WBBSE Class 8 Mathematics Solutions - কষে দেখি 20.2

সমাধান :

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট কোনো বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হলো $(n-2) \times 180^\circ$।

(i) পঞ্চভুজ (বাহুসংখ্যা, $n=5$):

অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$

(ii) ষড়ভুজ (বাহুসংখ্যা, $n=6$):

অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$

(iii) সপ্তভুজ (বাহুসংখ্যা, $n=7$):

অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (7-2) \times 180^\circ = 5 \times 180^\circ = 900^\circ$

(iv) অষ্টভুজ (বাহুসংখ্যা, $n=8$):

অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (8-2) \times 180^\circ = 6 \times 180^\circ = 1080^\circ$

(v) দশভুজ (বাহুসংখ্যা, $n=10$):

অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (10-2) \times 180^\circ = 8 \times 180^\circ = 1440^\circ$

(vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 12 ($n=12$):

অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (12-2) \times 180^\circ = 10 \times 180^\circ = 1800^\circ$

সমাধান :

আমরা জানি, একটি চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি $360^\circ$।

চতুর্ভুজটির তিনটি কোণের পরিমাপ হলো $104.5^\circ$, $65^\circ$ এবং $72.5^\circ$।

তিনটি কোণের সমষ্টি $= 104.5^\circ + 65^\circ + 72.5^\circ = 242^\circ$

চতুর্থ কোণটির পরিমাপ $= 360^\circ - 242^\circ = 118^\circ$

সুতরাং, চতুর্থ কোণটির পরিমাপ হলো $118^\circ$।

সমাধান :

আমরা জানি, একটি পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হলো $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$।

পঞ্চভুজটির চারটি কোণের পরিমাপ হলো $65^\circ$, $89^\circ$, $132^\circ$ এবং $116^\circ$।

চারটি কোণের সমষ্টি $= 65^\circ + 89^\circ + 132^\circ + 116^\circ = 402^\circ$

পঞ্চম কোণটির পরিমাপ $= 540^\circ - 402^\circ = 138^\circ$

সুতরাং, পঞ্চম কোণটির পরিমাপ হলো $138^\circ$।

সমাধান :

আমরা জানি, একটি উত্তল চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি $360^\circ$।

প্রদত্ত তিনটি কোণের সমষ্টি $= 68^\circ + 70^\circ + 75^\circ = 213^\circ$

চতুর্থ কোণের পরিমাপ $= 360^\circ - 213^\circ = 147^\circ$

যেহেতু, চতুর্থ কোণটির পরিমাপ $180^\circ$ এর চেয়ে কম, এবং চতুর্ভুজের কোনো অন্তঃকোণই $180^\circ$ এর চেয়ে বেশি হতে পারে না, তাই এটি একটি উত্তল চতুর্ভুজ হতে পারে।

সুতরাং, প্রদত্ত পরিমাপগুলি একটি উত্তল চতুর্ভুজের কোণ হতে পারে।

সমাধান :

আমরা জানি, একটি উত্তল ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হলো $(6-2) \times 180^\circ = 720^\circ$।

প্রদত্ত পাঁচটি কোণের সমষ্টি $= 120^\circ + 70^\circ + 95^\circ + 78^\circ + 160^\circ = 523^\circ$

ষষ্ঠ কোণের পরিমাপ $= 720^\circ - 523^\circ = 197^\circ$

যেহেতু, ষষ্ঠ কোণটির পরিমাপ $180^\circ$ এর চেয়ে বেশি, তাই এটি একটি উত্তল ষড়ভুজ হতে পারে না।

সুতরাং, প্রদত্ত পরিমাপগুলি একটি উত্তল ষড়ভুজের কোণ হতে পারে না।

সমাধান :

আমরা জানি, সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $=\frac{360^\circ}{n}$ এবং প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $=180^\circ - \text{বহিঃকোণ}$।

(i) পঞ্চভুজ (n=5):

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$

অন্তঃকোণ $= 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$

(ii) ষড়ভুজ (n=6):

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$

অন্তঃকোণ $= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

(iii) অষ্টভুজ (n=8):

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

অন্তঃকোণ $= 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

(iv) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 9টি (n=9):

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$

অন্তঃকোণ $= 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

(v) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 10টি (n=10):

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$

অন্তঃকোণ $= 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

(vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 18টি (n=18):

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

অন্তঃকোণ $= 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$

সমাধান :

কোনো বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $\frac{360^\circ}{n}$ হয়, যেখানে $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা। সুতরাং, বহিঃকোণের পরিমাপ $360^\circ$ এর একটি গুণনীয়ক হতে হবে।

(i) $6^\circ$: হ্যাঁ, কারণ $\frac{360}{6} = 60$ (পূর্ণসংখ্যা)।

(ii) $10^\circ$: হ্যাঁ, কারণ $\frac{360}{10} = 36$ (পূর্ণসংখ্যা)।

(iii) $13^\circ$: না, কারণ $\frac{360}{13}$ একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।

