1. আমি শনিবার 2 ঘণ্টায় 13 কিমি. / ঘণ্টা বেগে সাইকেল চালিয়ে কিছুটা পথ গেলাম। কিন্তু রবিবার ওই একই সময়ে 11 কিমি. / ঘণ্টা বেগে চালিয়ে কিছু পথ গেলাম। শনি ও রবিবারের মধ্যে কোনদিন 2 ঘণ্টা সাইকেল চালিয়ে কত বেশি পথ গেলাম হিসাব করি।
এখান থেকে সময় স্থির রেখে গতিবেগ ও অতিক্রান্ত দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজি। (সরল না ব্যস্ত সমানুপাত)
শনিবারের ক্ষেত্রে:
গতিবেগ = 13 কিমি/ঘণ্টা, সময় = 2 ঘণ্টা
অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময় = $13 \times 2 = 26$ কিমি।
রবিবারের ক্ষেত্রে:
গতিবেগ = 11 কিমি/ঘণ্টা, সময় = 2 ঘণ্টা
অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময় = $11 \times 2 = 22$ কিমি।
আমি শনিবার বেশি পথ গেলাম।
শনিবার বেশি গেলাম = $(26 - 22)$ কিমি = 4 কিমি।
সম্পর্ক নির্ণয়:
এখানে দুটি ক্ষেত্রেই সময় (2 ঘণ্টা) স্থির ছিল। আমরা দেখছি শনিবার গতিবেগ বেশি থাকায় বেশি দূরত্ব অতিক্রম করেছি এবং রবিবার গতিবেগ কম থাকায় কম দূরত্ব অতিক্রম করেছি।
সুতরাং, সময় স্থির থাকলে গতিবেগ বাড়লে অতিক্রান্ত দূরত্ব বাড়ে এবং গতিবেগ কমলে অতিক্রান্ত দূরত্ব কমে।
উত্তর: শনিবার 4 কিমি বেশি পথ গেলাম। সময় স্থির রেখে গতিবেগ ও অতিক্রান্ত দূরত্বের মধ্যে সরল সমানুপাত সম্পর্ক।
2. আমি সোমবার বাজারে গেলাম 12 কিমি. / ঘণ্টা গতিবেগে সাইকেল চালিয়ে। কিন্তু মঙ্গলবার বাজারে গেলাম 15 কিমি. / ঘণ্টা গতিবেগে সাইকেল চালিয়ে। যদি বাড়ি থেকে বাজারের দূরত্ব 2 কিমি. হয়, তা হলে কবে বাজারে যেতে আমার কম সময় লাগল এবং কত কম সময় লাগল হিসাব করি।
এখান থেকে দূরত্ব স্থির রেখে গতিবেগের সাথে প্রয়োজনীয় সময়ের সম্পর্ক খুঁজি। (সরল না ব্যস্ত সমানুপাত)
সোমবারের ক্ষেত্রে:
অতিক্রান্ত দূরত্ব = 2 কিমি, গতিবেগ = 12 কিমি/ঘণ্টা
সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}}$ = $\frac{2}{12}$ ঘণ্টা = $\frac{1}{6}$ ঘণ্টা।
মিনিটে প্রকাশ করলে = $\frac{1}{6} \times 60$ মিনিট = 10 মিনিট।
মঙ্গলবারের ক্ষেত্রে:
অতিক্রান্ত দূরত্ব = 2 কিমি, গতিবেগ = 15 কিমি/ঘণ্টা
সময় = $\frac{2}{15}$ ঘণ্টা।
মিনিটে প্রকাশ করলে = $\frac{2}{15} \times 60$ মিনিট = $2 \times 4$ মিনিট = 8 মিনিট।
আমার মঙ্গলবার বাজারে যেতে কম সময় লাগল।
কম সময় লাগল = $(10 - 8)$ মিনিট = 2 মিনিট।
সম্পর্ক নির্ণয়:
এখানে দুটি ক্ষেত্রেই দূরত্ব (2 কিমি) স্থির ছিল। আমরা দেখছি মঙ্গলবার গতিবেগ বেশি থাকায় কম সময় লেগেছে এবং সোমবার গতিবেগ কম থাকায় বেশি সময় লেগেছে।
সুতরাং, দূরত্ব স্থির থাকলে গতিবেগ বাড়লে প্রয়োজনীয় সময় কমে এবং গতিবেগ কমলে প্রয়োজনীয় সময় বাড়ে।
উত্তর: মঙ্গলবার বাজারে যেতে 2 মিনিট কম সময় লাগল। দূরত্ব স্থির রেখে গতিবেগের সাথে প্রয়োজনীয় সময়ের ব্যস্ত সমানুপাত সম্পর্ক।
