1. নীচের দূরত্বগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করে সহজে বোঝার চেষ্টা করি —
সূর্য থেকে বুধের দূরত্ব 57900000 কিমি.
সূর্য থেকে মঙ্গল ও বৃহস্পতির দূরত্ব যথাক্রমে 227900000 কিমি. এবং 778300000 কিমি.
[সহজে পড়ার জন্য বড়ো সংখ্যার শেষের শূন্যগুলিকে 10-এর ঘাতে প্রকাশ করা হয়।]
সূর্য থেকে বুধের দূরত্ব:
$57900000$ কিমি.
$= 579 \times 100000$ কিমি.
$= 579 \times 10^5$ কিমি. (যেহেতু 5 টি শূন্য আছে)
সূর্য থেকে মঙ্গলের দূরত্ব:
$227900000$ কিমি.
$= 2279 \times 100000$ কিমি.
$= 2279 \times 10^5$ কিমি.
সূর্য থেকে বৃহস্পতির দূরত্ব:
$778300000$ কিমি.
$= 7783 \times 100000$ কিমি.
$= 7783 \times 10^5$ কিমি.
2. ফাঁকা ঘর পূরণ করি—
i) পৃথিবী এবং চাঁদের দূরত্ব 384,000,000 মিটার = $384 \times 10^\square$ মিটার
ii) শূন্যস্থানে আলোর বেগ 3,000,000,000 মিটার / সেকেন্ড = $3 \times \square$ মিটার / সেকেন্ড
[কোনো সংখ্যার শেষে যতগুলি শূন্য থাকবে, 10-এর ঘাত বা পাওয়ার ঠিক তত হবে।]
i) 384-এর পর 6 টি শূন্য আছে। তাই 10-এর ঘাত 6 হবে।
$384,000,000 = 384 \times \color{#059669}{\mathbf{\boxed{10^6}}}$ মিটার।
ii) 3-এর পর 9 টি শূন্য আছে। তাই 10-এর ঘাত 9 হবে।
$3,000,000,000 = 3 \times \color{#059669}{\mathbf{\boxed{10^9}}}$ মিটার / সেকেন্ড।
3. নীচের সংখ্যাগুলি 10-এর ঘাতে প্রকাশ করি (দশমিকের পর 1, 2 ও 3 ঘর পর্যন্ত)—
i) 978 ii) 159217
[কোনো পূর্ণসংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করতে হলে, আমরা যত ঘর বাঁদিকে দশমিক সরাবো, 10-এর ঘাত তত বাড়বে।]
i) 978
- দশমিকের পর 1 ঘর পর্যন্ত: $\color{#059669}{\mathbf{97.8 \times 10^1}}$
- দশমিকের পর 2 ঘর পর্যন্ত: $\color{#059669}{\mathbf{9.78 \times 10^2}}$
- দশমিকের পর 3 ঘর পর্যন্ত: $\color{#059669}{\mathbf{0.978 \times 10^3}}$
ii) 159217
- দশমিকের পর 1 ঘর পর্যন্ত: $\color{#059669}{\mathbf{15921.7 \times 10^1}}$
- দশমিকের পর 2 ঘর পর্যন্ত: $\color{#059669}{\mathbf{1592.17 \times 10^2}}$
- দশমিকের পর 3 ঘর পর্যন্ত: $\color{#059669}{\mathbf{159.217 \times 10^3}}$
4. নীচের বিস্তার থেকে সংখ্যাগুলি লিখি —
i) $3 \times 10^3 + 2 \times 10^2 + 7 \times 10 + 2$
$= 3 \times 1000 + 2 \times 100 + 7 \times 10 + 2$
$= 3000 + 200 + 70 + 2$
উত্তর: $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{3272}}}$
ii) $2 \times 10^3 + 3 \times 10 + 5$
[লক্ষ করো: এখানে $10^2$-এর পদ নেই, তাই শতকের ঘরে 0 বসবে]
$= 2 \times 1000 + 3 \times 10 + 5$
$= 2000 + 30 + 5$
উত্তর: $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{2035}}}$
iii) $8 \times 10^4 + 2 \times 10^3 + 3 \times 10^2 + 6$
[এখানে $10^1$-এর পদ বা দশকের ঘর নেই, তাই সেখানে 0 বসবে]
$= 80000 + 2000 + 300 + 6$
উত্তর: $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{82306}}}$
iv) $9 \times 10^4 + 5 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 7 \times 10$
$= 90000 + 5000 + 600 + 70 + 0$
উত্তর: $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{95670}}}$
5. সরল করি এবং নীচের প্রত্যেকটিকে ঘাতের আকারে প্রকাশ করি—
(i) $\frac{2^3 \times 3^5 \times 16}{3 \times 32}$
