জন

সুতরাং, আরও লোক নিয়োগ করতে হবে = $180 - 280 = -100$ জন। অর্থাৎ, লোক কমাতে হবে। এটিও প্রশ্নের সাথে সংগতিপূর্ণ নয়।

আসুন অন্যভাবে দেখি, হয়তো প্রশ্নে "13 দিন পরে" অংশটিই ঠিক আছে এবং কাজটি শেষ হওয়ার জন্য মোট সময়ের কোনো নির্দিষ্ট সীমা নেই। তবে সেক্ষেত্রে প্রশ্নটি ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধানের জন্য সঠিক নয়, কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার কথা বলছে।

যাই হোক, প্রশ্নে প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে সঠিক সমাধানটি হলো:

কাজটি 10 দিনে শেষ করার বরাত পেয়েছে, কিন্তু 13 দিন কাজ করার পর $\frac{2}{5}$ অংশ কাজ শেষ হয়েছে। এর অর্থ, কাজটি নির্দিষ্ট সময়ে শেষ হবে না। কিন্তু যদি আমরা ধরে নেই যে কাজটি শেষ করার জন্য 13 দিন সময় দেওয়া হয়েছিল, তাহলে বাকি কাজ শেষ করতে আরও কিছু সময় লাগবে। কিন্তু প্রশ্নে "সময়মতো" কাজটি শেষ করার কথা বলা হয়েছে। সুতরাং, প্রশ্নের প্রদত্ত তথ্যের মধ্যে কিছু অসঙ্গতি আছে। আমরা ধরে নিচ্ছি যে 13 দিন কাজ করার পর বাকি কাজ শেষ করার জন্য আরও কত জন লোক লাগবে।

প্রশ্নটি হয়তো এমন হতে পারে: 13 দিন পরে বাকি কাজ শেষ করতে হলে আর কতজন লোক লাগবে?

অবশিষ্ট কাজ = $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ অংশ।

মোট সময় = 10 দিন। মোট কাজ শেষ করার জন্য 10 দিন সময় বরাদ্দ ছিল। 13 দিনে কাজ শেষ হয়েছে $\frac{2}{5}$ অংশ। এখন কতজন লোক লাগবে তার হিসাব করতে হলে এটি সময় ও কাজের সাথে সম্পর্কিত হবে।

আসুন আমরা প্রদত্ত তথ্য ব্যবহার করে সমাধান করার চেষ্টা করি:

এটি একটি মাল্টিপ্লিকেশন সমস্যার মতো। মোট কাজ = $280 \times 13 \div \frac{2}{5}$ জন-দিন।

যা একটি অস্বাভাবিক সমাধান। যেহেতু ত্রৈরাশিক পদ্ধতির সমস্যা, তাই আমরা সরল সম্পর্ক ও ব্যস্ত সম্পর্ক ব্যবহার করব।

ধরা যাক, প্রশ্নের সঠিক সংস্করণটি হলো: 280 জন লোক 10 দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারেন। 3 দিন কাজ করার পর দেখা গেল কাজটির $\frac{2}{5}$ অংশ সম্পূর্ণ হয়েছে। বাকি কাজ 10 দিনে শেষ করতে হলে আরও কতজন লোক নিয়োগ করতে হবে?

যদি 280 জন লোক 10 দিনে কাজটি শেষ করতে পারেন, তাহলে 3 দিনে কাজ শেষ হয়েছে $\frac{3}{10}$ অংশ। কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে $\frac{2}{5}$ অংশ। সুতরাং, প্রথম লাইনটিই ভুল।

অতএব, প্রশ্নে প্রদত্ত তথ্যের মধ্যে অসামঞ্জস্য রয়েছে। এই ধরনের অসঙ্গতিপূর্ণ প্রশ্নকে ত্রৈরাশিক পদ্ধতিতে সমাধান করা কঠিন। তবে যদি আমরা ধরে নিই যে, প্রশ্নে কেবল তথ্যগুলোই গুরুত্বপূর্ণ, তাহলে আমরা উপরের মতো করে সমাধান করতে পারি।

নির্ণেয় লোকসংখ্যা = $280 \times \frac{3/5}{2/5} \times \frac{3}{7} = 180$ জন।

নতুন করে লোক নিয়োগ করতে হবে $= 180 - 280 = -100$ জন। অর্থাৎ, 100 জন লোক কমাতে হবে।

সমাধান :

এখানে তাঁতের সংখ্যা, সময় এবং কাপড়ের দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

তাঁতের সংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক। তাঁতের সংখ্যার সাথে কাপড়ের দৈর্ঘ্যের সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় হস্তচালিত তাঁতের সংখ্যা = $12 \times \frac{18}{15} \times \frac{2700}{1080}$ টি

$= \frac{12 \times 18 \times 2700}{15 \times 1080}$ টি

$= \frac{583200}{16200}$ টি

$= 36$ টি

এখন, একটি যন্ত্রচালিত তাঁত একটি হস্তচালিত তাঁতের $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ গুণ ক্ষমতা সম্পন্ন।

অতএব, প্রয়োজনীয় যন্ত্রচালিত তাঁতের সংখ্যা = $\frac{36}{9/4} = 36 \times \frac{4}{9} = 4 \times 4 = 16$ টি।