3. গতিবেগ স্থির রেখে সময়ের সাথে অতিক্রান্ত দূরত্বের সম্পর্ক খুঁজি (নিজে গল্প তৈরি করি ও সম্পর্ক খুঁজে লিখি)
গল্প তৈরি:
আমি বাসে চেপে 40 কিমি/ঘণ্টা সমবেগে মামার বাড়ি যাচ্ছি। আমি যদি 2 ঘণ্টা বাসে ভ্রমণ করি, তবে আমি কতটা পথ যাব? আবার যদি আমি 3 ঘণ্টা বাসে ভ্রমণ করি তবে কতটা পথ যাব?
হিসাব:
প্রথম ক্ষেত্রে (2 ঘণ্টায়) অতিক্রান্ত দূরত্ব = $40 \times 2 = 80$ কিমি।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (3 ঘণ্টায়) অতিক্রান্ত দূরত্ব = $40 \times 3 = 120$ কিমি।
সম্পর্ক নির্ণয়:
এখানে গতিবেগ স্থির (40 কিমি/ঘণ্টা) আছে। আমরা দেখছি বেশি সময় চললে বেশি দূরত্ব অতিক্রম করা যাচ্ছে এবং কম সময় চললে কম দূরত্ব অতিক্রম করা যাচ্ছে।
উত্তর: গতিবেগ স্থির থাকলে সময়ের সাথে অতিক্রান্ত দূরত্বের সরল সম্পর্ক থাকে।
4. আমি বাসে 12 কিমি. 40 মিনিটে গেলাম। বাসের গতিবেগ ঘণ্টায় কত হিসাব করি।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (মিনিট) |
অতিক্রান্ত দূরত্ব (কিমি) |
| 40 |
12 |
| 60 (1 ঘণ্টা) |
? |
গতিবেগ স্থির থাকলে সময় ও দূরত্বের মধ্যে সরল সম্পর্ক।
$\therefore$ নির্ণেয় দূরত্ব $= 12 \times \frac{60}{40}$
$= 12 \times \frac{3}{2}$
$= 6 \times 3 = 18$ কিমি।
উত্তর: বাসের গতিবেগ ঘণ্টায় 18 কিমি।
5. 100 মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় 60 কিমি. বেগে একটি গাছকে অতিক্রম করতে কত সময় নেবে হিসাব করে লিখি।
[কোনো ট্রেন একটি গাছ বা পোস্টকে অতিক্রম করা মানে ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা।]
ট্রেনটিকে অতিক্রম করতে হবে = 100 মিটার।
ট্রেনটির গতিবেগ = 60 কিমি/ঘণ্টা = $60 \times 1000 = 60000$ মিটার/ঘণ্টা।
1 ঘণ্টা = 3600 সেকেন্ড।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (মিটার) |
সময় (সেকেন্ড) |
| 60000 |
3600 |
| 100 |
? |
দূরত্ব কমলে প্রয়োজনীয় সময় কমবে, তাই এটি সরল সমানুপাত।
নির্ণেয় সময় $= 3600 \times \frac{100}{60000}$
$= \frac{3600}{600}$
$= 6$ সেকেন্ড।
উত্তর: গাছটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটির 6 সেকেন্ড সময় নেবে।
6. সমান গতিবেগে একটি ট্যাক্সি 6 ঘণ্টা 12 মিনিটে 217 কিমি. যায়। 273 কিমি. যেতে ট্যাক্সির কত সময় লাগবে হিসাব করি। (সম্পর্ক উল্লেখ করে হিসাব করি)
সময় = 6 ঘণ্টা 12 মিনিট = $(6 \times 60) + 12 = 360 + 12 = 372$ মিনিট।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (কিমি) |
সময় (মিনিট) |
| 217 |
372 |
| 273 |
? |
গতিবেগ স্থির থাকলে দূরত্ব বাড়লে সময় বেশি লাগবে। অর্থাৎ, দূরত্ব ও সময়ের মধ্যে সরল সম্পর্ক।
নির্ণেয় সময় $= 372 \times \frac{273}{217}$
$= 372 \times \frac{39}{31}$ [7 দিয়ে কাটাকুটি করে]
$= 12 \times 39$ [372 কে 31 দিয়ে ভাগ করে 12 পাই]
$= 468$ মিনিট।
468 মিনিট = 7 ঘণ্টা 48 মিনিট। (কারণ $468 = 7 \times 60 + 48$)
