কষে দেখি 7 (Koshe Dekhi 7)

দুটি সরলরেখা PQ এবং RS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে O বিন্দুতে মোট ২ জোড়া বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) তৈরি হয়েছে।

তৈরি হওয়া বিপ্রতীপ কোণগুলির নাম হলো:

• প্রথম জোড়া: $\angle POR$ এবং $\angle SOQ$
• দ্বিতীয় জোড়া: $\angle POS$ এবং $\angle ROQ$

কাজ ও প্রমাণ:

১. খাতায় স্কেলের সাহায্যে দুটি সরলরেখা PQ এবং XY টানতে হবে যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করবে।

২. এর ফলে O বিন্দুতে ৪টি কোণ উৎপন্ন হবে: $\angle POX$, $\angle XOQ$, $\angle QOY$, এবং $\angle YOP$।

৩. চাঁদার সাহায্যে বিপরীত দিকের কোণগুলো মাপলে সবসময়েই দেখা যাবে:

• $\angle POX = \angle QOY$ (বিপ্রতীপ কোণ সমান)
• $\angle XOQ = \angle YOP$ (বিপ্রতীপ কোণ সমান)

চিত্র অনুযায়ী, AB এবং CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। CD সরলরেখাটি AB এর ওপর লম্বভাবে দণ্ডায়মান বলে মনে হচ্ছে, তাই $\angle AOD = 90^\circ$। OM হলো $\angle AOD$-এর ভেতরের একটি রশ্মি।

প্রদত্ত: AB এবং CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে ২ জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়েছে।
১. $\angle AOC$ ও $\angle BOD$
২. $\angle AOD$ ও $\angle BOC$

প্রমাণ করতে হবে যে:
(i) $\angle AOC = \angle BOD$
(ii) $\angle AOD = \angle BOC$

প্রমাণ:

AB সরলরেখার ওপর OD রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore \angle AOD + \angle BOD = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল) ........ (১)

আবার, CD সরলরেখার ওপর OA রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore \angle AOD + \angle AOC = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল) ........ (২)

সমীকরণ (১) এবং (২) তুলনা করে পাই:

$\angle AOD + \angle BOD = \angle AOD + \angle AOC$

উভয়পক্ষ থেকে $\angle AOD$ বাদ দিলে পাই:

$\Rightarrow \angle BOD = \angle AOC$

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে,

$\angle AOD = \angle BOC$

চিত্র অনুযায়ী, AB এবং CD সরলরেখা দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

দেওয়া আছে, $\angle AOD = 120^\circ$

১. $\angle AOD$ এবং $\angle BOC$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

$\therefore \mathbf{\angle BOC} = \angle AOD = \mathbf{120^\circ}$

২. AB একটি সরলরেখা এবং OD তার ওপর একটি রশ্মি। তাই এরা রৈখিক যুগল।

$\therefore \angle AOD + \angle BOD = 180^\circ$

$\Rightarrow 120^\circ + \angle BOD = 180^\circ$

$\Rightarrow \mathbf{\angle BOD} = 180^\circ - 120^\circ = \mathbf{60^\circ}$

৩. $\angle BOD$ এবং $\angle AOC$ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

$\therefore \mathbf{\angle AOC} = \angle BOD = \mathbf{60^\circ}$

যেহেতু PQ এবং RS সরলরেখা দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে, তাই $\angle POR$ এবং $\angle QOS$ হলো বিপ্রতীপ কোণ।

আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।

$\therefore \angle POR = \angle QOS$

দেওয়া আছে, $\angle POR + \angle QOS = 110^\circ$

$\Rightarrow \angle POR + \angle POR = 110^\circ$

$\Rightarrow 2\angle POR = 110^\circ$

$\Rightarrow \mathbf{\angle POR} = \frac{110^\circ}{2} = \mathbf{55^\circ}$

$\therefore \mathbf{\angle QOS = 55^\circ}$

এখন, PQ সরলরেখার ওপর OR রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore \angle POR + \angle QOR = 180^\circ$

