WBBSE Class 8 Mathematics Solutions - কষে দেখি 17.2

সমাধান :

প্রিয়া ১০ ঘণ্টায় করে ১টি কাজ।

প্রিয়া ১ ঘণ্টায় করে $\frac{1}{10}$ অংশ কাজ।

দেবু ১২ ঘণ্টায় করে ১টি কাজ।

দেবু ১ ঘণ্টায় করে $\frac{1}{12}$ অংশ কাজ।

প্রিয়া ও দেবু একসঙ্গে ১ ঘণ্টায় করে $(\frac{1}{10} + \frac{1}{12})$ অংশ কাজ।

$= \frac{6+5}{60}$ অংশ কাজ।

$= \frac{11}{60}$ অংশ কাজ।

তারা একত্রে $\frac{11}{60}$ অংশ কাজ করে ১ ঘণ্টায়।

তারা একত্রে ১ (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ করে $\frac{60}{11}$ ঘণ্টায়।

$\frac{60}{11}$ ঘণ্টা = $5\frac{5}{11}$ ঘণ্টা।

সুতরাং, তারা একসঙ্গে কাজটি $5\frac{5}{11}$ ঘণ্টায় শেষ করবে।

সমাধান :

দাদা ১২ দিনে করে ১টি কাজ।

দাদা ১ দিনে করে $\frac{1}{12}$ অংশ কাজ।

দিদি ৪ দিনে করে ১টি কাজ।

দিদি ১ দিনে করে $\frac{1}{4}$ অংশ কাজ।

আমি ৬ দিনে করে ১টি কাজ।

আমি ১ দিনে করি $\frac{1}{6}$ অংশ কাজ।

আমরা তিনজন একসঙ্গে ১ দিনে করি $(\frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6})$ অংশ কাজ।

$= \frac{1+3+2}{12}$ অংশ কাজ।

$= \frac{6}{12}$ অংশ কাজ।

$= \frac{1}{2}$ অংশ কাজ।

আমরা তিনজন একত্রে $\frac{1}{2}$ অংশ কাজ করি ১ দিনে।

আমরা তিনজন একত্রে ১ (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ করি $1 \times 2$ দিনে = ২ দিনে।

সুতরাং, আমরা তিনজন একসাথে কাজটি **২ দিনে** শেষ করতে পারব।

সমাধান :

অবনী ২০ দিনে করে ১টি কাজ।

অবনী ১ দিনে করে $\frac{1}{20}$ অংশ কাজ।

আনোয়ার ২৫ দিনে করে ১টি কাজ।

আনোয়ার ১ দিনে করে $\frac{1}{25}$ অংশ কাজ।

অবনী ও আনোয়ার একসঙ্গে ১ দিনে করে $(\frac{1}{20} + \frac{1}{25})$ অংশ কাজ।

$= \frac{5+4}{100}$ অংশ কাজ।

$= \frac{9}{100}$ অংশ কাজ।

তারা ১০ দিন কাজ করেছে, তাই মোট কাজ হয়েছে: $10 \times \frac{9}{100} = \frac{9}{10}$ অংশ।

বাকি কাজ = $1 - \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$ অংশ।

সুবেন $\frac{1}{10}$ অংশ কাজ করে ৩ দিনে।

সুবেন ১ (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ করে $3 \times 10$ দিনে = **৩০ দিনে**।

সুতরাং, সুবেন পুরো কাজটি একা করলে **৩০ দিনে** শেষ করতে পারত।

সমাধান :

প্রথম নল ৪ ঘণ্টায় খালি করে ১টি ট্যাঙ্ক।

প্রথম নল ১ ঘণ্টায় খালি করে $\frac{1}{4}$ অংশ ট্যাঙ্ক।

দ্বিতীয় নল ৪ ঘণ্টায় খালি করে ১টি ট্যাঙ্ক।

দ্বিতীয় নল ১ ঘণ্টায় খালি করে $\frac{1}{4}$ অংশ ট্যাঙ্ক।

দুটি নল একসঙ্গে ১ ঘণ্টায় খালি করে $(\frac{1}{4} + \frac{1}{4})$ অংশ ট্যাঙ্ক।

$= \frac{2}{4}$ অংশ ট্যাঙ্ক।

$= \frac{1}{2}$ অংশ ট্যাঙ্ক।

তারা একত্রে $\frac{1}{2}$ অংশ ট্যাঙ্ক খালি করে ১ ঘণ্টায়।

তারা একত্রে ১ (সম্পূর্ণ) অংশ ট্যাঙ্ক খালি করে $1 \times 2$ ঘণ্টায় = ২ ঘণ্টায়।

সুতরাং, দুটি নল একসঙ্গে খোলা রাখলে **২ ঘণ্টায়** জলপূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি হবে।