উত্তর: 273 কিমি যেতে ট্যাক্সির 7 ঘণ্টা 48 মিনিট সময় লাগবে।
7. আজ আমাদের পাড়ার অয়নদা তার মোটরবাইকে 2 ঘণ্টা 5 মিনিটে 100 কিমি. দূরত্ব গিয়েছে। কিন্তু শিবুদা তার সাইকেলে ওই দূরত্ব 6 ঘণ্টা 40 মিনিটে গিয়েছে। মোটরবাইক ও সাইকেলের গতিবেগের অনুপাত হিসাব করি ও লিখি।
অয়নদার সময় = 2 ঘণ্টা 5 মিনিট = $(2 \times 60) + 5 = 120 + 5 = 125$ মিনিট।
শিবুদার সময় = 6 ঘণ্টা 40 মিনিট = $(6 \times 60) + 40 = 360 + 40 = 400$ মিনিট।
এখানে দুজনের অতিক্রান্ত দূরত্ব একই (100 কিমি)। আমরা জানি, দূরত্ব স্থির থাকলে গতিবেগের সাথে সময়ের ব্যস্ত সম্পর্ক হয়।
অর্থাৎ, গতিবেগের অনুপাত হবে তাদের প্রয়োজনীয় সময়ের ব্যস্ত অনুপাত।
অয়নদা ও শিবুদার সময়ের অনুপাত = $125 : 400$
$= 25 : 80$ [5 দিয়ে ভাগ করে]
$= 5 : 16$ [আবার 5 দিয়ে ভাগ করে]
অতএব, তাদের গতিবেগের অনুপাত = $16 : 5$
উত্তর: মোটরবাইক ও সাইকেলের গতিবেগের অনুপাত 16 : 5।
8. সমান গতিবেগে চলে একটি মালগাড়ি 2 ঘণ্টা 45 মিনিটে 49.5 কিমি. দূরের একটি স্টেশনে পৌঁছায়। 58.5 কিমি. দূরের একটি স্টেশনে পৌঁছাতে ওই মালগাড়িটির কত সময় লাগবে হিসাব করি।
সময় = 2 ঘণ্টা 45 মিনিট = $(2 \times 60) + 45 = 120 + 45 = 165$ মিনিট।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (কিমি) |
সময় (মিনিট) |
| 49.5 |
165 |
| 58.5 |
? |
দূরত্ব ও সময়ের মধ্যে সরল সম্পর্ক।
নির্ণেয় সময় $= 165 \times \frac{58.5}{49.5}$
$= 165 \times \frac{585}{495}$ [দশমিক তুলে দিয়ে]
$= 165 \times \frac{117}{99}$ [5 দিয়ে কেটে]
$= 165 \times \frac{13}{11}$ [9 দিয়ে কেটে]
$= 15 \times 13 = 195$ মিনিট।
195 মিনিট = 3 ঘণ্টা 15 মিনিট।
উত্তর: মালগাড়িটির 3 ঘণ্টা 15 মিনিট সময় লাগবে।
9. আমার ছোট কাকা বাড়ি থেকে মোটর সাইকেলে পাঁচলায় গিয়ে এক ঘণ্টা কাজ সেরে বাড়ি ফিরে এলেন। এতে তার মোট 3 ঘণ্টা 30 মিনিট সময় লাগল। যদি যাতায়াতে মোটর সাইকেলের গতিবেগ ঘণ্টায় 40 কিমি. হয় তবে বাড়ি থেকে পাঁচলার দূরত্ব কত ছিল হিসাব করি।
কাকার মোট সময় লেগেছে = 3 ঘণ্টা 30 মিনিট।
এর মধ্যে তিনি কাজ করেছেন = 1 ঘণ্টা।
সুতরাং, শুধুমাত্র যাতায়াতে (যাওয়া + আসা) সময় লেগেছে = (3 ঘণ্টা 30 মিনিট) - 1 ঘণ্টা = 2 ঘণ্টা 30 মিনিট।
2 ঘণ্টা 30 মিনিট = $2 \frac{30}{60} = 2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ ঘণ্টা।
মোটর সাইকেলের গতিবেগ = 40 কিমি/ঘণ্টা।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব (যাওয়া ও আসা মিলিয়ে) = গতিবেগ $\times$ সময়
$= 40 \times \frac{5}{2}$ কিমি
$= 20 \times 5 = 100$ কিমি।
যেহেতু যাওয়া এবং আসার পথ সমান, তাই বাড়ি থেকে পাঁচলার দূরত্ব হবে মোট দূরত্বের অর্ধেক।
দূরত্ব = $\frac{100}{2} = 50$ কিমি।
উত্তর: বাড়ি থেকে পাঁচলার দূরত্ব ছিল 50 কিমি।
