কষে দেখি 19 (Koshe Dekhi 19) Solutions

সমাধান

স্তম্ভটির ব্যাস = 20 সেমি. $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = $\displaystyle\frac{20}{2} = 10$ সেমি.

চোঙাকৃতি অংশের ক্ষেত্রে:

উচ্চতা ($h_1$) = 2.8 মিটার = $2.8 \times 100 = 280$ সেমি.

আয়তন = $\pi r^2 h_1 = \pi \times (10)^2 \times 280 = 28000\pi$ ঘন সেমি.

শঙ্কু আকৃতির অংশের ক্ষেত্রে:

উচ্চতা ($h_2$) = 42 সেমি.

আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times (10)^2 \times 42 = 1400\pi$ ঘন সেমি.

স্তম্ভটির মোট আয়তন:

$$ \begin{align*} &= 28000\pi + 1400\pi \\ &= 29400\pi \text{ ঘন সেমি.} \\ &= 29400 \times \frac{22}{7} \\ &= 4200 \times 22 \\ &= 92400 \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$

1 ঘন সেমি. লোহার ওজন = 7.5 গ্রাম।

স্তম্ভটির মোট ওজন = $92400 \times 7.5 = 693000$ গ্রাম।

1000 গ্রাম = 1 কিগ্রা। অতএব, ওজন = $\displaystyle\frac{693000}{1000} = 693$ কিগ্রা।

সমাধান

শঙ্কুর ক্ষেত্রে:

উচ্চতা ($h$) = 20 সেমি, তির্যক উচ্চতা ($l$) = 25 সেমি।

ব্যাসার্ধ ($r$) = $\sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ সেমি।

শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times \pi \times 15^2 \times 20 = \frac{1}{3} \times \pi \times 225 \times 20 = 1500\pi$ ঘন সেমি।

চোঙের ক্ষেত্রে:

ধরি, চোঙটির ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি। উচ্চতা ($H$) = 15 সেমি।

চোঙের আয়তন = $\pi R^2 H = \pi R^2 \times 15$

শর্তানুসারে, উভয় আয়তন সমান:

$$ \begin{align*} 15\pi R^2 &= 1500\pi \\ R^2 &= \frac{1500}{15} \\ R^2 &= 100 \\ R &= \sqrt{100} = 10 \text{ সেমি.} \end{align*} $$

ব্যাসার্ধ $R = 10$ সেমি. হলে, ব্যাস = $2 \times 10 = 20$ সেমি.

সমাধান

শঙ্কু আকৃতির 1 টি লোহার টুকরোর আয়তন:

ব্যাস = 6 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r_1$) = 3 সেমি। উচ্চতা ($h_1$) = 4 সেমি।

আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$ ঘন সেমি।

60 টি টুকরোর মোট আয়তন = $60 \times 12\pi = 720\pi$ ঘন সেমি।

আর্কিমিডিসের সূত্র অনুযায়ী, অপসারিত বা বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন এই 60টি টুকরোর আয়তনের সমান হবে।

চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাস = 24 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($R$) = 12 সেমি।

ধরি, জলতল $H$ সেমি. বৃদ্ধি পাবে।

বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন (চোঙাকৃতি অংশ) = $\pi R^2 H = \pi \times 12^2 \times H = 144\pi H$

শর্তানুসারে:

$$ \begin{align*} 144\pi H &= 720\pi \\ H &= \frac{720}{144} \\ H &= 5 \end{align*} $$

সমাধান

ধরি, শঙ্কু এবং চোঙ উভয়েরই ভূমির ব্যাসার্ধ = $r$ এবং উচ্চতা = $h$।

শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

চোঙের বক্রতলের (পার্শ্বতল) ক্ষেত্রফল = $2\pi r h$

শর্তানুসারে, এদের অনুপাত 5:8

$$ \begin{align*} \frac{\pi r \sqrt{r^2 + h^2}}{2\pi r h} &= \frac{5}{8} \\ \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{2h} &= \frac{5}{8} \\ \frac{\sqrt{r^2 + h^2}}{h} &= \frac{5}{4} \quad [\text{2 দিয়ে গুণ করে}] \end{align*} $$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$$ \begin{align*} \frac{r^2 + h^2}{h^2} &= \frac{25}{16} \\ \frac{r^2}{h^2} + 1 &= \frac{25}{16} \\ \frac{r^2}{h^2} &= \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16} \\ \frac{r}{h} &= \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} \end{align*} $$

