1. ফাঁকা ঘরে বসাই:
(পূর্ণসংখ্যার গুণ ও ভাগের নিয়ম প্রয়োগ করে ফাঁকা ঘরগুলি পূরণ করা হলো:)
- (a) $(-10) \times 4 = \color{#059669}{\boxed{-40}}$
- (b) $(-15) \times \color{#059669}{\boxed{6}} = -90$
- (c) $25 \times \color{#059669}{\boxed{-5}} = -125$
- (d) $(-16) \times \color{#059669}{\boxed{-6}} = 96$
- (e) $(-13) \times \color{#059669}{\boxed{8}} = -104$
- (f) $\color{#059669}{\boxed{-6}} \times 21 = -126$
- (g) $\color{#059669}{\boxed{-6}} \times \color{#059669}{\boxed{7}} = -42$ (অন্য সংখ্যাও হতে পারে)
- (h) $\color{#059669}{\boxed{-11}} \times (-30) = 330$
- (i) $-26 \div \color{#059669}{\boxed{-26}} = 1$
- (j) $\color{#059669}{\boxed{-29}} \div 1 = -29$
- (k) $\color{#059669}{\boxed{59}} \div (-59) = -1$
- (l) $87 \div \color{#059669}{\boxed{-1}} = -87$
2. জোসেফ একটি পরীক্ষায় 15 টি প্রশ্নের মধ্যে 9 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর দিয়েছে। কিন্তু বাকি 6 টি প্রশ্নের উত্তর ভুল দিয়েছে। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 5 নম্বর পেয়ে সে মোট 33 নম্বর পেয়েছে। প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।
(বইয়ে দেওয়া আংশিক সমাধানের ছকটি সম্পূর্ণ করা হলো:)
জোসেফ মোট নম্বর পেয়েছে 33;
জোসেফ ঠিক উত্তর দিয়েছে 9 টি। প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য নম্বর পেয়েছে 5;
$\therefore$ 9 টি ঠিক উত্তরের জন্য মোট নম্বর পেয়েছে $9 \times 5 = \color{#059669}{\boxed{45}}$
ভুল উত্তরের জন্য নম্বর কমেছে $45 - 33 = 12$
$\therefore$ 6 টি উত্তর ভুল দিয়েছে ও তার জন্য পেয়েছে $-12$ নম্বর।
$\therefore$ 1 টি ভুল উত্তরের জন্য পেয়েছে $(-12) \div 6 = \color{#059669}{\boxed{-2}}$
উত্তর: প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য $-2$ নম্বর দেওয়া হয়েছে।
3. রেহানা ও সায়ন দুজনেই পরীক্ষা দিয়েছে। প্রত্যেকের পরীক্ষায় মোট 12 টি প্রশ্ন ছিল।
(i) রেহানা 8 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং 4 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিয়ে 36 নম্বর পেয়েছে। কিন্তু প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য 6 নম্বর পেয়েছে। রেহানার পরীক্ষায় প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য কত নম্বর দেওয়া হয়েছে হিসাব করি।
(ii) সায়ন 6 টি প্রশ্নের ঠিক উত্তর এবং বাকি 6 টি প্রশ্নের ভুল উত্তর দিলে মোট কত নম্বর পেয়েছে হিসাব করি।
(i) রেহানার হিসাব:
প্রতিটি ঠিক উত্তরের জন্য প্রাপ্ত নম্বর = 6
রেহানা ঠিক উত্তর দিয়েছে = 8 টি
$\therefore$ 8টি ঠিক উত্তরের জন্য রেহানা নম্বর পাবে = $8 \times 6 = 48$
কিন্তু রেহানা মোট নম্বর পেয়েছে = 36
$\therefore$ ভুল উত্তরের জন্য তার প্রাপ্ত নম্বর = $36 - 48 = -12$
রেহানা ভুল উত্তর দিয়েছে = 4 টি
$\therefore$ প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য প্রাপ্ত নম্বর = $(-12) \div 4 = -3$
উত্তর (i): প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য -3 নম্বর দেওয়া হয়েছে।
(ii) সায়নের হিসাব:
সায়ন ঠিক উত্তর দিয়েছে = 6 টি
$\therefore$ ঠিক উত্তরের জন্য সে পাবে = $6 \times 6 = 36$ নম্বর।
সায়ন ভুল উত্তর দিয়েছে = 6 টি
