WBBSE Class 8 Mathematics Solutions - কষে দেখি 20.3

সমাধান :

ধরি, যে স্থান থেকে যাত্রা শুরু করা হলো সেটি হল $O$ বিন্দু। পূর্ব-পশ্চিমমুখী রাস্তাটি হলো $AB$।

প্রথম ব্যক্তি $O$ বিন্দু থেকে দক্ষিণদিক বরাবর আসতে শুরু করলেন। তার রাস্তাটি হলো $OC$, যেখানে $C$ হলো $AB$ রাস্তার উপর একটি বিন্দু।

দ্বিতীয় ব্যক্তি $O$ বিন্দু থেকে দক্ষিণ-পূর্ব দিকে আসতে শুরু করলেন। তার রাস্তাটি হলো $OD$।

আমরা জানি, কোনো বিন্দু থেকে একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখাংশই হলো ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। এখানে, $OC \perp AB$।

সুতরাং, $OC$ হলো $O$ বিন্দু থেকে $AB$ সরলরেখার উপর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।

প্রথম ব্যক্তি সবচেয়ে কম দূরত্ব অতিক্রম করেছেন, তাই তিনি রাস্তায় আগে আসবেন।

সুতরাং, প্রথম ব্যক্তি রাস্তায় আগে আসবেন।

প্রমাণ :

ধরি, $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। এখানে $AB=AD$ এবং $BC=DC$।

আমরা $\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$ বিবেচনা করি।

$AB=AD$ (প্রদত্ত)

$BC=DC$ (প্রদত্ত)

$AC$ উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু।

সুতরাং, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (SSS শর্তানুসারে)

অতএব, $\angle BAC = \angle DAC$ এবং $\angle BCA = \angle DCA$।

অর্থাৎ, $AC$ রেখাংশ $\angle BAD$ এবং $\angle BCD$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

এখন, $AC$ রেখাংশের উপর D বিন্দু থেকে ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো DP, যেখানে $DP \perp AC$।

যেহেতু $AB = AD$, তাই $\triangle ABD$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমি পর্যন্ত লম্ব রেখা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। কিন্তু এখানে ভূমি হলো $BD$ নয়।

যেহেতু $\triangle ABD$ তে $AB=AD$, তাই $\angle ABD = \angle ADB$।

আবার, $\triangle CBD$ তে $CB=CD$, তাই $\angle CBD = \angle CDB$।

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$

$\angle ADC = \angle ADB + \angle CDB$

যেহেতু $DP \perp AC$, $P$ বিন্দুটি $AC$ এর উপর অবস্থিত।

যেহেতু $\triangle ADC$ এবং $\triangle ABC$ সর্বসম, তাই $\angle CAD = \angle CAB$।

সুতরাং, $AC$ রেখাংশ $\angle BAD$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

যেহেতু $AB = AD$, তাই $A$ বিন্দুটি $B$ এবং $D$ থেকে সমদূরবর্তী।

আবার, $CB = CD$, তাই $C$ বিন্দুটি $B$ এবং $D$ থেকে সমদূরবর্তী।

সুতরাং, $AC$ রেখাংশ $BD$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক হবে।

অর্থাৎ, $AC$ এবং $BD$ পরস্পর লম্ব এবং $P$ বিন্দুটি এদের ছেদবিন্দু।

সুতরাং, $DP$ রেখাংশ $AC$ এর উপর লম্ব।

আবার, যেহেতু $AC$ রেখাংশ $BD$ রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখণ্ডক, তাই $BD \perp AC$।

সুতরাং, $P$ বিন্দুটি $BD$ রেখার উপর অবস্থিত।

অতএব, $B, P$ এবং $D$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।

প্রমাণিত।

প্রমাণ :

ধরি, $\triangle ABC$ এর AD মধ্যমা। সুতরাং, $D$ হলো $BC$ এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, $BD = CD$।

$B$ বিন্দু থেকে $AD$ এর উপর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো $BP$, তাই $BP \perp AD$।

$C$ বিন্দু থেকে $AD$ এর উপর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো $CQ$, তাই $CQ \perp AD$।

এখন, $\triangle BDP$ এবং $\triangle CDQ$ ত্রিভুজদ্বয় বিবেচনা করি।

$\angle BPD = \angle CQD = 90^\circ$ (কারণ BP ও CQ হলো লম্ব)।

$\angle BDP = \angle CDQ$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

$BD = CD$ (কারণ AD মধ্যমা হওয়ায় D হলো BC এর মধ্যবিন্দু)।

সুতরাং, $\triangle BDP \cong \triangle CDQ$ (AAS শর্তানুসারে)

যেহেতু ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম, তাই তাদের অনুরূপ বাহুগুলি সমান হবে।

সুতরাং, $BP = CQ$

প্রমাণিত।