সমাধান

বড়ো লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 8 সেমি।

বড়ো গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (8)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 512$

ছোটো গুলির ব্যাস = 1 সেমি. $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.5 সেমি বা $\displaystyle\frac{1}{2}$ সেমি।

1 টি ছোটো গুলির আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{8}$

গুলির সংখ্যা = $\displaystyle\frac{\text{বড়ো গোলকের আয়তন}}{\text{1টি গুলির আয়তন}}$

$$ \begin{align*} &= \frac{\frac{4}{3}\pi \times 512}{\frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{8}} \\ &= \frac{512}{\frac{1}{8}} \\ &= 512 \times 8 \\ &= 4096 \end{align*} $$

সমাধান

লোহার দণ্ডটি চোঙ আকৃতির।

ব্যাসার্ধ ($R$) = 32 সেমি, দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা ($H$) = 35 সেমি।

লোহার দণ্ডের আয়তন = $\pi R^2 H = \pi \times (32)^2 \times 35$ ঘন সেমি।

একটি নিরেট শঙ্কুর ক্ষেত্রে:

ব্যাসার্ধ ($r$) = 8 সেমি, উচ্চতা ($h$) = 28 সেমি।

একটি শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times (8)^2 \times 28$ ঘন সেমি।

শঙ্কুর সংখ্যা = $\displaystyle\frac{\text{লোহার দণ্ডের আয়তন}}{\text{একটি শঙ্কুর আয়তন}}$

$$ \begin{align*} &= \frac{\pi \times 32 \times 32 \times 35}{\frac{1}{3}\pi \times 8 \times 8 \times 28} \\ &= \frac{32 \times 32 \times 35 \times 3}{8 \times 8 \times 28} \\ &= \frac{4 \times 4 \times 35 \times 3}{28} \quad [\text{8 দিয়ে কেটে}] \\ &= \frac{16 \times 35 \times 3}{28} \\ &= \frac{16 \times 5 \times 3}{4} \quad [\text{7 দিয়ে কেটে}] \\ &= 4 \times 5 \times 3 \\ &= 60 \end{align*} $$

সমাধান

ঘনকের ধার (edge) = 4.2 ডেসিমি.

ঘনক থেকে সবচেয়ে বড়ো যে শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে, তার ভূমির ব্যাস হবে ঘনকের ধারের সমান এবং উচ্চতাও হবে ঘনকের ধারের সমান।

অতএব, শঙ্কুর ভূমির ব্যাস = 4.2 ডেসিমি. $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 2.1 ডেসিমি.

শঙ্কুর উচ্চতা ($h$) = 4.2 ডেসিমি.

শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h$

$$ \begin{align*} &= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 4.2 \\ &= \frac{22}{21} \times 2.1 \times 2.1 \times 4.2 \\ &= 22 \times 0.1 \times 2.1 \times 4.2 \\ &= 2.2 \times 2.1 \times 4.2 \\ &= 4.62 \times 4.2 \\ &= 19.404 \text{ ঘন ডেসিমি.} \end{align*} $$

সমাধান

ধরি, গোলক এবং চোঙ উভয়েরই ব্যাসার্ধ = $r$। চোঙের উচ্চতা = $h$।

গোলকের ঘনফল (আয়তন) = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$

চোঙের ঘনফল (আয়তন) = $\pi r^2 h$

শর্তানুসারে, উভয়ের ঘনফল সমান:

$$ \begin{align*} \frac{4}{3}\pi r^3 &= \pi r^2 h \\ \frac{4}{3} r &= h \quad [\text{উভয়পক্ষ থেকে } \pi r^2 \text{ বাদ দিয়ে}] \\ 4r &= 3h \\ \frac{r}{h} &= \frac{3}{4} \end{align*} $$

সমাধান

১ম অংশ (প্রতিটি গোলকে ধাতুর পরিমাণ):

গোলকের ব্যাস = 2.1 ডেসিমি. $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 1.05 ডেসিমি.

1 টি গোলকের আয়তন (ধাতুর পরিমাণ) = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$

$$ \begin{align*} &= \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.05)^3 \\ &= \frac{88}{21} \times 1.157625 \\ &= 4.851 \text{ ঘন ডেসিমি.} \end{align*} $$

২য় অংশ (গোলকের সংখ্যা):

আয়তঘনাকার টুকরোর আয়তন = $6.6 \times 4.2 \times 1.4$ ঘন ডেসিমি.

