কষে দেখি 8 (Koshe Dekhi 8)

এটি একটি হাতে-কলমে করার কাজ (Practical Activity)।

খাতার দাগটানা লাইনগুলি যেহেতু পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাই একটি ছেদক টানলে যে কোণগুলি উৎপন্ন হয় তার বৈশিষ্ট্যগুলি চাঁদার সাহায্যে মেপে দেখলে সবসময়েই দেখা যাবে যে:

• সমান্তরাল সরলরেখাকে কোনো ছেদক ছেদ করলে উৎপন্ন অনুরূপ কোণগুলি (Corresponding Angles) পরস্পর সমান হয়।
• উৎপন্ন একান্তর কোণগুলি (Alternate Interior Angles) পরস্পর সমান হয়।
• ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির (Co-interior Angles) সমষ্টি সর্বদা $180^\circ$ বা 2 সমকোণ (অর্থাৎ এরা পরস্পর সম্পূরক) হয়।

ছবিতে দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে একটি ছেদক ছেদ করেছে এবং ৮টি কোণ (1 থেকে 8) চিহ্নিত করা আছে।

যেহেতু AB || CD, আমরা সমান্তরাল সরলরেখার ধর্মগুলি প্রয়োগ করব।

দেওয়া আছে, XY || PQ এবং একটি ছেদক তাদের ছেদ করেছে।

XY সরলরেখার ছেদবিন্দুতে একটি কোণ দেওয়া আছে $50^\circ$।

এই $50^\circ$ কোণটির সাহায্যে বাকি 7টি কোণের মান নির্ণয় করা হলো:

• $\angle 1$ এবং $50^\circ$ রৈখিক যুগল গঠন করে। $\therefore \angle 1 = 180^\circ - 50^\circ = \mathbf{130^\circ}$
• $\angle 2$ হলো $50^\circ$ কোণটির বিপ্রতীপ কোণ। $\therefore \angle 2 = \mathbf{50^\circ}$
• $\angle 3$ হলো $\angle 1$ এর বিপ্রতীপ কোণ। $\therefore \angle 3 = \mathbf{130^\circ}$
• $\angle 4$ হলো $\angle 1$ এর অনুরূপ কোণ। $\therefore \angle 4 = \angle 1 = \mathbf{130^\circ}$
• $\angle 7$ হলো $\angle 2$ এর অনুরূপ কোণ। $\therefore \angle 7 = \angle 2 = \mathbf{50^\circ}$
• $\angle 5$ হলো $50^\circ$ এর অনুরূপ কোণ (বা $\angle 7$ এর বিপ্রতীপ)। $\therefore \angle 5 = \mathbf{50^\circ}$
• $\angle 6$ হলো $\angle 3$ এর অনুরূপ কোণ (বা $\angle 4$ এর বিপ্রতীপ)। $\therefore \angle 6 = \mathbf{130^\circ}$

দেওয়া আছে, AB || CD এবং EF তাদের ছেদক। $\angle EGB = 50^\circ$

তাহলে জ্যামিতিক ধর্ম অনুসারে আমরা পাই:

• $\angle AGE + \angle EGB = 180^\circ$ (রৈখিক যুগল)
  $\Rightarrow \angle AGE = 180^\circ - 50^\circ = \mathbf{130^\circ}$
• $\angle AGH = \angle EGB = \mathbf{50^\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle BGH = \angle AGE = \mathbf{130^\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle GHD = \angle AGH = \mathbf{50^\circ}$ (একান্তর অন্তঃস্থ কোণ)
• $\angle GHC = \angle BGH = \mathbf{130^\circ}$ (একান্তর অন্তঃস্থ কোণ)
• $\angle CHF = \angle GHD = \mathbf{50^\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $\angle DHF = \angle GHC = \mathbf{130^\circ}$ (বিপ্রতীপ কোণ)

অঙ্কন: Q বিন্দু দিয়ে AB এবং CD এর সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা QX টানলাম।

প্রমাণ:

যেহেতু AB || QX এবং PQ তাদের ছেদক,

$\therefore \angle PQC = \text{একান্তর } \angle APQ = 30^\circ$ (Q কোণের উপরের অংশ)