$\therefore$ ভুল উত্তরের জন্য সে পাবে = $6 \times (-3) = -18$ নম্বর।
$\therefore$ সায়নের প্রাপ্ত মোট নম্বর = $36 + (-18) = 36 - 18 = 18$
উত্তর (ii): সায়ন মোট 18 নম্বর পেয়েছে।
4. কোনো জায়গার তাপমাত্রা $12^\circ\text{C}$; প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমতে কমতে 8 ঘণ্টা পরে সেখানকার তাপমাত্রা $-4^\circ\text{C}$ হয়। সেখানে প্রতি ঘণ্টায় কত ডিগ্রি তাপমাত্রা কমেছে হিসাব করি।
জায়গাটির প্রাথমিক তাপমাত্রা ছিল = $12^\circ\text{C}$
8 ঘণ্টা পর তাপমাত্রা হলো = $-4^\circ\text{C}$
$\therefore$ 8 ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমেছে বা পরিবর্তন হয়েছে
$= (-4^\circ\text{C}) - (12^\circ\text{C})$
$= -16^\circ\text{C}$
যেহেতু প্রতি ঘণ্টায় সমান হারে তাপমাত্রা কমেছে,
$\therefore$ 1 ঘণ্টায় তাপমাত্রা কমেছে = $(-16^\circ\text{C}) \div 8$
$= -2^\circ\text{C}$
উত্তর: সেখানে প্রতি ঘণ্টায় $2^\circ\text{C}$ করে তাপমাত্রা কমেছে। (যেহেতু "কমেছে" বলা হয়েছে, তাই শুধুমাত্র 2 লিখলেই হবে)
5. একটি খনিতে একটি লিফট 8 মিনিটে 24 মিটার নীচে নামে। লিফটটি যদি সমবেগে চলে তবে লিফটটি 6 মিনিটে কত মিটার নীচে থাকবে দেখি। ওই লিফটটা যদি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে নীচে নামতে শুরু করে তবে 70 মিনিটে ভূমির কতটা নীচে থাকবে হিসাব করি।
ধরি, মাটির নীচের দিকের দূরত্ব ঋণাত্মক (-)।
লিফটটি 8 মিনিটে যায় = -24 মিটার।
$\therefore$ লিফটটি 1 মিনিটে যায় = $(-24) \div 8 = -3$ মিটার।
প্রথম অংশ:
লিফটটি 6 মিনিটে যাবে = $6 \times (-3) = -18$ মিটার।
উত্তর: লিফটটি 6 মিনিটে 18 মিটার নীচে থাকবে।
দ্বিতীয় অংশ:
লিফটটি ভূমির 10 মিটার উপর থেকে (অর্থাৎ +10 অবস্থান থেকে) নামতে শুরু করেছে।
70 মিনিটে লিফটটি মোট নামবে = $70 \times (-3) = -210$ মিটার।
$\therefore$ 70 মিনিট পর লিফটটির চূড়ান্ত অবস্থান হবে = $+10 + (-210)$
$= 10 - 210$
$= -200$ মিটার।
উত্তর: 70 মিনিটে লিফটটি ভূমির 200 মিটার নীচে থাকবে।
6. নীচের ফাঁকা ঘর পূরণ করি—
(BODMAS নিয়ম মেনে সরলীকরণ করে ফাঁকা ঘরের মান নির্ণয় করা হলো:)
(i) $-16 \div (-2) + \square = -1$
$\Rightarrow 8 + \square = -1$
$\Rightarrow \square = -1 - 8 = \color{#059669}{\boxed{-9}}$
(ii) $20 - 50 + \square = -1$
$\Rightarrow -30 + \square = -1$
$\Rightarrow \square = -1 + 30 = \color{#059669}{\boxed{29}}$
(iii) $41 \times (-5) + \square = -3$
$\Rightarrow -205 + \square = -3$
$\Rightarrow \square = -3 + 205 = \color{#059669}{\boxed{202}}$
(iv) $(-9) \times (-3) \times \square = -81$
$\Rightarrow 27 \times \square = -81$
$\Rightarrow \square = (-81) \div 27 = \color{#059669}{\boxed{-3}}$
(v) $(-15) \div (-5) - \square = -1$
$\Rightarrow 3 - \square = -1$
$\Rightarrow 3 + 1 = \square \Rightarrow \square = \color{#059669}{\boxed{4}}$
(vi) $(-18) \div \square + 3 = -6$
$\Rightarrow (-18) \div \square = -6 - 3$
$\Rightarrow (-18) \div \square = -9$
$\Rightarrow \square = (-18) \div (-9) = \color{#059669}{\boxed{2}}$
(vii) $\square \div 4 - 2 = -7$
$\Rightarrow \square \div 4 = -7 + 2$
$\Rightarrow \square \div 4 = -5$
$\Rightarrow \square = (-5) \times 4 = \color{#059669}{\boxed{-20}}$
(viii) $\square \times (-1) + 9 = 0$