$\Rightarrow 55^\circ + \angle QOR = 180^\circ$

$\Rightarrow \mathbf{\angle QOR} = 180^\circ - 55^\circ = \mathbf{125^\circ}$

যেহেতু $\angle POS$ এবং $\angle QOR$ বিপ্রতীপ কোণ,

$\therefore \mathbf{\angle POS} = \angle QOR = \mathbf{125^\circ}$

প্রদত্ত শর্তানুসারে, OP এবং OR একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং বিপরীত দিকে মুখ করে আছে। অর্থাৎ, PR একটি সরলরেখা।

O বিন্দুতে ৪টি কোণ উৎপন্ন হয়েছে।

দেওয়া আছে, $\angle POQ = 50^\circ$

শর্তানুযায়ী, $\angle ROS = \angle POQ = 50^\circ$

$\therefore \mathbf{\angle ROS = 50^\circ}$

যেহেতু PR একটি সরলরেখা, তাই PR এর একপাশের কোণগুলির সমষ্টি $180^\circ$ হবে।

$\therefore \angle POQ + \angle QOR = 180^\circ$

$\Rightarrow 50^\circ + \angle QOR = 180^\circ$

$\Rightarrow \mathbf{\angle QOR} = 180^\circ - 50^\circ = \mathbf{130^\circ}$

শর্তানুযায়ী, $\angle POS = \angle QOR$

$\therefore \mathbf{\angle POS = 130^\circ}$

প্রদত্ত: ধরি, O একটি বিন্দু এবং OA, OB, OC, OD চারটি রশ্মি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। এর ফলে ৪টি কোণ উৎপন্ন হয়েছে।
শর্তানুসারে, বিপরীত দিকের কোণগুলি সমান। অর্থাৎ,
$\angle AOB = \angle COD$ ...... (১)
$\angle BOC = \angle DOA$ ...... (২)

প্রমাণ করতে হবে যে:
রশ্মিগুলি দুটি সরলরেখা গঠন করেছে। অর্থাৎ AOC এবং BOD দুটি সরলরেখা।

প্রমাণ:

আমরা জানি, একটি বিন্দুর চারদিকের সমস্ত কোণের সমষ্টি $360^\circ$ বা ৪ সমকোণ।

$\therefore \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^\circ$

সমীকরণ (১) এবং (২) ব্যবহার করে পাই,

$\angle AOB + \angle BOC + \angle AOB + \angle BOC = 360^\circ$

$\Rightarrow 2\angle AOB + 2\angle BOC = 360^\circ$

$\Rightarrow 2(\angle AOB + \angle BOC) = 360^\circ$

$\Rightarrow \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$

যেহেতু দুটি সন্নিহিত কোণ $\angle AOB$ এবং $\angle BOC$ এর সমষ্টি $180^\circ$ (বা 2 সমকোণ), সুতরাং তাদের সাধারণ বাহু OB বাদে বাকি দুটি বাহু OA এবং OC একই সরলরেখায় অবস্থিত হবে।

অর্থাৎ, AOC একটি সরলরেখা।

একইভাবে প্রমাণ করা যায় যে, $\angle BOC + \angle COD = 180^\circ$, যার মানে BOD একটি সরলরেখা।

প্রদত্ত: ধরি, $\angle AOB$ একটি কোণ। AO বাহুকে C পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো, ফলে বহিঃস্থ কোণ $\angle BOC$ উৎপন্ন হলো।
ধরি, OX হলো অন্তঃস্থ $\angle AOB$ এর সমদ্বিখণ্ডক এবং OY হলো বহিঃস্থ $\angle BOC$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ করতে হবে যে: OX এবং OY পরস্পর লম্ব, অর্থাৎ $\angle XOY = 90^\circ$।

প্রমাণ:

AC একটি সরলরেখা হওয়ায়, $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল)

উভয়পক্ষকে $\frac{1}{2}$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$\frac{1}{2}\angle AOB + \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{180^\circ}{2}$