সমাধান :

প্রথম নল ১৮ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা।

প্রথম নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে $\frac{1}{18}$ অংশ।

দ্বিতীয় নল ২১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা।

দ্বিতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে $\frac{1}{21}$ অংশ।

তৃতীয় নল ২৪ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা।

তৃতীয় নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে $\frac{1}{24}$ অংশ।

(a) একসাথে ৩টি নল খোলা থাকলে:

১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $(\frac{1}{18} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24})$ অংশ।

$= \frac{28+24+21}{504}$ অংশ। (যেহেতু ১৮, ২১, ২৪ এর ল.সা.গু. হল ৫০৪)

$= \frac{73}{504}$ অংশ।

অতএব, $\frac{73}{504}$ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়।

১ (সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় $\frac{504}{73}$ ঘণ্টায়।

$\frac{504}{73}$ ঘণ্টা $\approx$ **৬.৯০৪** ঘণ্টা।

(b) যদি প্রথম দুটি নল খোলা থাকত:

১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $(\frac{1}{18} + \frac{1}{21})$ অংশ।

$= \frac{7+6}{126}$ অংশ। (যেহেতু ১৮, ২১ এর ল.সা.গু. হল ১২৬)

$= \frac{13}{126}$ অংশ।

অতএব, $\frac{13}{126}$ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়।

১ (সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় $\frac{126}{13}$ ঘণ্টায়।

$\frac{126}{13}$ ঘণ্টা $\approx$ **৯.৬৯২** ঘণ্টা।

(c) যদি শেষের দুটি নল খোলা থাকত:

১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $(\frac{1}{21} + \frac{1}{24})$ অংশ।

$= \frac{8+7}{168}$ অংশ। (যেহেতু ২১, ২৪ এর ল.সা.গু. হল ১৬৮)

$= \frac{15}{168}$ অংশ।

$= \frac{5}{56}$ অংশ।

অতএব, $\frac{5}{56}$ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়।

১ (সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় $\frac{56}{5}$ ঘণ্টায়।

$\frac{56}{5}$ ঘণ্টা = **১১.২** ঘণ্টা।

সমাধান :

পৌরসভার নল ৩০ মিনিটে পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা।

১ মিনিটে পূর্ণ করে $\frac{1}{30}$ অংশ।

একদিন নলটি খোলা ছিল ২৫ মিনিট।

২৫ মিনিটে পূর্ণ হয় $25 \times \frac{1}{30} = \frac{5}{6}$ অংশ।

এখন, বাড়ির সমস্ত জল দিয়ে কাজ করতে পারে ৪ ঘণ্টায়, অর্থাৎ ২৪০ মিনিটে।

১ (সম্পূর্ণ) চৌবাচ্চার জল দিয়ে কাজ করে ২৪০ মিনিটে।

$\frac{5}{6}$ অংশ জল দিয়ে কাজ করবে $240 \times \frac{5}{6}$ মিনিটে।

$= 40 \times 5$ মিনিটে।

$= 200$ মিনিটে।

$= \frac{200}{60}$ ঘণ্টা।

$= 3\frac{2}{6}$ ঘণ্টা = $3\frac{1}{3}$ ঘণ্টা।

সুতরাং, ওই জল দিয়ে তারা **৩ ঘণ্টা ২০ মিনিট** কাজ করতে পারবে।

সমাধান :

রমা + রোহিত = ২০ দিনে করে ১টি কাজ।

রমা + রোহিত = ১ দিনে করে $\frac{1}{20}$ অংশ কাজ। ... (i)

রোহিত + সাব্বা = ১৫ দিনে করে ১টি কাজ।

রোহিত + সাব্বা = ১ দিনে করে $\frac{1}{15}$ অংশ কাজ। ... (ii)

রমা + সাব্বা = ২০ দিনে করে ১টি কাজ।

রমা + সাব্বা = ১ দিনে করে $\frac{1}{20}$ অংশ কাজ। ... (iii)

তিনজনের ১ দিনের কাজ:

$2 \times (\text{রমা} + \text{রোহিত} + \text{সাব্বা})$ ১ দিনে করে $(\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20})$ অংশ।

$= \frac{3+4+3}{60}$ অংশ।

$= \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ অংশ।

$(\text{রমা} + \text{রোহিত} + \text{সাব্বা})$ ১ দিনে করে $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ অংশ।

