Madhyamik Mathematics 2022 PDF Download
Click the button below to open the Google Drive preview. You can read the paper online or click the download icon in the top right corner of the Drive preview to save it to your device.
View & Download PDF২০২২
MATHEMATICS
(First 15 minutes for reading the question paper only)
Full Marks: 90 - For Regular Candidates
Full Marks: 100 - For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting.
[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে $\pi$ এর আসন্ন মান $\frac{22}{7}$ ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 7 নং পৃষ্ঠায়]
[অতিরিক্ত প্রশ্ন নং 13 কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে]
১। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:
১x৬=৬
i) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা $P$ এবং প্রতিবছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার $2r\%$ হলে, $n$ বছর পর জনসংখ্যা হবে:
ii) ফতেমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতেমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশ বাবদ 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ওই ব্যবসায় নিয়োজিত করে:
iii) $A:B=2:3, B:C=5:8, C:D=6:7$ হলে $A:D=$
iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি জ্যা। P ও Q বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করে। $\angle PRQ = 60^{\circ}$ হলে $\angle OPQ$ এর মান হবে:
v) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা হবে:
vi) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $147\pi$ বর্গ সেমি হলে, উহার ব্যাসার্ধ হবে:
২। শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি):
১x৫=৫
i) 1 বছরের আসল ও সুদ-আসলের অনুপাত $8:9$ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার ।
ii) $ax^{2}+bx+c=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অনন্যক হলে, $c=$ ।
iii) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি ।
iv) কোনো বৃত্তের একটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হলে তারা পরস্পর হবে।
v) সমান ভূমি বিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট চোঙের উচ্চতা সমান হলে তাদের আয়তনের অনুপাত ।
vi) $x^{3}y$ এবং $xy^{3}$ এর মধ্য সমানুপাতী $x$ ও $y$ এর একই চিহ্নযুক্ত হলে, উহার মান হবে ।
৩। সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি):
১x৫=৫
i) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সময় অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যোগ হয়।
ii) $\sqrt{11}$ একটি দ্বিঘাত করণী।
iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুটির সর্বাধিক 4 টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
iv) $x:y = 3:4$ হলে $x$-এর মান 3 এবং $y$-এর মান 4।
v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে এবং উচ্চতা অর্ধেক করলে তার আয়তন পূর্বের আয়তনের দ্বিগুণ হবে।
vi) দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে তারা সর্বদা সর্বসম হবে।
৪। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো 10 টি) :
২x১০=২০
i) বার্ষিক $5\%$ সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো।
ii) একটি অংশীদারি কারবারে A, B ও C এর মূলধনের অনুপাত $\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}$। 4 মাস পর A তার মূলধনের অর্ধেক তুলে নেয়। ৪ মাস পরে মোট লাভ 2024 টাকা হলে, A এর লভ্যাংশ কত হবে?
iii) $x^{2}-2x+3=0$ সমীকরণের বীজদ্বয় $\alpha, \beta$ হলে $\alpha^{2}+\beta^{2}$ এর মান নির্ণয় করো।
iv) $x \propto y$ এবং $y \propto z$ হলে দেখাও যে $\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \propto (xy+yz+zx)$।
v) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে অবস্থিত P বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
vi) $\Delta ABC$ এর $AB$ এবং $AC$ বাহুর উপর $D$ ও $E$ বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে $DE \parallel BC$ এবং $AD:DB=3:2$, যদি $AE=4.8$ সেমি হয়, তবে $AC$ এর দৈর্ঘ্য কত?
vii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ 4 সেমি ও 9 সেমি হলে AB এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
viii) একটি আয়তঘনের তলসংখ্যা $x$, ধারসংখ্যা $y$, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা $z$ এবং কর্ণের সংখ্যা $p$ হলে $x-y+z+p$ এর মান কত?
ix) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
x) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন $100\pi$ ঘন সেমি হলে শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো।
xi) $r \cos \theta=2\sqrt{3}$, $r \sin \theta=2$ এবং $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ হয় তাহলে $r$ এবং $\theta$ এর মান নির্ণয় করো।
xii) $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে $\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}+c^{2}}=\frac{a}{c}$।
৫। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫
i) কোনো মূলধনের 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ যথাক্রমে 8400 টাকা এবং 8652 টাকা হলে, মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করো।
ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 8000 টাকা, 10000 টাকা এবং 12000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ধার নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তাঁরা দেখলেন 13400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকী টাকা তাঁরা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কত টাকা পাবেন?
৬। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) সমাধান করো: $\frac{1}{x+b+c}=\frac{1}{x}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, (x \ne 0, -(b+c))$
ii) দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি কী কী?
৭। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) $x=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ এবং $xy=1$ হলে প্রমাণ করো যে $\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x^{2}-xy+y^{2}}=\frac{12}{11}$।
ii) 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদ তত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করো।
৮। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) $\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}$ হলে প্রমাণ করো যে, প্রতিটি অনুপাতের মান $\frac{1}{2}$ অথবা $-1$।
ii) $x, y, z$ ক্রমিক সমানুপাতী হলে দেখাও যে $\frac{x^{2}y^{2}z^{2}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}} = \left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}\right)^{-1}$।
৯। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫
i) প্রমাণ করো যে, ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ওই লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ii) পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি বিবৃত করো এবং প্রমাণ করো।
১০। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle DAB$ এবং $\angle BCD$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে। O বৃত্তটির কেন্দ্র হলে $\angle XOY$ এর মান নির্ণয় করো।
ii) প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
১১। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫
i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার অতিভুজ 10 সেমি. এবং অপর একটি বাহু 8 সেমি.। ওই ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।
ii) 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো এবং ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি. দূরে, ঐ বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক অঙ্কন করো।
১২। যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
৪x৪=১৬
i) 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো।
ii) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি. বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা কতো।
iii) লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করো।
iv) 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।
v) একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি., 6 ডেসিমি. এবং 5.4 ডেসিমি.। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.58 কিগ্রা হলে, 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কতো?
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন]
১১। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
৫
i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অন্তবৃত্ত অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো।
ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো।
[কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন]
১৩। (a) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
২x৩=৬
i) $x \propto y$, $y \propto z$ এবং $z \propto x$ হলে ভেদধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো।
ii) কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের $1\frac{1}{2}$ গুণ। ওই ব্যবসায় B বৎসরান্তে 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা লভ্যাংশ পাবে?
iii) $x+\sqrt{x^{2}-9}=9$ হলে, $x-\sqrt{x^{2}-9}$ এর মান নির্ণয় করো।
iv) একটি গোলকের পৃষ্ঠতল যত বর্গ একক, এর ঘনফল তার দ্বিগুণ ঘন একক। গোলকটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
১৩। (b) যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
১x৪=৪
i) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{8}-\sqrt{3}$ এর মধ্যে কোটি বড়?
ii) কোন্ শর্তে $ax^{2}+bx+c=0 \ (a\ne0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হবে?
iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে, ত্রিভুজ দুটি কি ধরনের হয়?
iv) বার্ষিক $6\frac{1}{4}\%$ সরল সুদে কিছু টাকা কত বছরে দ্বিগুণ হবে নির্ণয় করো।
v) শূন্যস্থান পূরণ করো:
একই বৃত্তাংশের মধ্যে অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের হবে।
একই বৃত্তাংশের মধ্যে অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের হবে।