১) গোলকের বক্রতলের বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$ বর্গ একক।
২) গোলকের আয়তন বা ঘনফল = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$ ঘন একক।
৩) নিরেট অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2\pi r^2$ বর্গ একক।
৪) নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $3\pi r^2$ বর্গ একক।
৫) নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{2}{3}\pi r^3$ ঘন একক।
1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি. হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 10.5 সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$
$$ \begin{align*} &= 4 \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 \\ &= 4 \times \frac{22}{7} \times 110.25 \\ &= 4 \times 22 \times 15.75 \\ &= 88 \times 15.75 \\ &= 1386 \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি. 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $\displaystyle \frac{\text{মোট খরচ}}{\text{প্রতি বর্গ সেমির খরচ}}$
$$ \begin{align*} &= \frac{431.20}{17.50} \\ &= \frac{4312}{175} = 24.64 \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$ধরি, বলটির ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
শর্তানুসারে,
$$ \begin{align*} 4\pi r^2 &= 24.64 \\ 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 &= 24.64 \\ \frac{88}{7} r^2 &= 24.64 \\ r^2 &= \frac{24.64 \times 7}{88} \\ r^2 &= 0.28 \times 7 \\ r^2 &= 1.96 \\ r &= \sqrt{1.96} = 1.4 \text{ সেমি.} \end{align*} $$বলটির ব্যাস = $2r = 2 \times 1.4 = 2.8$ সেমি।
3. স্কুলে শর্টপুট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
লোহার বলের ব্যাস = 7 সেমি। $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\displaystyle \frac{7}{2} = 3.5$ সেমি।
বলটিতে থাকা লোহার পরিমাণ (আয়তন) = $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$
$$ \begin{align*} &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (3.5)^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5 \\ &= \frac{4 \times 22 \times 0.5 \times 12.25}{3} \\ &= \frac{88 \times 0.5 \times 12.25}{3} \\ &= \frac{44 \times 12.25}{3} \\ &= \frac{539}{3} \\ &= 179\frac{2}{3} \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$4. 28 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
আর্কিমিডিসের নীতি অনুযায়ী, অপসারিত জলের আয়তন গোলকের আয়তনের সমান হবে।
গোলকের ব্যাস = 28 সেমি। $\therefore$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 14 সেমি।
আয়তন = $\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$
$$ \begin{align*} &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \times 14 \\ &= \frac{88 \times 2 \times 196}{3} \\ &= \frac{176 \times 196}{3} \\ &= \frac{34496}{3} \\ &= 11498\frac{2}{3} \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$5. কোনো গোলকাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি. থেকে 21 সেমি. হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
বেলুনের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ ($r_1$) = 7 সেমি।
পরের ব্যাসার্ধ ($r_2$) = 21 সেমি।
পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল : পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
$$ \begin{align*} &= 4\pi r_1^2 : 4\pi r_2^2 \\ &= r_1^2 : r_2^2 \\ &= 7^2 : 21^2 \\ &= 49 : 441 \\ &= 1 : 9 \quad [\text{49 দিয়ে ভাগ করে}] \end{align*} $$6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে $127\frac{2}{7}$ বর্গ সেমি. পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির ক্ষেত্রে কেবলমাত্র বক্রতলের ওপর পাত থাকে (মুখ খোলা)।
ধরি, বাটির ব্যাসার্ধ $r$ সেমি।
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2\pi r^2$
শর্তানুসারে:
$$ \begin{align*} 2\pi r^2 &= 127\frac{2}{7} \\ 2 \times \frac{22}{7} \times r^2 &= \frac{891}{7} \\ \frac{44}{7} r^2 &= \frac{891}{7} \\ 44 r^2 &= 891 \\ r^2 &= \frac{891}{44} \\ r^2 &= \frac{81}{4} \quad [\text{11 দিয়ে কেটে}] \\ r &= \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ সেমি.} \end{align*} $$বাটিটির মুখের ব্যাস = $2r = 2 \times 4.5 = 9$ সেমি।
7. একটি নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1 সেমি.। ওই গোলকটিতে কত ঘন সেমি. লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং ওই লোহার গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.1 সেমি।
১) লোহার পরিমাণ (আয়তন):
$$ \begin{align*} V &= \frac{4}{3}\pi r^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 \\ &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 \\ &= 4 \times 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 2.1 \\ &= 8.8 \times 4.41 \\ &= 38.808 \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$২) বক্রতলের ক্ষেত্রফল:
$$ \begin{align*} S &= 4\pi r^2 \\ &= 4 \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \\ &= 4 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \\ &= 4 \times 22 \times 0.3 \times 2.1 \\ &= 88 \times 0.63 \\ &= 55.44 \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি.। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
বড়ো সিসার গোলকের ব্যাস = 14 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($R$) = 7 সেমি।
ছোটো তৈরি হওয়া গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 3.5 সেমি।
আমরা জানি, নতুন তৈরি হওয়া গোলকের সংখ্যা = $\displaystyle \frac{\text{বড়ো গোলকের আয়তন}}{\text{একটি ছোটো গোলকের আয়তন}}$
$$ \begin{align*} \text{গোলকের সংখ্যা} &= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} \\ &= \frac{R^3}{r^3} \\ &= \left(\frac{R}{r}\right)^3 \\ &= \left(\frac{7}{3.5}\right)^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \end{align*} $$9. 3 সেমি., 4 সেমি., ও 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামার গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
তিনটি ছোটো গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1 = 3$ সেমি, $r_2 = 4$ সেমি এবং $r_3 = 5$ সেমি।
ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ $R$ সেমি।
শর্তানুসারে, বড়ো গোলকের আয়তন = তিনটি ছোটো গোলকের মোট আয়তন
$$ \begin{align*} \frac{4}{3}\pi R^3 &= \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 + \frac{4}{3}\pi r_3^3 \\ \frac{4}{3}\pi R^3 &= \frac{4}{3}\pi (r_1^3 + r_2^3 + r_3^3) \\ R^3 &= r_1^3 + r_2^3 + r_3^3 \quad [\text{উভয়পক্ষ থেকে } \frac{4}{3}\pi \text{ বাদ দিয়ে}] \\ R^3 &= 3^3 + 4^3 + 5^3 \\ R^3 &= 27 + 64 + 125 \\ R^3 &= 216 \\ R &= \sqrt[3]{216} = 6 \end{align*} $$10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি.। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
গম্বুজের ব্যাস = 42 ডেসিমি. $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 21 ডেসিমি.।
যেহেতু খরচ বর্গ মিটারে দেওয়া আছে, তাই ব্যাসার্ধকে মিটারে পরিণত করি:
$r = 21$ ডেসিমি. = 2.1 মিটার।
গম্বুজের উপরিতল বলতে অর্ধগোলকটির বক্রতল বোঝায়।
বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2\pi r^2$
$$ \begin{align*} &= 2 \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2 \\ &= 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \\ &= 44 \times 0.3 \times 2.1 \\ &= 13.2 \times 2.1 \\ &= 27.72 \text{ বর্গ মিটার} \end{align*} $$প্রতি বর্গ মিটারে রং করার খরচ 35 টাকা।
মোট খরচ = $27.72 \times 35 = 970.20$ টাকা।
11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি. এবং 17.5 সেমি.। গোলকদুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
ফাঁপা গোলক তৈরি করতে ধাতুর পাতের পরিমাণ তাদের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সমানুপাতী।
প্রথম গোলকের ব্যাস ($d_1$) = 21 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r_1$) = $\displaystyle\frac{21}{2}$ সেমি।