যেহেতু OX হলো $\angle AOB$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\frac{1}{2}\angle AOB = \angle XOB$

যেহেতু OY হলো $\angle BOC$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\frac{1}{2}\angle BOC = \angle BOY$

মানগুলি বসিয়ে পাই:

$\angle XOB + \angle BOY = 90^\circ$

$\Rightarrow \angle XOY = 90^\circ$

যেহেতু কোণটির মান $90^\circ$ বা ১ সমকোণ, তাই বলা যায় OX এবং OY পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত।

প্রদত্ত: ধরি, AB এবং CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে ৪টি কোণ উৎপন্ন হয়েছে: $\angle AOC, \angle COB, \angle BOD,$ এবং $\angle DOA$।

প্রমাণ করতে হবে যে: $\angle AOC + \angle COB + \angle BOD + \angle DOA = 360^\circ$ (বা ৪ সমকোণ)।

প্রমাণ:

AB একটি সরলরেখা এবং তার ওপর OC রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore$ রৈখিক যুগলের ধর্ম অনুযায়ী, $\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$ (২ সমকোণ) ...... (১)

আবার, AB সরলরেখার ওপর OD রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore$ রৈখিক যুগলের ধর্ম অনুযায়ী, $\angle AOD + \angle DOB = 180^\circ$ (২ সমকোণ) ...... (২)

এখন সমীকরণ (১) এবং (২) যোগ করে পাই:

$(\angle AOC + \angle COB) + (\angle AOD + \angle DOB) = 180^\circ + 180^\circ$

$\Rightarrow \angle AOC + \angle COB + \angle BOD + \angle DOA = 360^\circ$

প্রদত্ত: $\triangle PQR$ এর $\angle PQR = \angle PRQ$। QR বাহুকে বামদিকে S পর্যন্ত এবং ডানদিকে T পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। এর ফলে দুটি বহিঃকোণ $\angle PQS$ এবং $\angle PRT$ উৎপন্ন হলো।

প্রমাণ করতে হবে যে: $\angle PQS = \angle PRT$

প্রমাণ:

SRT একটি সরলরেখা এবং Q বিন্দুতে PQ রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore \angle PQS + \angle PQR = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল)

$\Rightarrow \angle PQS = 180^\circ - \angle PQR$ ...... (১)

একইভাবে, R বিন্দুতে PR রশ্মি দণ্ডায়মান।

$\therefore \angle PRT + \angle PRQ = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল)

$\Rightarrow \angle PRT = 180^\circ - \angle PRQ$ ...... (২)

প্রদত্ত শর্তানুসারে, $\angle PQR = \angle PRQ$

তাই সমীকরণ (২) কে লেখা যায়:

$\angle PRT = 180^\circ - \angle PQR$ ...... (৩)

সমীকরণ (১) এবং (৩) তুলনা করে পাই:

$\angle PQS = \angle PRT$

প্রদত্ত: ধরি, AB এবং CD দুটি সরলরেখা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। এর ফলে ৪টি কোণ উৎপন্ন হয়েছে।
ধরি, OX হলো $\angle AOC$ এর সমদ্বিখণ্ডক এবং OY হলো $\angle COB$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ করতে হবে যে: সমদ্বিখণ্ডক দুটি লম্ব, অর্থাৎ $\angle XOY = 90^\circ$।

প্রমাণ:

AB একটি সরলরেখা হওয়ায়, $\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল)

উভয়পক্ষকে $\frac{1}{2}$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$\frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle COB = 90^\circ$

যেহেতু OX হলো $\angle AOC$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\frac{1}{2}\angle AOC = \angle XOC$

যেহেতু OY হলো $\angle COB$ এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\frac{1}{2}\angle COB = \angle COY$

মানগুলি বসিয়ে পাই:

$\angle XOC + \angle COY = 90^\circ$

$\Rightarrow \angle XOY = 90^\circ$

একইভাবে অপর দুটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকের ক্ষেত্রেও প্রমাণ করা যায় যে তারা লম্ব।