10. একটি বাস সকাল 7টা 30 মিনিটে কলকাতা থেকে রওনা হয়ে কোথাও না থেমে দুপুর 12 টায় দিঘা পৌঁছাল। যদি বাসটির গতিবেগ ঘণ্টায় 45 কিমি. হয় তবে কলকাতা থেকে দিঘার দূরত্ব কত হিসাব করি।
বাসটির যাত্রার সময়: সকাল 7:30 থেকে দুপুর 12:00 পর্যন্ত।
মোট সময় = 4 ঘণ্টা 30 মিনিট = $4 \frac{30}{60} = 4 \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ ঘণ্টা।
বাসটির গতিবেগ = 45 কিমি/ঘণ্টা।
আমরা জানি, অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতিবেগ $\times$ সময়
$\therefore$ কলকাতা থেকে দিঘার দূরত্ব = $45 \times \frac{9}{2}$ কিমি
$= \frac{405}{2}$ কিমি
$= 202.5$ কিমি।
উত্তর: কলকাতা থেকে দিঘার দূরত্ব 202.5 কিমি।
11. 70 মিটার লম্বা একটি ট্রেন ঘণ্টায় 75 কিমি. বেগে যায়। ওই ট্রেনটি কত সময়ে 105 মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করবে হিসাব করি।
[কোনো ট্রেন প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করা মানে ট্রেনটির নিজের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা।]
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
$= 70 + 105 = 175$ মিটার।
ট্রেনটির গতিবেগ = 75 কিমি/ঘণ্টা
$= 75000$ মিটার/ঘণ্টা (যেহেতু 1 কিমি = 1000 মি)
1 ঘণ্টা = 3600 সেকেন্ড।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (মিটার) |
সময় (সেকেন্ড) |
| 75000 |
3600 |
| 175 |
? |
সরল সমানুপাত সম্পর্ক প্রয়োগ করে পাই,
নির্ণেয় সময় $= 3600 \times \frac{175}{75000}$
$= \frac{36 \times 175}{750}$
$= \frac{6300}{750} = \frac{630}{75} = \frac{42}{5} = 8.4$ সেকেন্ড।
উত্তর: ট্রেনটি 8.4 সেকেন্ডে প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করবে।
12. 90 মিটার লম্বা একটি রেলগাড়ি একটি স্তম্ভকে 25 সেকেন্ডে অতিক্রম করল। আমি এই রেলগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার হিসাব করে লিখি।
[রেলগাড়িটি স্তম্ভ অতিক্রম করা মানে তার নিজের দৈর্ঘ্য (90 মিটার) অতিক্রম করা।]
রেলগাড়িটি 25 সেকেন্ডে যায় 90 মিটার।
আমাদের বের করতে হবে 1 ঘণ্টা বা 3600 সেকেন্ডে কত কিলোমিটার যায়।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (সেকেন্ড) |
দূরত্ব (মিটার) |
| 25 |
90 |
| 3600 |
? |
সরল সম্পর্ক প্রয়োগ করে পাই,
অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 90 \times \frac{3600}{25}$
$= 90 \times 144 = 12960$ মিটার।
12960 মিটার = $\frac{12960}{1000}$ কিলোমিটার = 12.96 কিমি।
উত্তর: রেলগাড়ির গতিবেগ ঘণ্টায় 12.96 কিলোমিটার।
13. 250 মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করতে 150 মিটার লম্বা একটি ট্রেনের 30 সেকেন্ড সময় লাগল। হিসাব করে দেখি ওই ট্রেনের 130 মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে।