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাস ($d_2$) = 17.5 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r_2$) = $\displaystyle\frac{17.5}{2}$ সেমি।
ধাতুর পাতের পরিমাণের অনুপাত = প্রথম গোলকের ক্ষেত্রফল : দ্বিতীয় গোলকের ক্ষেত্রফল
$$ \begin{align*} &= 4\pi r_1^2 : 4\pi r_2^2 \\ &= r_1^2 : r_2^2 \\ &= \left(\frac{21}{2}\right)^2 : \left(\frac{17.5}{2}\right)^2 \\ &= 21^2 : 17.5^2 \\ &= 441 : 306.25 \end{align*} $$হিসাবের সুবিধার্থে দশমিক তুলি (উভয়পক্ষকে 100 দিয়ে গুণ করে):
$$ \begin{align*} &= 44100 : 30625 \\ &= 1764 : 1225 \quad [\text{25 দিয়ে ভাগ করে}] \\ &= 36 : 25 \quad [\text{49 দিয়ে ভাগ করে}] \end{align*} $$(বিকল্প সহজ পদ্ধতি: অনুপাত = $(\displaystyle\frac{21}{17.5})^2 = (\frac{210}{175})^2 = (\frac{6}{5})^2 = \frac{36}{25}$)
12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
ধরি, পুরানো (আগের) গোলকটির ব্যাসার্ধ = $R$ এবং নতুন (অবশিষ্ট) গোলকটির ব্যাসার্ধ = $r$।
শর্তানুসারে, নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = আগের গোলকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।
$$ \begin{align*} 4\pi r^2 &= \frac{1}{2} \times 4\pi R^2 \\ r^2 &= \frac{R^2}{2} \\ r &= \frac{R}{\sqrt{2}} \end{align*} $$আগের গোলকটির আয়তন ($V_1$) = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3$
অবশিষ্ট (নতুন) গোলকের আয়তন ($V_2$) = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} V_1$
কেটে নেওয়া অংশের আয়তন ($V_{\text{cut}}$) = $V_1 - V_2$
$$ \begin{align*} V_{\text{cut}} &= V_1 - \frac{1}{2\sqrt{2}}V_1 \\ &= V_1 \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \\ &= V_1 \left(\frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\right) \end{align*} $$এখন, কেটে নেওয়া অংশের আয়তন : অবশিষ্ট গোলকের আয়তন
$$ \begin{align*} &= V_{\text{cut}} : V_2 \\ &= V_1 \left(\frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\right) : \frac{1}{2\sqrt{2}} V_1 \\ &= \left(\frac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}\right) : \left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) \\ &= (2\sqrt{2} - 1) : 1 \end{align*} $$13. 14 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
ভূগোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 14 সেমি।
ভূগোলকের সম্পূর্ণ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi R^2$
$$ \begin{align*} &= 4 \times \frac{22}{7} \times 14^2 \\ &= 4 \times \frac{22}{7} \times 196 \\ &= 4 \times 22 \times 28 \\ &= 2464 \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$ছিদ্র দুটির ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.7 সেমি।
দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের মোট ক্ষেত্রফল = $2 \times \pi r^2$
$$ \begin{align*} &= 2 \times \frac{22}{7} \times (0.7)^2 \\ &= 2 \times \frac{22}{7} \times 0.49 \\ &= 44 \times 0.07 \\ &= 3.08 \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$ভূগোলকটির গোলাকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল - দুটি ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
$$ \begin{align*} &= 2464 - 3.08 \\ &= 2460.92 \text{ বর্গ সেমি.} \end{align*} $$14. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
বড়ো লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 8 সেমি।
বড়ো গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3$
ছোটো গুলির ব্যাসার্ধ ($r$) = 1 সেমি।
1টি ছোটো গুলির আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$
নির্ণেয় গুলির সংখ্যা = $\displaystyle\frac{\text{বড়ো গোলকের আয়তন}}{\text{1টি ছোটো গুলির আয়তন}}$
$$ \begin{align*} &= \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} \\ &= \frac{R^3}{r^3} \\ &= \frac{8^3}{1^3} \\ &= \frac{512}{1} = 512 \end{align*} $$15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন:আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi \times (\text{ব্যাসার্ধ})^3 = \frac{4}{3}\pi(2r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8r^3 = \frac{32\pi r^3}{3}$ ঘন একক।
