Madhyamik Mathematics 2023 PDF Download
Click the button below to open the Google Drive preview. You can read the paper online or click the download icon in the top right corner of the Drive preview to save it to your device.
View & Download PDF২০২৩
MATHEMATICS
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks: 90 - For Regular Candidates
Full Marks: 100 - For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point. Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness & bad handwriting.
[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে $\pi$-এর আসন্ন মান $\frac{22}{7}$ ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে ৪ নং পৃষ্ঠায়]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে]
১। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:
১x৬=৬
i) A, B, C তিন বন্ধু যথাক্রমে $x$, $2x$, $y$ টাকা মূলধন নিয়ে ব্যবসা শুরু করল, মেয়াদান্তে $z$ টাকা লাভ হলে, A-এর লভ্যাংশ হবে-
ii) $x^{2}=x$ এই সমীকরণটির সমাধান সংখ্যা-
iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা হবে-
iv) $\theta$ এর যে কোন মানের জন্য $5+4 \sin \theta$ র বৃহত্তম মান হবেঃ
v) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত $27:8$ হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে-
vi) একটি চলকের তিনটি মান 4, 5 এবং 7, তাদের পরিসংখ্যা যথাক্রমে $p-2$, $p+1$ ও $p-1$ চলকটির যৌগিক গড় 5.4 হলে $p$ এর মান হবে:
২। শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি):
১x৫=৫
i) 180 টাকার 1 বছরের সুদ আসল 198 টাকা হলে বার্ষিক সরল সুদের হার ।
ii) $(a^{2}bc)$ এবং $(4bc)$ এর মধ্য সমানুপাতী $x$ হলে, $x$ এর মান ।
iii) $\tan \theta \cos 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ হলে, $\sin(\theta-15^{\circ})$ এর মান হবে ।
iv) $\angle A$ এবং $\angle B$ দ্বয় পূরক কোণ হলে $\angle A + \angle B =$ ।
v) 8, 15, 10, 11, 7, 9, 11, 13 এবং 16 সংখ্যাগুলির মধ্যমা হবে ।
vi) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার ও র সমন্বয়।
৩। সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি):
১x৫=৫
i) চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে যদি প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের সুদের হার যথাক্রমে $r_{1}\%$, $r_{2}\%$ ও $r_{3}\%$ হয়, তবে $P$ টাকার 3 বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি $P\left(1+\frac{r_{1}}{100}\right)\left(1+\frac{r_{2}}{100}\right)\left(1+\frac{r_{3}}{100}\right)$ টাকা।
ii) $\cos 36^{\circ}$ এবং $\sin 54^{\circ}$ এর মান সমান।
iii) কোনো বহিস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের ওপর কেবলমাত্র একটি স্পর্শক টানা যায়।
iv) $2ab:c^{2}$, $bc:a^{2}$ এবং $ca:2b^{2}$ এর যৌগিক অনুপাত $1:1$।
v) কোনো গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তনের সাংখ্য মান সমান হলে ব্যাসার্ধ 3 একক হবে।
vi) 5, 2, 4, 3, 5, 2, 5, 2, 5, 2 তথ্যের সংখ্যাগুরু মান হবে 2।
৪। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো 10 টি) :
২x১০=২০
i) শতকরা বার্ষিক সরল সুদের হার কত হলে কোনো টাকার 4 বছরের সুদ আসলের $\frac{2}{5}$ অংশ হবে তা নির্ণয় করো।
ii) কোনো ব্যবসায় A ও B এর মূলধনের অনুপাত $\frac{1}{7}:\frac{1}{4}$, বছরের শেষে 11,000 টাকা লাভ হলে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ নির্ণয় করো।
iii) $x^{2}-x=K(2x-1)$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 2 হলে, $K$-এর মান নির্ণয় করো।
iv) যদি $b\propto a^{2}$ হয় এবং $a$-এর বৃদ্ধি হয় $2:3$ অনুপাতে, তাহলে $b$-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
v) একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা। BA এবং DC কে বর্ধিত করলে পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করো যে, $\angle PCB=\angle PAD$।
vi) $\Delta ABC$ এর AC এবং BC বাহু দুটির উপর যথাক্রমে L এবং M দুটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থান করে যাতে LM || AB এবং $AL=(x-2)$ একক, $AC=2x+3$ একক, $BM=(x-3)$ একক এবং $BC=2x$ একক, তবে $x$-এর মান নির্ণয় করো।
vii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক AB বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। $\angle ACB$ এর মান নির্ণয় করো।
viii) $\tan 2A=\cot(A-30^{\circ})$ হলে, $\sec(A+20^{\circ})$ এর মান নির্ণয় করো।
ix) $\tan \theta=\frac{8}{15}$ হলে, $\sin \theta$ র মান নির্ণয় করো।
x) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন $V$ ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল $A$ বর্গ একক এবং উচ্চতা $H$ একক হলে $\frac{AH}{3V}$ এর মান নির্ণয় করো।
xi) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ এবং সমান উচ্চতা বিশিষ্ট নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ এবং নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
xii) ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো 6, 8, 10, 12, 13, $x$ তথ্যের গড় ও মধ্যমা সমান হলে $x$ এর মান নির্ণয় করো।
৫। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫
i) ধূমপান বিরোধী প্রচারের ফলে প্রতি বছর ধূমপায়ীর সংখ্যা $6\frac{1}{4}\%$ হারে হ্রাস পায়। বর্তমানে কোনো শহরে 22500 জন ধূমপায়ী থাকলে, 2 বছর পূর্বে ওই শহরে কতজন ধূমপায়ী ছিল?
ii) একটি যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত $6:4:3$, 4 মাস পরে প্রথম বন্ধু তাঁর মূলধনের অর্ধেক তুলে নেন এবং তার ৪ মাস পরে মোট লাভ হয় 61,050 টাকা। তাহলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে?