প্রথম ক্ষেত্রে, 250 মিটার সেতু অতিক্রম করতে ট্রেনটির মোট দূরত্ব যেতে হবে = (সেতুর দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) = $250 + 150 = 400$ মিটার।
অর্থাৎ, ট্রেনটি 400 মিটার যায় 30 সেকেন্ডে।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 130 মিটার প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে মোট দূরত্ব যেতে হবে = (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য + ট্রেনের দৈর্ঘ্য) = $130 + 150 = 280$ মিটার।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (মিটার) |
সময় (সেকেন্ড) |
| 400 |
30 |
| 280 |
? |
সরল সম্পর্ক প্রয়োগ করে পাই,
নির্ণেয় সময় $= 30 \times \frac{280}{400}$
$= \frac{3 \times 28}{4} = 3 \times 7 = 21$ সেকেন্ড।
উত্তর: প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করতে 21 সেকেন্ড সময় লাগবে।
14. একটি ট্রেনের একজন যাত্রী দেখলেন ট্রেনটির একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে 15 সেকেন্ড সময় লাগল। ট্রেনটির গতিবেগ যদি ঘণ্টায় 60 কিমি. হয়, তবে প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য কত তা হিসাব করে লিখি।
লক্ষ করো:
যেহেতু ট্রেনের একজন যাত্রী প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করা দেখছেন, তাই এক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে শুধুমাত্র প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য। (ট্রেনের দৈর্ঘ্য এখানে যোগ হবে না, কারণ যাত্রীর সাপেক্ষে হিসাব হচ্ছে)।
ট্রেনের গতিবেগ = 60 কিমি/ঘণ্টা = 60000 মিটার / 3600 সেকেন্ড।
অর্থাৎ, 3600 সেকেন্ডে যায় 60000 মিটার। 15 সেকেন্ডে কত যাবে তা বের করতে হবে।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (সেকেন্ড) |
দূরত্ব (মিটার) |
| 3600 |
60000 |
| 15 |
? |
সরল সম্পর্ক প্রয়োগ করে পাই,
অতিক্রান্ত দূরত্ব (প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য) $= 60000 \times \frac{15}{3600}$
$= \frac{600 \times 15}{36} = \frac{100 \times 15}{6} = \frac{50 \times 15}{3} = 50 \times 5 = 250$ মিটার।
উত্তর: প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য 250 মিটার।
15. একটি ট্রেন 4 সেকেন্ডে একটি টেলিগ্রাফ পোস্ট এবং 20 সেকেন্ডে 264 মিটার দীর্ঘ একটি সেতু অতিক্রম করতে পারে। ওই ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও গতিবেগ হিসাব করি।
আমরা জানি, ট্রেন পোস্ট অতিক্রম করা মানে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা, এবং সেতু অতিক্রম করা মানে (নিজের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য) অতিক্রম করা।
ট্রেনটি 20 সেকেন্ডে যায় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + 264 মিটার)
ট্রেনটি 4 সেকেন্ডে যায় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য)