অতএব, তারা একত্রে কাজটি **১২ দিনে** শেষ করবে।

আলাদাভাবে কে কতদিনে কাজ করবে:

রমা ১ দিনে করে $(\frac{1}{12} - \frac{1}{15})$ অংশ।

$= \frac{5-4}{60} = \frac{1}{60}$ অংশ।

রমা কাজটি একা করবে **৬০ দিনে**।

রোহিত ১ দিনে করে $(\frac{1}{12} - \frac{1}{20})$ অংশ।

$= \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ অংশ।

রোহিত কাজটি একা করবে **৩০ দিনে**।

সাব্বা ১ দিনে করে $(\frac{1}{12} - \frac{1}{20})$ অংশ।

$= \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$ অংশ।

সাব্বা কাজটি একা করবে **৩০ দিনে**।

সমাধান :

আলোক ১০ দিনে করে ১টি কাজ, ১ দিনে করে $\frac{1}{10}$ অংশ।

কালাম ১২ দিনে করে ১টি কাজ, ১ দিনে করে $\frac{1}{12}$ অংশ।

জোসেফ ১৫ দিনে করে ১টি কাজ, ১ দিনে করে $\frac{1}{15}$ অংশ।

তারা তিনজন একসঙ্গে ১ দিনে করে $(\frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15})$ অংশ।

$= \frac{6+5+4}{60}$ অংশ = $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ অংশ।

৩ দিন কাজ করেছে: $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ অংশ।

বাকি কাজ = $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ অংশ।

এখন, আলোক ও জোসেফ ১ দিনে করে $(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})$ অংশ।

$= \frac{3+2}{30}$ অংশ = $\frac{5}{30} = \frac{1}{6}$ অংশ।

আলোক ও জোসেফ $\frac{1}{6}$ অংশ কাজ করে ১ দিনে।

আলোক ও জোসেফ $\frac{1}{4}$ অংশ কাজ করে $1 \times 6 \times \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = 1\frac{1}{2}$ দিনে।

সুতরাং, বাকি কাজটি আলোক ও জোসেফ **$1\frac{1}{2}$ দিনে** শেষ করবে।

সমাধান :

মেরি ১০ দিনে করে ১টি কাজ, ১ দিনে করে $\frac{1}{10}$ অংশ।

ডেভিড ১৫ দিনে করে ১টি কাজ, ১ দিনে করে $\frac{1}{15}$ অংশ।

মেরি ৪ দিনে করে $4 \times \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ অংশ।

ডেভিড ৫ দিনে করে $5 \times \frac{1}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ অংশ।

মেরি ও ডেভিড মোট কাজ করেছে $\frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15}$ অংশ।

বাকি কাজ = $1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$ অংশ।

মারিয়া $\frac{4}{15}$ অংশ কাজ করে ৪ দিনে।

মারিয়া ১ অংশ কাজ করবে $4 \times \frac{15}{4} = 15$ দিনে।

যদি তিনজন একসাথে কাজ করত:

১ দিনে কাজ করবে $(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{15})$ অংশ।

$= \frac{3+2+2}{30} = \frac{7}{30}$ অংশ।

সুতরাং, তারা একত্রে কাজটি শেষ করবে $\frac{30}{7} = 4\frac{2}{7}$ দিনে।

সমাধান :

প্রথম পাম্প ১৬ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১ অংশ, ১ ঘণ্টায় করে $\frac{1}{16}$ অংশ।

দ্বিতীয় পাম্প ২০ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১ অংশ, ১ ঘণ্টায় করে $\frac{1}{20}$ অংশ।

তৃতীয় পাম্প ৩০ ঘণ্টায় পূর্ণ করে ১ অংশ, ১ ঘণ্টায় করে $\frac{1}{30}$ অংশ।

শুরুতে জলপূর্ণ ছিল $\frac{1}{3}$ অংশ। বাকি কাজ = $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ অংশ।

১ ঘণ্টা ৩৬ মিনিট = $1 + \frac{36}{60} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ ঘণ্টা।

প্রথম ১ ঘণ্টা ৩৬ মিনিটে তিনটি পাম্প একসঙ্গে চলেছিল।

১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $(\frac{1}{16} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = \frac{15+12+8}{240} = \frac{35}{240} = \frac{7}{48}$ অংশ।

$\frac{8}{5}$ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় $\frac{7}{48} \times \frac{8}{5} = \frac{7}{6 \times 5} = \frac{7}{30}$ অংশ।