সুতরাং, 16টি যন্ত্রচালিত তাঁত লাগবে।

সমাধান :

সমস্যাটি হলো: কৃষকের সংখ্যা, জমির পরিমাণ এবং সময়ের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

কৃষকের সংখ্যার সাথে জমির পরিমাণের সরল সম্পর্ক। কৃষকের সংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় কৃষকের সংখ্যা = $25 \times \frac{1200}{2400} \times \frac{36}{30}$ জন

$= 25 \times \frac{1}{2} \times \frac{6}{5}$ জন

$= \frac{25 \times 6}{10}$ জন

$= 15$ জন

সুতরাং, একটি ট্রাক্টরের ক্ষমতা 15 জন কৃষকের ক্ষমতার সমান।

সমাধান :

প্রাথমিক নাবিকের সংখ্যা = 36 জন।

প্রাথমিক মোট সময় = 25 দিন।

প্রাথমিক দৈনিক বরাদ্দ = 850 গ্রাম।

13 দিন পর, অবশিষ্ট সময় = $25 - 13 = 12$ দিন।

13 দিন পর নাবিক সংখ্যা = $36 + 15 = 51$ জন।

নতুন পৌঁছানোর সময় = 10 দিন।

এখন, আমাদের 13 দিনের পরের অবশিষ্ট খাবারের পরিমাণ নিয়ে কাজ করতে হবে।

নাবিকের সংখ্যার সাথে দৈনিক বরাদ্দের ব্যস্ত সম্পর্ক। সময়ের সাথে দৈনিক বরাদ্দের ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় দৈনিক বরাদ্দ = $850 \times \frac{36}{51} \times \frac{12}{10}$ গ্রাম

$= \frac{850 \times 36 \times 12}{51 \times 10}$ গ্রাম

$= \frac{367200}{510}$ গ্রাম

$= 720$ গ্রাম

সুতরাং, প্রত্যেক নাবিককে প্রতিদিন 720 গ্রাম করে খাবার খেতে হবে।

সমাধান :

এখানে লোকসংখ্যা, সময় এবং রাস্তার দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

রাস্তার দৈর্ঘ্যের সাথে লোকসংখ্যা, দৈনিক সময় ও মোট সময়ের সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় রাস্তার দৈর্ঘ্য = $120 \times \frac{42}{36} \times \frac{8}{6} \times \frac{9}{8}$ মিটার

$= \frac{120 \times 42 \times 8 \times 9}{36 \times 6 \times 8}$ মিটার

$= \frac{362880}{1728}$ মিটার

$= 210$ মিটার

সুতরাং, 210 মিটার দৈর্ঘ্যের রাস্তা তৈরি করা যাবে।

সমাধান :

এখানে পুকুরের আয়তন, লোকসংখ্যা, দৈনিক সময় এবং মোট সময়ের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:

প্রথম পুকুরের আয়তন = $50 \times 35 \times 5.2 = 9100$ ঘনমিটার।

দ্বিতীয় পুকুরের আয়তন = $65 \times 40 \times 5.6 = 14560$ ঘনমিটার।

পুকুরের আয়তনের সাথে সময়ের সরল সম্পর্ক। লোকসংখ্যা ও দৈনিক সময়ের সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক।

নির্ণেয় মোট সময় = $18 \times \frac{14560}{9100} \times \frac{250}{300} \times \frac{10}{8}$ দিন

$= \frac{18 \times 14560 \times 250 \times 10}{9100 \times 300 \times 8}$ দিন

$= \frac{65520000}{2184000}$ দিন

$= 30$ দিন

সুতরাং, অপর পুকুরটি কাটতে 30 দিন সময় লাগবে।

সমাধান :

(a) মোটরের ক্ষমতা, সময় এবং বিদ্যুৎ খরচের মধ্যে সম্পর্ক:

গণিতের গল্প: একটি 5 অশ্বশক্তির পাম্প 8 ঘন্টা চললে 20 ইউনিট বিদ্যুৎ খরচ করে। যদি একটি 3 অশ্বশক্তির পাম্প 10 ঘন্টা চলে, তবে কত ইউনিট বিদ্যুৎ খরচ হবে?

ক্ষমতা ও সময়ের সাথে বিদ্যুৎ খরচের সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় বিদ্যুৎ খরচ = $20 \times \frac{3}{5} \times \frac{10}{8}$ একক

$= 15$ একক

সুতরাং, 15 ইউনিট বিদ্যুৎ খরচ হবে।

(b) ক্ষেতমজুরের সংখ্যা, সময় এবং জমির পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক:

গণিতের গল্প: 5 জন ক্ষেতমজুর 15 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। যদি 10 জন ক্ষেতমজুর 36 বিঘা জমি চাষ করেন, তবে কতদিন সময় লাগবে?

ক্ষেতমজুরের সংখ্যার সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক। জমির পরিমাণের সাথে সময়ের সরল সম্পর্ক।

নির্ণেয় সময় = $15 \times \frac{5}{10} \times \frac{36}{18}$ দিন

$= 15 \times \frac{1}{2} \times 2$ দিন

$= 15$ দিন

সুতরাং, 15 দিন সময় লাগবে।