গোলকের সংখ্যা = $\displaystyle\frac{\text{আয়তঘনের আয়তন}}{\text{1টি গোলকের আয়তন}}$

হিসাবের সুবিধার্থে দশমিক তুলি:

$$ \begin{align*} &= \frac{6.6 \times 4.2 \times 1.4}{\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.05 \times 1.05 \times 1.05} \\ &= \frac{\frac{66}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{14}{10}}{\frac{88}{21} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}} \\ &= \frac{66 \times 42 \times 14 \times 21 \times 1000000}{1000 \times 88 \times 105 \times 105 \times 105} \end{align*} $$

সহজভাবে, $6.6 \times 4.2 \times 1.4 = 38.808$

সংখ্যা = $\displaystyle\frac{38.808}{4.851} = 8$

সমাধান

সোনার গোলকের ব্যাসার্ধ ($R$) = 4.2 সেমি।

গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (4.2)^3$

লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটি (চোঙ) তৈরি হলো। এর ব্যাস = 2.8 সেমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 1.4 সেমি।

ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য বা উচ্চতা = $h$ সেমি।

দণ্ডের আয়তন = $\pi r^2 h = \pi (1.4)^2 h$

যেহেতু গোলকটিকে পিটিয়ে দণ্ড তৈরি করা হয়েছে, তাই আয়তন সমান হবে:

$$ \begin{align*} \pi (1.4)^2 h &= \frac{4}{3}\pi (4.2)^3 \\ 1.96 \times h &= \frac{4}{3} \times 74.088 \\ 1.96 \times h &= 98.784 \\ h &= \frac{98.784}{1.96} \\ h &= 50.4 \end{align*} $$

সমাধান

রৌপ্য গোলকের ব্যাস = 6 ডেসিমি $\implies$ ব্যাসার্ধ ($R$) = 3 ডেসিমি।

গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi$ ঘন ডেসিমি।

দণ্ডটির (চোঙ) দৈর্ঘ্য ($h$) = 1 ডেসিমি। ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$ ডেসিমি।

দণ্ডটির আয়তন = $\pi r^2 h = \pi r^2 \times 1 = \pi r^2$ ঘন ডেসিমি।

শর্তানুসারে:

$$ \begin{align*} \pi r^2 &= 36\pi \\ r^2 &= 36 \\ r &= \sqrt{36} = 6 \text{ ডেসিমি.} \end{align*} $$

ব্যাসার্ধ = 6 ডেসিমি. হলে, দণ্ডটির ব্যাস = $2 \times 6 = 12$ ডেসিমি.

সমাধান

যেহেতু গোলকের ব্যাসার্ধ সেমিতে আছে, তাই সব একক সেমিতে নিয়ে যাই।

দণ্ডের ব্যাসার্ধ ($R$) = 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি.

ধরি, দণ্ডটির দৈর্ঘ্য = $H$ সেমি.

দণ্ডটির আয়তন = $\pi R^2 H = \pi \times (32)^2 \times H = 1024\pi H$ ঘন সেমি.

1 টি গোলকের ব্যাসার্ধ ($r$) = 8 সেমি.

1 টি গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times (8)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 512$

21 টি গোলকের মোট আয়তন = $21 \times \displaystyle\frac{4}{3}\pi \times 512 = 7 \times 4\pi \times 512 = 28\pi \times 512 = 14336\pi$ ঘন সেমি.

শর্তানুসারে:

$$ \begin{align*} 1024\pi H &= 14336\pi \\ 1024 H &= 14336 \\ H &= \frac{14336}{1024} \\ H &= 14 \text{ সেমি.} \end{align*} $$

সমাধান

যেহেতু উত্তর ডেসিমিটারে চেয়েছে, তাই গোলকের ব্যাস ডেসিমিটারে নিই।

গোলকের ব্যাস = 21 সেমি. = 2.1 ডেসিমি. $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 1.05 ডেসিমি.

100 টি গোলকের মোট আয়তন = $100 \times \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$

$$ \begin{align*} &= 100 \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (1.05)^3 \\ &= \frac{400}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.157625 \\ &= \frac{8800}{21} \times 1.157625 \\ &= 485.1 \text{ ঘন ডেসিমি.} \end{align*} $$

ধরি, জলতল $h$ ডেসিমি. উঠবে।

বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন (আয়তঘনাকার) = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা বৃদ্ধি

$= 21 \times 11 \times h = 231h$ ঘন ডেসিমি.