২ ঘণ্টা পর তৃতীয় পাম্প বন্ধ হয়ে যায়। অর্থাৎ, প্রথম ও দ্বিতীয় পাম্প চালু ছিল $2 - \frac{8}{5} = \frac{10-8}{5} = \frac{2}{5}$ ঘণ্টা।

প্রথম ও দ্বিতীয় পাম্প ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে $(\frac{1}{16} + \frac{1}{20}) = \frac{5+4}{80} = \frac{9}{80}$ অংশ।

$\frac{2}{5}$ ঘণ্টায় পূর্ণ করে $\frac{9}{80} \times \frac{2}{5} = \frac{9}{40 \times 5} = \frac{9}{200}$ অংশ।

বাকি কাজ = $\frac{2}{3} - (\frac{7}{30} + \frac{9}{200})$ অংশ।

(a) জলাধারটি কখন সম্পূর্ণ জলপূর্ণ হয়েছিল:

প্রথমে $\frac{1}{3}$ অংশ পূর্ণ ছিল।

প্রথম ১ ঘণ্টা ৩৬ মিনিটে পূর্ণ হয় $\frac{7}{30}$ অংশ।

পরবর্তী ২ ঘণ্টা পর তৃতীয় পাম্প বন্ধ হয়ে যায়। এই সময়ের মধ্যে প্রথম ও দ্বিতীয় পাম্প চলে $\frac{9}{200}$ অংশ।

মোট পূর্ণ অংশ = $\frac{1}{3} + \frac{7}{30} + \frac{9}{200} = \frac{200+140+27}{600} = \frac{367}{600}$

বাকি অংশ = $1 - \frac{367}{600} = \frac{233}{600}$ অংশ।

এখন শুধু দ্বিতীয় পাম্পটি চলছে।

দ্বিতীয় পাম্প ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে $\frac{1}{20}$ অংশ।

বাকি অংশ পূর্ণ করতে সময় লাগে $\frac{233/600}{1/20} = \frac{233}{600} \times 20 = \frac{233}{30}$ ঘণ্টা $\approx 7.766$ ঘণ্টা।

শুরু হয়েছিল সকাল ৭ টায়।

সময় লাগে $1\frac{36}{60} + 2 + 7.766 = 1.6 + 2 + 7.766 = 11.366$ ঘণ্টা।

সম্পূর্ণ জলপূর্ণ হয়েছিল সকাল ৭টা থেকে $11.366$ ঘণ্টা পর।

**সকাল ৭টা + ১১ ঘণ্টা ২২ মিনিট ≈ সন্ধ্যা ৬:২২**।

(b) দ্বিতীয় পাম্পটি জলাধারের কত অংশ পূর্ণ করেছিল:

মোট সময় = $1.6 + 2 + 7.766 = 11.366$ ঘণ্টা।

দ্বিতীয় পাম্পটি চালু ছিল $11.366$ ঘণ্টা।

পূর্ণ করা অংশ = $11.366 \times \frac{1}{20} = 0.5683$ অংশ।

(c) তৃতীয় পাম্পটি যখন বন্ধ হয়, তখন জলাধারটির কত অংশ জলপূর্ণ ছিল:

তৃতীয় পাম্পটি বন্ধ হয় সকাল ৭টা থেকে ২ ঘণ্টা পর।

মোট পূর্ণ অংশ = $\frac{1}{3} + (\frac{1}{16} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30}) \times 2$

$= \frac{1}{3} + \frac{35}{240} \times 2 = \frac{1}{3} + \frac{35}{120} = \frac{1}{3} + \frac{7}{24} = \frac{8+7}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ অংশ।

সুতরাং, তৃতীয় পাম্পটি যখন বন্ধ হয় তখন জলাধারটির $\frac{5}{8}$ অংশ জলপূর্ণ ছিল।

সমাধান :

আমি ৫ ঘণ্টায় কাজ করতে পারি, ধরে নিই।

বীণা ৪ ঘণ্টায় কাজ করে ১টি, ১ ঘণ্টায় করে $\frac{1}{4}$ অংশ।

আমি ৫ ঘণ্টায় কাজ করি ১টি, ১ ঘণ্টায় করি $\frac{1}{5}$ অংশ।

একসঙ্গে ১ ঘণ্টায় করে $(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20}$ অংশ।

অতএব, সম্পূর্ণ কাজটি করতে সময় লাগবে $\frac{20}{9}$ ঘণ্টা = $2\frac{2}{9}$ ঘণ্টা।