আবার, যেহেতু CD || QX এবং QR তাদের ছেদক,

$\therefore \angle RQX = \text{একান্তর } \angle C R Q = 40^\circ$ (Q কোণের নিচের অংশ)

এখন, মোট কোণ $\angle PQR = \angle PQX + \angle RQX$

$\Rightarrow \angle PQR = 30^\circ + 40^\circ$

$\Rightarrow \angle PQR = 70^\circ$

প্রদত্ত চিত্রে, PQ || RS এবং APB ও ARC দুটি সরলরেখাংশ।

দেওয়া আছে, $\angle BPQ = 40^\circ$, $\angle BPR = 155^\circ$ এবং $\angle CRS = 70^\circ$।

১. $\angle APR$ এর মান নির্ণয়:

APB একটি সরলরেখা হওয়ায়, $\angle APR$ এবং $\angle BPR$ রৈখিক যুগল গঠন করে।

$\therefore \angle APR + \angle BPR = 180^\circ$

$\Rightarrow \angle APR + 155^\circ = 180^\circ$

$\Rightarrow \mathbf{\angle APR = 25^\circ}$

২. $\angle PRA$ এর মান নির্ণয়:

প্রথমে $\angle QPR$ বের করি।

$\angle BPR = \angle BPQ + \angle QPR \Rightarrow 155^\circ = 40^\circ + \angle QPR \Rightarrow \angle QPR = 115^\circ$

যেহেতু PQ || RS এবং PR ছেদক, তাই $\angle QPR$ এবং $\angle PRS$ হলো একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ।

$\therefore \angle QPR + \angle PRS = 180^\circ \Rightarrow 115^\circ + \angle PRS = 180^\circ \Rightarrow \angle PRS = 65^\circ$

CRA একটি সরলরেখা। তাই $\angle CRS$ এবং $\angle ARS$ রৈখিক যুগল।

$\therefore \angle ARS = 180^\circ - \angle CRS = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

এখন, $\angle ARS = \angle PRA + \angle PRS$

$\Rightarrow 110^\circ = \angle PRA + 65^\circ \Rightarrow \mathbf{\angle PRA = 45^\circ}$

৩. $\angle PAR$ এর মান নির্ণয়:

$\triangle APR$ এর তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$।

$\therefore \angle PAR = 180^\circ - (\angle APR + \angle PRA)$

$\Rightarrow \angle PAR = 180^\circ - (25^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 70^\circ$

$\Rightarrow \mathbf{\angle PAR = 110^\circ}$

প্রদত্ত: AB || CD। O এদের মাঝখানে যেকোনো একটি বিন্দু। OP $\perp$ AB এবং OQ $\perp$ CD।

প্রমাণ করতে হবে: P, O, Q বিন্দু তিনটি সমরেখ (Collinear), অর্থাৎ এরা একই সরলরেখায় অবস্থিত।

অঙ্কন: O বিন্দু দিয়ে AB এবং CD এর সমান্তরাল করে একটি সরলরেখা EOF অঙ্কন করলাম।

প্রমাণ:

যেহেতু OP $\perp$ AB, তাই $\angle OPB = 90^\circ$।

অঙ্কন অনুসারে AB || EOF এবং OP ছেদক।

আমরা জানি, দুটি সমান্তরাল সরলরেখার একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলির সমষ্টি $180^\circ$ হয়।

$\therefore \angle OPB + \angle POE = 180^\circ$

$\Rightarrow 90^\circ + \angle POE = 180^\circ \Rightarrow \angle POE = 90^\circ$ ....... (১)

আবার, যেহেতু OQ $\perp$ CD, তাই $\angle OQD = 90^\circ$।

অঙ্কন অনুসারে CD || EOF এবং OQ ছেদক।

একইভাবে, $\angle OQD + \angle QOE = 180^\circ$

$\Rightarrow 90^\circ + \angle QOE = 180^\circ \Rightarrow \angle QOE = 90^\circ$ ....... (২)