আর্কিমিডিসের সূত্র অনুযায়ী, বৃদ্ধি পাওয়া জলের আয়তন = অপসারিত 100টি গোলকের আয়তন

$$ \begin{align*} 231h &= 485.1 \\ h &= \frac{485.1}{231} \\ h &= 2.1 \end{align*} $$

সমাধান

দেওয়া আছে, তিনটি ঘনবস্তুর ভূমিতলের ব্যাস সমান, অর্থাৎ ব্যাসার্ধ সমান। ধরি, ব্যাসার্ধ = $r$।

উচ্চতাও সমান। নিরেট অর্ধগোলকের উচ্চতা তার ব্যাসার্ধের সমান হয়, অর্থাৎ $h = r$।

সুতরাং, তিনটি ঘনবস্তুর ক্ষেত্রেই উচ্চতা $h = r$ হবে।

শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (r) = \frac{1}{3}\pi r^3$

অর্ধগোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{2}{3}\pi r^3$

চোঙের আয়তন = $\pi r^2 h = \pi r^2 (r) = \pi r^3$

আয়তনের অনুপাত (শঙ্কু : অর্ধগোলক : চোঙ) :

$$ \begin{align*} &= \frac{1}{3}\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \pi r^3 \\ &= \frac{1}{3} : \frac{2}{3} : 1 \quad [\text{উভয়পক্ষকে } \pi r^3 \text{ দিয়ে ভাগ করে}] \\ &= 1 : 2 : 3 \quad [\text{3 দিয়ে গুণ করে}] \end{align*} $$

সমাধান

ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ ($R$) = 6 সেমি.

যেহেতু গোলকটি 1 সেমি. পুরু, তাই এর ভেতরের ব্যাসার্ধ ($r$) = $6 - 1 = 5$ সেমি.

ফাঁপা গোলকটির ধাতুর আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)$

$$ \begin{align*} &= \frac{4}{3}\pi (6^3 - 5^3) \\ &= \frac{4}{3}\pi (216 - 125) \\ &= \frac{4}{3}\pi \times 91 \\ &= \frac{364\pi}{3} \text{ ঘন সেমি.} \end{align*} $$

দণ্ডটির (চোঙ) ব্যাসার্ধ ($r_1$) = 2 সেমি.। ধরি, দৈর্ঘ্য = $h$ সেমি.

দণ্ডটির আয়তন = $\pi r_1^2 h = \pi \times 2^2 \times h = 4\pi h$ ঘন সেমি.

শর্তানুসারে:

$$ \begin{align*} 4\pi h &= \frac{364\pi}{3} \\ 4h &= \frac{364}{3} \\ h &= \frac{364}{12} \\ h &= \frac{91}{3} = 30\frac{1}{3} \end{align*} $$

সমাধান

যেহেতু আয়তন ঘন মিটারে চেয়েছে, সব একক মিটারে নিই।

কাঠের লগের দৈর্ঘ্য ($h$) = 2 মিটার।

বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদের বাহু = 14 ডেসিমি. = 1.4 মিটার।

আয়তঘনাকার কাঠের মোট আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা = $1.4 \times 1.4 \times 2 = 3.92$ ঘন মিটার।

সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ি (Cylinder) বানালে, চোঙটির ভূমির ব্যাস হবে বর্গক্ষেত্রের বাহুর সমান।

অর্থাৎ, চোঙটির ব্যাস = 1.4 মিটার $\implies$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.7 মিটার।

চোঙটির দৈর্ঘ্য ($h$) = 2 মিটার।

চোঙটির আয়তন (অর্থাৎ প্রাপ্ত কাঠের আয়তন) = $\pi r^2 h$

$$ \begin{align*} &= \frac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 2 \\ &= 22 \times 0.1 \times 0.7 \times 2 \\ &= 2.2 \times 1.4 \\ &= 3.08 \text{ ঘন মিটার.} \end{align*} $$

নষ্ট হওয়া কাঠের পরিমাণ = (মোট আয়তন) - (চোঙের আয়তন)

$= 3.92 - 3.08 = 0.84$ ঘন মিটার।

সমাধান

গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$

ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ R। শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi R^2 (r)$

শর্তানুসারে: $\displaystyle\frac{1}{3}\pi R^2 r = \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R^2 = 4r^2 \implies R = 2r$