$\Rightarrow \square \times (-1) = -9$
$\Rightarrow \square = (-9) \div (-1) = \color{#059669}{\boxed{9}}$
7. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।
(বিনিময় নিয়ম বা Commutative Property হলো: $a \times b = b \times a$)
গুণের ক্ষেত্রে যাচাই:
ধরি দুটি পূর্ণসংখ্যা হলো 5 এবং -4।
বামপক্ষ: $5 \times (-4) = -20$
ডানপক্ষ: $(-4) \times 5 = -20$
যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই প্রমাণিত যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে।
ভাগের ক্ষেত্রে যাচাই:
ধরি দুটি পূর্ণসংখ্যা হলো 20 এবং 4।
বামপক্ষ: $20 \div 4 = 5$
ডানপক্ষ: $4 \div 20 = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$
যেহেতু $5 \neq \frac{1}{5}$, তাই প্রমাণিত যে পূর্ণসংখ্যার ভাগ বিনিময় নিয়ম মেনে চলে না।
8. দুটি উদাহরণ দিয়ে দেখাই যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে কিন্তু পূর্ণসংখ্যার ভাগ সর্বদা বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।
(বিচ্ছেদ নিয়ম বা Distributive Property হলো: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$)
গুণের ক্ষেত্রে যাচাই:
ধরি তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলো 2, 3 এবং -4।
বামপক্ষ: $2 \times \{3 + (-4)\} = 2 \times (-1) = -2$
ডানপক্ষ: $2 \times 3 + 2 \times (-4) = 6 + (-8) = -2$
যেহেতু বামপক্ষ = ডানপক্ষ, তাই প্রমাণিত যে পূর্ণসংখ্যার গুণ বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে।
ভাগের ক্ষেত্রে যাচাই:
ধরি তিনটি পূর্ণসংখ্যা হলো 24, 4 এবং 2।
বামপক্ষ: $24 \div (4 + 2) = 24 \div 6 = 4$
ডানপক্ষ: $24 \div 4 + 24 \div 2 = 6 + 12 = 18$
যেহেতু $4 \neq 18$, তাই প্রমাণিত যে পূর্ণসংখ্যার ভাগ সর্বদা বিচ্ছেদ নিয়ম মেনে চলে না।
9. মান নির্ণয় করি—
(পূর্ণসংখ্যার ভাগের নিয়ম প্রয়োগ করে মানগুলি নির্ণয় করা হলো:)
(i) $(-125) \div 5$
$= \color{#059669}{\mathbf{-25}}$
(ii) $(-144) \div 6$
$= \color{#059669}{\mathbf{-24}}$
(iii) $(-49) \div 7$
$= \color{#059669}{\mathbf{-7}}$
(iv) $225 \div (-3)$
$= \color{#059669}{\mathbf{-75}}$
(v) $169 \div (-13)$
$= \color{#059669}{\mathbf{-13}}$
(vi) $100 \div (-5)$
$= \color{#059669}{\mathbf{-20}}$
(vii) $(-81) \div (-9)$
$= \color{#059669}{\mathbf{9}}$
(viii) $(-150) \div (-5)$
$= \color{#059669}{\mathbf{30}}$
(ix) $(-121) \div (-11)$
$= \color{#059669}{\mathbf{11}}$
(x) $(-275) \div (-25)$
$= \color{#059669}{\mathbf{11}}$
সপ্তম শ্রেণির গণিত সমাধান (কষে দেখি ৪)
উপরে Class 7 Math Chapter 4 Koshe Dekhi 4 এর সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করা হয়েছে। এটি অধ্যায় ৪ এর চূড়ান্ত অনুশীলনী, যেখানে পূর্ণসংখ্যার যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ সংক্রান্ত সমস্ত নিয়মের মিশ্র প্রয়োগ রয়েছে।
এখানে পরীক্ষার নম্বর হিসাব করা, তাপমাত্রা বৃদ্ধি-হ্রাস এবং লিফটের ওঠানামার মতো গুরুত্বপূর্ণ বাস্তব সমস্যাগুলি ধাপে ধাপে সমাধান করে দেওয়া হয়েছে। এছাড়া পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে বিনিময় (Commutative) ও বিচ্ছেদ (Distributive) নিয়মের যাচাইও সহজ উদাহরণ দিয়ে বোঝানো হয়েছে, যা পরীক্ষায় প্রায়ই আসে।