সমীকরণ (১) এবং (২) যোগ করে পাই:

$\angle POQ = \angle POE + \angle QOE$

$\Rightarrow \angle POQ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

যেহেতু $\angle POQ = 180^\circ$ (১ সরলকোণ), তাই P, O, এবং Q বিন্দু তিনটি একটি সরলরেখা গঠন করেছে।

প্রদত্ত: ধরি দুটি কোণ হলো $\angle ABC$ এবং $\angle DEF$। শর্তানুসারে, AB || DE এবং BC || EF।

প্রমাণ করতে হবে: হয় $\angle ABC = \angle DEF$, অথবা $\angle ABC + \angle DEF = 180^\circ$।

প্রমাণ:

AB বাহুকে বর্ধিত করলাম যা EF বাহুকে G বিন্দুতে ছেদ করল।

ক্ষেত্র ১ (যখন বাহুগুলি একই অভিমুখে থাকে):

যেহেতু AB || DE এবং EF তাদের ছেদক,

$\therefore \angle AGF = \text{অনুরূপ } \angle DEF$ ...... (১)

আবার, যেহেতু BC || EF এবং AB (বর্ধিত) তাদের ছেদক,

$\therefore \angle ABC = \text{অনুরূপ } \angle AGF$ ...... (২)

সমীকরণ (১) এবং (২) থেকে পাই, $\angle ABC = \angle DEF$।

ক্ষেত্র ২ (যখন একটি জোড়া বাহু বিপরীত অভিমুখে থাকে):

যদি দিক বিপরীত হয়, তবে $\angle ABC$ এবং $\angle AGF$ একান্তর অন্তঃস্থ কোণ বা একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ হিসেবে কাজ করতে পারে।

এক্ষেত্রে, $\angle ABC + \angle AGF = 180^\circ$ (একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ)

যেহেতু (১) নং থেকে $\angle AGF = \angle DEF$,

তাই, $\angle ABC + \angle DEF = 180^\circ$ (অর্থাৎ তারা সম্পূরক)।

প্রদত্ত: ABCD একটি সামান্তরিক, যার AC কর্ণ $\angle BAD$-কে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। অর্থাৎ, $\angle DAC = \angle BAC$।

প্রমাণ করতে হবে: AC কর্ণ $\angle BCD$-কেও সমদ্বিখণ্ডিত করে। অর্থাৎ, $\angle DCA = \angle BCA$।

প্রমাণ:

ABCD সামান্তরিক হওয়ায়, AB || DC এবং AD || BC।

যেহেতু AB || DC এবং AC তাদের ছেদক,

$\therefore \angle BAC = \text{একান্তর } \angle DCA$ ...... (১)

আবার, যেহেতু AD || BC এবং AC তাদের ছেদক,

$\therefore \angle DAC = \text{একান্তর } \angle BCA$ ...... (২)

প্রদত্ত শর্তানুসারে, $\angle DAC = \angle BAC$।

তাই সমীকরণ (১) এবং (২) থেকে বলা যায়:

$\angle DCA = \angle BCA$

প্রদত্ত: ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক যার একটি কোণ সমকোণ, অর্থাৎ $\angle A = 90^\circ$।

প্রমাণ করতে হবে: এর অপর তিনটি কোণও সমকোণ। অর্থাৎ, $\angle B = 90^\circ, \angle C = 90^\circ, \angle D = 90^\circ$।

প্রমাণ:

আমরা জানি, সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।

যেহেতু $\angle A = 90^\circ$, তাই এর বিপরীত কোণ $\angle C = \mathbf{90^\circ}$।

আবার, সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলির (একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ) সমষ্টি $180^\circ$ হয় (কারণ বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল)।

$\therefore \angle A + \angle B = 180^\circ$ (কারণ AD || BC এবং AB ছেদক)

$\Rightarrow 90^\circ + \angle B = 180^\circ$

$\Rightarrow \angle B = 180^\circ - 90^\circ = \mathbf{90^\circ}$

যেহেতু $\angle B = 90^\circ$, তাই এর বিপরীত কোণ $\angle D = \mathbf{90^\circ}$।