বিয়োগ করে পাই, ট্রেনটি $(20 - 4)$ বা 16 সেকেন্ডে যায় = 264 মিটার।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ট্রেনটি 16 সেকেন্ডে যায় 264 মিটার।
তাহলে, 4 সেকেন্ডে যায় $= 264 \times \frac{4}{16}$ মিটার
$= \frac{264}{4} = 66$ মিটার।
যেহেতু 4 সেকেন্ডে ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য যায়, তাই ট্রেনের দৈর্ঘ্য 66 মিটার।
ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়:
ট্রেনটি 16 সেকেন্ডে যায় 264 মিটার।
3600 সেকেন্ডে (1 ঘণ্টায়) যাবে $= 264 \times \frac{3600}{16}$ মিটার
$= 264 \times 225 = 59400$ মিটার।
59400 মিটার = 59.4 কিলোমিটার।
উত্তর: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 66 মিটার এবং গতিবেগ ঘণ্টায় 59.4 কিমি।
16. একটি ট্রেন 210 মিটার ও 122 মিটার দীর্ঘ দুটি সেতু যথাক্রমে 25 সেকেন্ডে ও 17 সেকেন্ডে অতিক্রম করেছে। হিসাব করে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও গতিবেগ লিখি।
ট্রেনটি 25 সেকেন্ডে যায় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + 210 মিটার)
ট্রেনটি 17 সেকেন্ডে যায় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + 122 মিটার)
বিয়োগ করে পাই, ট্রেনটি $(25 - 17)$ বা 8 সেকেন্ডে যায় = $(210 - 122)$ মিটার = 88 মিটার।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ট্রেনটি 8 সেকেন্ডে যায় 88 মিটার।
17 সেকেন্ডে যায় $= 88 \times \frac{17}{8} = 11 \times 17 = 187$ মিটার।
আমরা জানি, 17 সেকেন্ডে ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য + 122 মি যায়।
$\therefore$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = $187 - 122 = 65$ মিটার।
ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়:
ট্রেনটি 8 সেকেন্ডে যায় 88 মিটার।
3600 সেকেন্ডে (1 ঘণ্টায়) যাবে $= 88 \times \frac{3600}{8}$ মিটার
$= 11 \times 3600 = 39600$ মিটার।
39600 মিটার = 39.6 কিলোমিটার।
উত্তর: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 65 মিটার এবং গতিবেগ ঘণ্টায় 39.6 কিমি।
17. ঘণ্টায় 48 কিমি. বেগে ধাবমান 100 মিটার লম্বা একটি ট্রেন 21 সেকেন্ডে পাহাড়ের ভিতর দিয়ে একটি সুড়ঙ্গ রাস্তা অতিক্রম করল। হিসাব করে সুড়ঙ্গ রাস্তাটির দৈর্ঘ্য লিখি।
ট্রেনের গতিবেগ = 48 কিমি/ঘণ্টা = 48000 মিটার / 3600 সেকেন্ড।
ট্রেনটি সুড়ঙ্গ অতিক্রম করা মানে (নিজের দৈর্ঘ্য + সুড়ঙ্গের দৈর্ঘ্য) অতিক্রম করা।
আমাদের বের করতে হবে 21 সেকেন্ডে ট্রেনটি মোট কতটা পথ যায়।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| সময় (সেকেন্ড) |
দূরত্ব (মিটার) |
| 3600 |
48000 |
| 21 |
? |
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 48000 \times \frac{21}{3600}$
$= \frac{480 \times 21}{36} = \frac{40 \times 21}{3} = 40 \times 7 = 280$ মিটার।