(iv) $18^\circ$: হ্যাঁ, কারণ $\frac{360}{18} = 20$ (পূর্ণসংখ্যা)।

(v) $35^\circ$: না, কারণ $\frac{360}{35}$ একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।

সমাধান :

কোনো বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $= 180^\circ - \text{বহিঃকোণ}$। তাই, বহিঃকোণের পরিমাপ $= 180^\circ - \text{অন্তঃকোণ}$। বহিঃকোণের পরিমাপ $360^\circ$ এর গুণনীয়ক হতে হবে।

(i) $80^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$। না, কারণ $\frac{360}{100}$ পূর্ণসংখ্যা নয়।

(ii) $100^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$। না, কারণ $\frac{360}{80}$ পূর্ণসংখ্যা নয়।

(iii) $120^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$। হ্যাঁ, কারণ $\frac{360}{60} = 6$ (পূর্ণসংখ্যা)।

(iv) $144^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$। হ্যাঁ, কারণ $\frac{360}{36} = 10$ (পূর্ণসংখ্যা)।

(v) $155^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ$। না, কারণ $\frac{360}{25}$ পূর্ণসংখ্যা নয়।

(vi) $160^\circ$: বহিঃকোণ $= 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$। হ্যাঁ, কারণ $\frac{360}{20} = 18$ (পূর্ণসংখ্যা)।

সমাধান :

সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $= \frac{360^\circ}{n}$।

সুতরাং, $\frac{360^\circ}{n} = 60^\circ$

$n = \frac{360}{60} = 6$

বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 6।

সমাধান :

বহুভুজটির প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $135^\circ$।

প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $= 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$।

সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $= \frac{360^\circ}{n}$।

সুতরাং, $\frac{360^\circ}{n} = 45^\circ$

$n = \frac{360}{45} = 8$

বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 8।

সমাধান :

ধরি, বহুভুজটির অন্তঃকোণের পরিমাপ $3x$ এবং বহিঃকোণের পরিমাপ $2x$।

আমরা জানি, অন্তঃকোণ + বহিঃকোণ $= 180^\circ$।

$3x + 2x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

সুতরাং, প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $= 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$।

বহিঃকোণ $= \frac{360^\circ}{n}$।

$72^\circ = \frac{360^\circ}{n}$

$n = \frac{360}{72} = 5$

বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 5।

সমাধান :

ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $n$।

অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হলো $(n-2) \times 180^\circ$।

সুতরাং, $(n-2) \times 180^\circ = 1800^\circ$

$n-2 = \frac{1800}{180}$

$n-2 = 10$

$n = 10+2 = 12$

বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 12।

সমাধান :

ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $n$।

বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $=(n-2) \times 180^\circ$।

পাঁচটি অন্তঃকোণের সমষ্টি $= 5 \times 172^\circ = 860^\circ$।

অবশিষ্ট অন্তঃকোণগুলির সংখ্যা $= (n-5)$।

অবশিষ্ট অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি $= (n-5) \times 160^\circ$।

শর্তানুসারে, $860 + (n-5) \times 160 = (n-2) \times 180$

$860 + 160n - 800 = 180n - 360$

$160n + 60 = 180n - 360$

$180n - 160n = 60 + 360$

$20n = 420$

$n = \frac{420}{20} = 21$

সুতরাং, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 21।

প্রমাণ :

ধরি, $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। $\angle A$ এবং $\angle B$ সন্নিহিত কোণ।

$A$ এবং $B$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি $P$ বিন্দুতে মিলিত হয়।

প্রমাণ করতে হবে: $\angle APB = \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$।

$\triangle APB$ তে, $\angle APB + \angle PAB + \angle PBA = 180^\circ$

$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA)$

যেহেতু $AP$ এবং $BP$ হলো যথাক্রমে $\angle A$ এবং $\angle B$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle A$ এবং $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle B$।

$\angle APB = 180^\circ - (\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$ ... (i)

আমরা জানি, চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি $360^\circ$।

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

$\angle A + \angle B = 360^\circ - (\angle C + \angle D)$

এই মানটি সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই:

$\angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2}[360^\circ - (\angle C + \angle D)]$

$= 180^\circ - 180^\circ + \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$

$= \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$

প্রমাণিত।

প্রমাণ :

প্রদত্ত: ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।

সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $= \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ$।

সুতরাং, $\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA = \angle EAB = 108^\circ$।

এবং প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান: $AB = BC = CD = DE = EA$।

(i) $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু

$\triangle ABC$ তে, $AB = BC$ (সুষম পঞ্চভুজের বাহু)।

সুতরাং, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

(ii) BE ও CD সমান্তরাল সরলরেখাংশ

$\triangle BCD$ এবং $\triangle ABE$ তে, $AB=BC$, $AE=CD$ এবং $\angle ABE = \angle BCD$।

সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি কোণ $108^\circ$।

$\triangle ABC$ তে, $AB=BC$, তাই $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$।

