WBBSE Class 8 Mathematics Solutions - নিজে করি 20.3
জ্যামিতিক প্রমাণ (Geometric Proof)
সেখ রেজওয়ানুল কেরিম
পোস্ট করা হয়েছে: ২৫শে সেপ্টেম্বর, ২০২৫সর্বশেষ আপডেট: ২৫শে সেপ্টেম্বর, ২০২৫
এই সমাধানটি বন্ধুদের সাথে শেয়ার করুন:
অধ্যায় ২০: জ্যামিতিক প্রমাণ - নিজে করি 20.3
এই অংশে আমরা বহুভুজের অন্তর্বর্তী এবং বহির্বর্তী কোণের ধর্ম প্রমাণ করব।
১) জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি $360^\circ$।
প্রমাণ :
ধরি, $ABCD$ একটি চতুর্ভুজ। $AC$ কর্ণটি আঁকা হলো। কর্ণটি চতুর্ভুজটিকে $\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$ এই দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
আমরা জানি যে, ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি $180^\circ$।
$\triangle ABC$ তে, $\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$ ... (i)
$\triangle ADC$ তে, $\angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ$ ... (ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB + \angle ADC + \angle ACD + \angle CAD = 180^\circ + 180^\circ$
$\angle B + \angle D + (\angle BCA + \angle ACD) + (\angle CAB + \angle CAD) = 360^\circ$
যেহেতু, $\angle BCA + \angle ACD = \angle BCD = \angle C$ এবং $\angle CAB + \angle CAD = \angle DAB = \angle A$।
সুতরাং, $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$
অর্থাৎ, চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের পরিমাপের সমষ্টি $360^\circ$।
প্রমাণিত।
২) অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান :
আমরা জানি যে, $n$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট কোনো বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হলো $(n-2) \times 180^\circ$।
অষ্টভুজের বাহুসংখ্যা, $n=8$।
সুতরাং, অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হবে: $(8-2) \times 180^\circ$
$= 6 \times 180^\circ$
$= 1080^\circ$
অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি $1080^\circ$।
৩) যে সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10টি, সেই বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃকোণ ও অন্তঃকোণের পরিমাপ লিখি।
সমাধান :
প্রদত্ত সুষম বহুভুজের বাহুসংখ্যা, $n=10$।
আমরা জানি, কোনো সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো $\frac{360^\circ}{n}$।
বহুভুজটির প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $= \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$।
আমরা জানি, কোনো বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ এবং তার সংলগ্ন বহিঃকোণের সমষ্টি $180^\circ$।
সুতরাং, বহুভুজটির প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $= 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$।
সুতরাং, প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ $36^\circ$ এবং প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $144^\circ$।
৪) যে সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $120^\circ$ তার বাহুসংখ্যা কত হিসাব করে লিখি।
সমাধান :
ধরি, সুষম বহুভুজটির বাহুসংখ্যা $n$।
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাপ $120^\circ$।
সুতরাং, বহিঃকোণের পরিমাপ হবে $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$।
আমরা জানি, কোনো সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ হলো $\frac{360^\circ}{n}$।
সুতরাং, $\frac{360^\circ}{n} = 60^\circ$
$n = \frac{360}{60}$
$n = 6$
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হলো 6। এটি একটি সুষম ষড়ভুজ।