৬। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) সমাধান করো: $\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}+6\frac{6}{7}=0$, $(x\ne3,-3)$
ii) কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও 3 টি কলম বেশী পাওয়া যাবে। মূল্য কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।
৭। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) যদি $x=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ এবং $y=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ হয় তবে $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}$ এর মান নির্ণয় করো।
ii) $x \propto y$ এবং $y \propto z$ হলে দেখাও যে $\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\propto\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$।
৮। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) $\frac{a^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{a+b}=1$ হলে দেখাও যে $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$।
ii) 5 টি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার চতুর্থটি 54 এবং পঞ্চমটি 162 হলে, প্রথমটি নির্ণয় করো।
৯। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫
i) প্রমাণ করো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
ii) প্রমাণ করো বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে থাকে।
১০। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৩
i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। $\angle DAB$ এবং $\angle BCD$ এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে। বৃত্তটির কেন্দ্র O হলে $\angle XOY$ এর মান নির্ণয় করো।
ii) প্রমাণ করো বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।
১১। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
৫
i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সেমি ও 8 সেমি। ঐ ত্রিভুজের একটি অন্তবৃত্ত অঙ্কন করো।
ii) 7 cm বাহু বিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো।
১২। যে কোন দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
৩x২=৬
i) যদি $\cos \theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ তবে প্রমাণ কর $x \sin \theta=y \cos \theta$।
ii) যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 cm হয়, তবে ঐ বৃত্তের 5.5 cm দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় কর।
iii) দেখাও যে, $\frac{\tan \theta+\sec \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$।
১৩। যে কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৫
i) একটি অসম্পূর্ণ স্তম্ভের পাদদেশ থেকে 50 মি দূরের কোন বিন্দু থেকে তার অগ্রভাগের উন্নতি কোণ $30^{\circ}$। স্তম্ভটি আর কত উচ্চতা বৃদ্ধি করলে ঐ বিন্দু থেকে তার শীর্ষের উন্নতি কোণ $45^{\circ}$ হবে।
ii) একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি বাতি স্তম্ভের চূড়া ও পাদবিন্দুর অবনতি কোণ যথাক্রমে $30^{\circ}$ ও $60^{\circ}$ বাড়ি ও বাতি স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় কর।
১৪। যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
৪x২=৮
i) 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 cm বহিব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ভূমির ব্যাসের 7 গুণ হতো, তবে শঙ্কুটির আয়তন 539 ঘন সেমি বেশি হতো। শঙ্কুটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
iii) সমান ঘনত্বের একটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গ ডেসিমিটার। 1 ঘন ডেসিমিটার কাঠের ওজন 3 kg এবং গুঁড়িটির ওজন 18.48 কুইন্টাল হলে গুঁড়িটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?
১৫। যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
৪x২=৮
i) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের যৌগিক গড় 50 এবং মোট পরিসংখ্যা 120 হলে $f_{1}$ ও $f_{2}$ এর মান নির্ণয় করঃ
| শ্রেণী সীমা | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 |
|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা | 17 | $f_{1}$ | 32 | $f_{2}$ | 19 |
ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করো।
| শ্রেণী সীমা | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা | 7 | 10 | 23 | 50 | 6 | 4 |
iii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:
| শ্রেণী সীমা | 50-59 | 60-69 | 70-79 | 80-89 | 90-99 | 100-109 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| পরিসংখ্যা | 5 | 20 | 40 | 50 | 30 | 6 |
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন]
১১। যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:
৫
i) একটি সমকোণী ত্রিভুজের অন্তবৃত্ত অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো।
ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো।
[কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন]
১৬। (a) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
২x৩=৬
i) $x \propto y$, $y \propto z$ এবং $z \propto x$ হলে ভেদধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো।
ii) কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের $1\frac{1}{2}$ গুণ। ওই ব্যবসায় B বৎসরান্তে 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা লভ্যাংশ পাবে?
iii) $x+\sqrt{x^{2}-9}=9$ হলে, $x-\sqrt{x^{2}-9}$ এর মান নির্ণয় করো।
iv) একটি গোলকের পৃষ্ঠতল যত বর্গ একক, এর ঘনফল তার দ্বিগুণ ঘন একক। গোলকটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
১৬। (b) যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও :
১x৪=৪
i) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$ এবং $\sqrt{8}-\sqrt{3}$ এর মধ্যে কোটি বড়?
ii) কোন্ শর্তে $ax^{2}+bx+c=0 \ (a\ne0)$ দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হবে?
iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে, ত্রিভুজ দুটি কি ধরনের হয়?
iv) বার্ষিক $6\frac{1}{4}\%$ সরল সুদে কিছু টাকা কত বছরে দ্বিগুণ হবে নির্ণয় করো।
v) শূন্যস্থান পূরণ করো:
একই বৃত্তাংশের মধ্যে অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের হবে।
একই বৃত্তাংশের মধ্যে অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের হবে।