আয়তনের অনুপাত $\displaystyle\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{1}{8} \implies \frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$
বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\displaystyle\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ অর্থাৎ 1:4।
নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $3\pi r^2$
$= 3 \times \pi \times 7^2 = 3 \times 49\pi = 147\pi$ বর্গ সেমি।
ক্ষেত্রফলের অনুপাত $\displaystyle\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{16}{9} \implies \frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{3}$
আয়তনের অনুপাত = $\displaystyle\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}$ অর্থাৎ 64:27।
শর্তানুসারে, $4\pi r^2 = 3 \times \left(\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3\right)$
$4\pi r^2 = 4\pi r^3 \implies r = 1$ একক।
(B) সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুণ হবে।যুক্তি: ব্যাসার্ধ $r$ থেকে $2r$ হলে আয়তন হবে $\displaystyle\frac{4}{3}\pi(2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$। অর্থাৎ আয়তন 8 গুণ হবে, 2 গুণ নয়।
যুক্তি: দুটি নিরেট অর্ধগোলক ভূমি বরাবর জুড়লে একটি সম্পূর্ণ নিরেট গোলক তৈরি হবে। যার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে $4\pi r^2$ বর্গ একক, $6\pi r^2$ নয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) একটি তলবিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম _________।গোলকের কেবলমাত্র একটি বক্রতল থাকে।
উত্তর: গোলক
একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল একটিই থাকে (তার বৃত্তাকার ভূমি)।
উত্তর: 1
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $3\pi (\text{ব্যাসার্ধ})^2 = 3\pi (2r)^2 = 3\pi \times 4r^2 = 12\pi r^2$
উত্তর: $12\pi r^2$
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।শর্তানুসারে, অর্ধগোলকের আয়তন = সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
$$ \begin{align*} \frac{2}{3}\pi r^3 &= 3\pi r^2 \\ \frac{2}{3}r &= 3 \quad [\text{উভয়পক্ষ থেকে } \pi r^2 \text{ বাদ দিয়ে}] \\ 2r &= 9 \\ r &= 4.5 \text{ একক} \end{align*} $$চোঙের উচ্চতা ($h$) = 12 সেমি এবং ব্যাস = 12 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($R$) = 6 সেমি।
চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $2\pi R h = 2\pi(6)(12) = 144\pi$ বর্গ সেমি।
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি। বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$।
শর্তানুসারে,
$$ \begin{align*} 4\pi r^2 &= 144\pi \\ 4r^2 &= 144 \\ r^2 &= 36 \\ r &= 6 \text{ সেমি.} \end{align*} $$ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ $r_1$ এবং গোলকের ব্যাসার্ধ $r_2$।
শর্তানুসারে, $3\pi r_1^2 = 4\pi r_2^2$
$$ \begin{align*} \frac{r_1^2}{r_2^2} &= \frac{4}{3} \\ \frac{r_1}{r_2} &= \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*} $$আমরা জানি, $S = 4\pi r^2$ এবং $V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$।
প্রদত্ত রাশি:
$$ \begin{align*} \frac{S^3}{V^2} &= \frac{(4\pi r^2)^3}{\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)^2} \\ &= \frac{64\pi^3 r^6}{\frac{16}{9}\pi^2 r^6} \\ &= \frac{64\pi^3 \times 9}{16\pi^2} \\ &= 4\pi \times 9 \\ &= 36\pi \end{align*} $$ধরি আদি ব্যাসার্ধ $r$। প্রাথমিক ক্ষেত্রফল $S_1 = 4\pi r^2$।
নতুন ব্যাসার্ধ $R = r + 50\% \text{ of } r = 1.5r$।
নতুন ক্ষেত্রফল $S_2 = 4\pi (1.5r)^2 = 4\pi \times 2.25r^2 = 9\pi r^2$।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $S_2 - S_1 = 9\pi r^2 - 4\pi r^2 = 5\pi r^2$।
শতকরা বৃদ্ধি = $\displaystyle \frac{\text{বৃদ্ধি}}{\text{প্রাথমিক ক্ষেত্রফল}} \times 100 = \frac{5\pi r^2}{4\pi r^2} \times 100 = \frac{500}{4} = 125\%$