$\angle BCD = 108^\circ$।

$\angle BCE = \angle BCD - \angle BCA = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$।

একইভাবে, $\angle CBE = 72^\circ$।

সুতরাং, $\angle CBE = \angle BCE$।

$\triangle BCE$ সমদ্বিবাহু, $BE=CE$।

আবার, $\triangle CDE$ তে, $CD = DE$, তাই $\angle DCE = \angle DEC$।

$\angle CDE=108^\circ$, তাই $\angle DCE = \angle DEC = \frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ$।

এখন, $\angle BCE = 72^\circ$ এবং $\angle DCE = 36^\circ$।

$\angle BCD = \angle BCE+\angle ECD = 72^\circ+36^\circ=108^\circ$।

আমরা পাই, $\angle EBC = 72^\circ$ এবং $\angle BCD = 108^\circ$।

$\angle EBC + \angle BCD = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$।

যেহেতু, $BE$ এবং $CD$ সরলরেখাংশের উপর $BC$ ছেদক এবং তাদের একপাশের অন্তঃকোণের সমষ্টি $180^\circ$, তাই $BE || CD$।

প্রমাণিত।

সমাধান :

প্রদত্ত: ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ।

সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $= \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$।

সুতরাং, $\angle BAF = 120^\circ$।

$\angle BAF$-এর সমদ্বিখণ্ডক হলো $AF$। এটি $AF$ নয়, এটি $AX$।

ধরি, $\angle BAF$-এর সমদ্বিখণ্ডক হলো $AY$। তাহলে $\angle BAX = \frac{1}{2}\angle BAF = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$।

সুষম ষড়ভুজে, $AF$ এবং $DE$ বাহু দুটি সমান্তরাল।

যেহেতু $AX$ হলো $\angle BAF$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle FAB$ এর সমদ্বিখণ্ডক রেখা $AF$ এর সাথে একটি কোণ তৈরি করবে।

আমরা জানি যে, সুষম ষড়ভুজে $AB$ এবং $FE$ সমান্তরাল এবং $AF$ ছেদক।

সুষম ষড়ভুজে $AF || CD$ এবং $AF$ ও $DE$ সমান্তরাল নয়।

সুষম ষড়ভুজে, $BC || FE$ এবং $AB || ED$ এবং $CD || FA$।

সুতরাং, $CD || FA$।

$\angle BAF$-এর সমদ্বিখণ্ডক $AX$। $DE$ কে $X$ বিন্দুতে ছেদ করে।

যেহেতু $AX$ সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\angle FAX = \angle BAX = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$।

যেহেতু $FA || CD$ এবং $AD$ ছেদক, তাই $\angle FAD = \angle ADC$।

সুষম ষড়ভুজে, $AC$ একটি কর্ণ। $\triangle ABC$ তে $AB=BC$, $\angle B = 120^\circ$।

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ-120^\circ}{2} = 30^\circ$।

$\angle FAE = \angle EAB - \angle CAB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$।

$\angle AFA = 120^\circ$।

যেহেতু $CD || AF$ এবং $DE$ ছেদক, তাই $\angle CDE = \angle AFE = 120^\circ$।

$\angle FAX = 60^\circ$।

যেহেতু $AF$ এবং $DE$ সমান্তরাল নয়, তাই $\angle AXD$ এর মান বের করা কঠিন।

তবে, $AB || ED$। $AX$ হলো $AB$ এর সমদ্বিখণ্ডক নয়, $\angle BAF$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

সুষম ষড়ভুজে, $AF || CD$। $AY$ হলো $\angle FAY$।

সঠিক সমাধান: ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। প্রতিটি অন্তঃকোণ $120^\circ$।

যেহেতু $AB || DE$, এবং $AD$ ছেদক, তাই $\angle DAB + \angle ADE = 180^\circ$।

যেহেতু $\angle BAF = 120^\circ$, এর সমদ্বিখণ্ডক $\angle BAX = \angle FAX = 60^\circ$।

সুষম ষড়ভুজে, $AF$ এবং $CD$ সমান্তরাল।

অতএব, $AX$ এবং $CD$ সমান্তরাল।

$DE$ কে ছেদক হিসাবে ধরলে, $AX$ এবং $DE$ পরস্পর সমান্তরাল নয়।

সুষম ষড়ভুজে, $AB || ED$।

$AF$ এবং $CD$ সমান্তরাল।

$AX$ হলো $\angle BAF$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $AX$ একটি সরলরেখা।

আমরা জানি $AF || CD$। এবং $AX$ হলো $\angle BAF$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

সুতরাং, $\angle FAX = 60^\circ$।

যেহেতু $AF || CD$, $AX$ সরলরেখা এবং $AD$ ছেদক, তাই $\angle FAX + \angle AXD = 180^\circ$ (একই পাশের অন্তঃকোণ)।

$\angle AXD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$।

সুতরাং, $\angle AXD$ এর পরিমাপ হলো $120^\circ$।