[প্রথমে 16 এবং 32-কে 2-এর ঘাতে প্রকাশ করব। $16 = 2^4$ এবং $32 = 2^5$]
$= \frac{2^3 \times 3^5 \times 2^4}{3^1 \times 2^5}$
[গুণের সময় সূচক যোগ হয়]
$= \frac{2^{3+4} \times 3^5}{2^5 \times 3^1}$
$= \frac{2^7 \times 3^5}{2^5 \times 3^1}$
[ভাগের সময় সূচক বিয়োগ হয়]
$= 2^{7-5} \times 3^{5-1}$
$= 2^2 \times 3^4$
উত্তর: ঘাতের আকার হলো $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{2^2 \times 3^4}}}$
5. সরল করি—
(ii) $[(6^2)^3 \times 6^4] \div 6^7$
[সূচকের নিয়ম: $(a^m)^n = a^{m \times n}$]
$= [6^{2 \times 3} \times 6^4] \div 6^7$
$= [6^6 \times 6^4] \div 6^7$
$= 6^{6+4} \div 6^7$
$= 6^{10} \div 6^7$
$= 6^{10-7}$
$= 6^3$
উত্তর: ঘাতের আকার হলো $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{6^3}}}$
5. সরল করি—
(iii) $\frac{3 \times 7^2 \times 11^0}{21 \times 7}$
[$11^0 = 1$ এবং 21 কে মৌলিক উৎপাদকে ($3 \times 7$) ভাঙবো]
$= \frac{3^1 \times 7^2 \times 1}{(3 \times 7) \times 7^1}$
$= \frac{3^1 \times 7^2}{3^1 \times 7^{1+1}}$
$= \frac{3^1 \times 7^2}{3^1 \times 7^2}$
[ভাগের নিয়মে সূচক বিয়োগ করে]
$= 3^{1-1} \times 7^{2-2}$
$= 3^0 \times 7^0$
$= 1 \times 1$
$= 1$
উত্তর: নির্ণেয় মান $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{1}}}$
5. সরল করি—
(iv) $\frac{4^5 \times a^8 \times b^3}{4^5 \times a^5 \times b^2} \quad (a, b \neq 0)$
[ভাগের নিয়মে একই নিধানের সূচকগুলি বিয়োগ হবে]
$= 4^{5-5} \times a^{8-5} \times b^{3-2}$
$= 4^0 \times a^3 \times b^1$
$= 1 \times a^3 \times b$
$= a^3 b$
উত্তর: নির্ণেয় মান $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{a^3 b}}}$
5. সরল করি—
(v) $(3^0 + 2^0) \times 5^0$
[আমরা জানি, যেকোনো অশূন্য সংখ্যার ঘাত 0 হলে মান 1 হয়। অর্থাৎ $x^0 = 1$]
$= (1 + 1) \times 1$
$= 2 \times 1$
$= 2$
উত্তর: নির্ণেয় মান $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{2}}}$
5. সরল করি—
(vi) $\frac{2^8 \times x^7}{4^3 \times x^3} \quad (x \neq 0)$
[হরের $4$-কে $2^2$ আকারে ভেঙে নিই]
$= \frac{2^8 \times x^7}{(2^2)^3 \times x^3}$
$= \frac{2^8 \times x^7}{2^{2 \times 3} \times x^3}$
$= \frac{2^8 \times x^7}{2^6 \times x^3}$
[ভাগের নিয়মে সূচক বিয়োগ করে]
$= 2^{8-6} \times x^{7-3}$
$= 2^2 \times x^4$
উত্তর: ঘাতের আকার হলো $\color{#059669}{\mathbf{\boxed{2^2 x^4}}}$
সপ্তম শ্রেণির গণিত সমাধান (কষে দেখি ৫) - সূচকের ধারণা
উপরে Class 7 Math Chapter 5 Koshe Dekhi 5 এর সম্পূর্ণ সমাধান প্রদান করা হয়েছে। এটি এই অধ্যায়ের চূড়ান্ত অনুশীলনী, যেখানে সূচকের সমস্ত নিয়মাবলি একসাথে প্রয়োগ করা হয়েছে।
- 10-এর ঘাতে প্রকাশ (Scientific Notation): মহাকাশের দূরত্ব বা আলোর বেগের মতো বড়ো সংখ্যাগুলিকে সহজে পড়ার জন্য 10-এর ঘাত বা পাওয়ার ব্যবহার করা হয়। দশমিক বিন্দু যতো ঘর বাঁদিকে সরানো হয়, 10-এর ঘাত ঠিক ততো বৃদ্ধি পায়।
- সূচকের সরলীকরণ: বড়ো যৌগিক সংখ্যাকে (যেমন 16, 32 বা 4) প্রথমে মৌলিক সংখ্যার ঘাতে ভেঙে নিতে হয়। তারপর গুণের নিয়মে সূচক যোগ এবং ভাগের নিয়মে সূচক বিয়োগ করে সহজেই সরলতম মান বের করা যায়।