মোট দূরত্ব = 280 মিটার। ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 100 মিটার।
$\therefore$ সুড়ঙ্গ রাস্তাটির দৈর্ঘ্য = $280 - 100 = 180$ মিটার।
উত্তর: সুড়ঙ্গ রাস্তাটির দৈর্ঘ্য 180 মিটার।
18. একটি ট্রেন 10 সেকেন্ডে 150 মিটার লম্বা প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো একজন লোককে অতিক্রম করে এবং প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করে 22 সেকেন্ডে। হিসাব করে ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ও গতিবেগ লিখি।
লক্ষ করো:
লোককে অতিক্রম করা মানে শুধুমাত্র নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা। এখানে "150 মি. প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো" কথাটি শুধু লোককে বোঝাতে ব্যবহার করা হয়েছে, লোকটিকে অতিক্রম করার সময় 150 মি. হিসাবের বাইরে থাকবে।
ট্রেনটি 22 সেকেন্ডে যায় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + 150 মিটার) [প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম]
ট্রেনটি 10 সেকেন্ডে যায় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য) [লোকটিকে অতিক্রম]
বিয়োগ করে পাই, ট্রেনটি $(22 - 10)$ বা 12 সেকেন্ডে যায় = 150 মিটার।
ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
ট্রেনটি 12 সেকেন্ডে যায় 150 মিটার।
10 সেকেন্ডে যায় $= 150 \times \frac{10}{12}$ মিটার
$= \frac{1500}{12} = 125$ মিটার।
যেহেতু 10 সেকেন্ডে ট্রেনটি নিজের দৈর্ঘ্য যায়, তাই ট্রেনের দৈর্ঘ্য 125 মিটার।
ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়:
ট্রেনটি 12 সেকেন্ডে যায় 150 মিটার।
3600 সেকেন্ডে (1 ঘণ্টায়) যাবে $= 150 \times \frac{3600}{12}$ মিটার
$= 150 \times 300 = 45000$ মিটার।
45000 মিটার = 45 কিলোমিটার।
উত্তর: ট্রেনটির দৈর্ঘ্য 125 মিটার এবং গতিবেগ ঘণ্টায় 45 কিমি।
19. $\square$ মিটার ও $\square$ মিটার লম্বা দুটি ট্রেন পাশাপাশি দুটি লাইনে যথাক্রমে ঘণ্টায় $\square$ কিমি. ও ঘণ্টায় $\square$ কিমি. গতিবেগে পরস্পরের দিকে এগিয়ে আসছে। মিলিত হওয়ার পর কত সময়ে ট্রেন দুটি পরস্পরকে অতিক্রম করবে হিসাব করে লিখি। [নিজে সংখ্যা বসাই]
নিজে সংখ্যা বসাই:
ধরি, প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 100 মিটার এবং দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 150 মিটার।
প্রথম ট্রেনের গতিবেগ = 40 কিমি/ঘণ্টা এবং দ্বিতীয় ট্রেনের গতিবেগ = 50 কিমি/ঘণ্টা।
সমাধান:
যেহেতু ট্রেন দুটি পরস্পরের দিকে (বিপরীত অভিমুখে) এগিয়ে আসছে, তাই তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ যোগ হবে।
আপেক্ষিক গতিবেগ = $40 + 50 = 90$ কিমি/ঘণ্টা।
$= 90000$ মিটার / 3600 সেকেন্ড।
পরস্পরকে অতিক্রম করতে তাদের মোট নিজেদের দৈর্ঘ্যের যোগফল অতিক্রম করতে হবে।
মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = $100 + 150 = 250$ মিটার।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (মিটার) |
সময় (সেকেন্ড) |
| 90000 |
3600 |
| 250 |
? |
নির্ণেয় সময় $= 3600 \times \frac{250}{90000}$
$= \frac{36 \times 250}{900} = \frac{36 \times 25}{90} = \frac{4 \times 25}{10} = \frac{100}{10} = 10$ সেকেন্ড।
উত্তর: (আমার ধরা সংখ্যা অনুযায়ী) ট্রেন দুটি 10 সেকেন্ডে পরস্পরকে অতিক্রম করবে।
20. 250 মিটার লম্বা একটি মালগাড়ি ঘণ্টায় 33 কিমি. বেগে এগিয়ে চলেছে। পিছন থেকে অন্য আর একটি লাইনে 200 মিটার লম্বা একটি মেল ট্রেন ঘণ্টায় 60 কিমি. বেগে এসে মালগাড়িটিকে ধরার পর কত সময়ে সেটিকে অতিক্রম করবে হিসাব করি।
যেহেতু মেল ট্রেনটি পিছন থেকে এসে মালগাড়িটিকে ধরছে, অর্থাৎ তারা একই অভিমুখে চলছে। তাই তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ বিয়োগ হবে।
আপেক্ষিক গতিবেগ = $(60 - 33)$ কিমি/ঘণ্টা = 27 কিমি/ঘণ্টা।
$= 27000$ মিটার / 3600 সেকেন্ড।
একটি ট্রেন অন্য ট্রেনকে অতিক্রম করার অর্থ হলো দুটি ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য অতিক্রম করা।
মোট অতিক্রম করার দূরত্ব = $250 + 200 = 450$ মিটার।
গণিতের ভাষায় সমস্যাটি হলো:
| দূরত্ব (মিটার) |
সময় (সেকেন্ড) |
| 27000 |
3600 |
| 450 |
? |
নির্ণেয় সময় $= 3600 \times \frac{450}{27000}$
$= \frac{36 \times 450}{270} = \frac{36 \times 45}{27} = \frac{4 \times 45}{3} = 4 \times 15 = 60$ সেকেন্ড।
60 সেকেন্ড = 1 মিনিট।
উত্তর: মেল ট্রেনটি মালগাড়িটিকে 1 মিনিটে অতিক্রম করবে।
সপ্তম শ্রেণির গণিত সমাধান (কষে দেখি ১৫) - সময় ও দূরত্ব এবং ট্রেনের অঙ্ক
উপরে Class 7 Math Chapter 15 Koshe Dekhi 15 এর সম্পূর্ণ সমাধান দেওয়া হয়েছে। এই অধ্যায়ে সময় ও দূরত্বের সম্পর্ক এবং ট্রেনের বিভিন্ন জটিল অংক নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে।
- গতিবেগের একক পরিবর্তন: কিমি/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ডে যেতে হলে $\frac{5}{18}$ দিয়ে গুণ করতে হয়। আবার মিটার/সেকেন্ড থেকে কিমি/ঘণ্টায় আসতে $\frac{18}{5}$ দিয়ে গুণ করতে হয়। অথবা ঐকিক নিয়মে $1000$ মিটার ও $3600$ সেকেন্ড ধরে হিসাব করা যায়।
- ট্রেনের অংকের মূল নিয়ম: ট্রেন কোনো ব্যক্তি, গাছ বা পোস্টকে অতিক্রম করলে সেটি শুধুমাত্র নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে। কিন্তু ট্রেন কোনো প্ল্যাটফর্ম, সেতু বা সুড়ঙ্গ অতিক্রম করলে সেটিকে (নিজের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্ম/সেতুর দৈর্ঘ্য) অতিক্রম করতে হয়।
- আপেক্ষিক গতিবেগ (Relative Speed): দুটি ট্রেন বা যান যদি পরস্পরের দিকে (বিপরীত অভিমুখে) আসে, তবে তাদের আপেক্ষিক গতিবেগ যোগ (+) হয়। আর যদি একই দিকে যায়, তবে আপেক্ষিক গতিবেগ বিয়োগ (-) হয়।