সমাধান

ধরি, শঙ্কুর উচ্চতা $H$ এবং ব্যাসার্ধ $r$। চোঙের ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা 5।

শঙ্কুর আয়তন = চোঙের আয়তন

$\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 H = \pi r^2 \times 5 \implies \frac{H}{3} = 5 \implies H = 15$ সেমি।

সমাধান

চোঙের ব্যাস = $2r$ এবং উচ্চতা = $2r$। এর ভিতরে যে গোলকটি সবচেয়ে বড়ো আঁটা যাবে, তার ব্যাস হবে চোঙের ব্যাস বা উচ্চতার সমান, অর্থাৎ $2r$।

সমাধান

অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ শঙ্কু কাটলে, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ হবে $r$ এবং উচ্চতাও হবে অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের সমান অর্থাৎ $r$।

শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (r) = \frac{\pi}{3} r^3$ বা $\displaystyle\frac{\pi r^3}{3}$ ঘন একক।

সমাধান

ঘনকের ভেতর সর্ববৃহৎ গোলক রাখলে, গোলকের ব্যাস ঘনকের ধারের (edge) সমান হয়। অর্থাৎ ব্যাস = x একক।

যুক্তি: দুটি নিরেট অর্ধগোলক ভূমি বরাবর জুড়লে একটি সম্পূর্ণ নিরেট গোলক তৈরি হবে। যার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে $4\pi r^2$ বর্গ একক, $6\pi r^2$ নয়।

যুক্তি: মিলিত ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে: শঙ্কুর বক্রতল ($\pi rl$) + চোঙের বক্রতল ($2\pi rh$) + চোঙের নিচের ভূমিতল ($\pi r^2$)। চোঙের উপরের তলটি শঙ্কুর সাথে ঢাকা পড়ে যাবে। তাই ক্ষেত্রফল হবে $(\pi rl + 2\pi rh + \pi r^2)$ বর্গ একক, $2\pi r^2$ নয়।

উত্তর: চোঙটির

একমুখ কাটা পেন্সিলের ছুঁচলো দিকটা শঙ্কু এবং বাকি লম্বা দিকটা লম্ব বৃত্তাকার চোঙ।

উত্তর: চোঙের (বা লম্ব বৃত্তাকার চোঙের)

উত্তর: সমান (equal)

সমাধান

উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$। শঙ্কুর উচ্চতা ($h_1$) = 15 সেমি। ধরি, চোঙের উচ্চতা = $h_2$।

শর্তানুসারে, চোঙের আয়তন = শঙ্কুর আয়তন

$$ \begin{align*} \pi r^2 h_2 &= \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 \\ h_2 &= \frac{1}{3} \times 15 \\ h_2 &= 5 \end{align*} $$

সমাধান

উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$। শঙ্কুর উচ্চতা = $h$।

শর্তানুসারে, গোলকের আয়তন = শঙ্কুর আয়তন

$$ \begin{align*} \frac{4}{3}\pi r^3 &= \frac{1}{3}\pi r^2 h \\ 4r &= h \end{align*} $$

আমাদের গোলকের ব্যাস ($2r$) এবং শঙ্কুর উচ্চতা ($h$) এর অনুপাত বের করতে হবে।

$\text{ব্যাস} : \text{উচ্চতা} = 2r : h = 2r : 4r = 2 : 4 = 1 : 2$

সমাধান

যেহেতু নিরেট গোলকের উচ্চতা তার ব্যাসের সমান ($2r$), তাই বলা যায় সবার উচ্চতা $h = 2r$।

ব্যাসার্ধ সবার $r$।

চোঙের আয়তন = $\pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3$

শঙ্কুর আয়তন = $\displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3$

গোলকের আয়তন = $\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3$

আয়তনের অনুপাত (চোঙ : শঙ্কু : গোলক) :

$$ \begin{align*} &= 2\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3 \\ &= 2 : \frac{2}{3} : \frac{4}{3} \quad [\text{উভয়পক্ষকে } \pi r^3 \text{ দিয়ে ভাগ করে}] \\ &= 6 : 2 : 4 \quad [\text{3 দিয়ে গুণ করে}] \\ &= 3 : 1 : 2 \quad [\text{2 দিয়ে ভাগ করে}] \end{align*} $$

সমাধান

দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান অর্থাৎ অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = শঙ্কুর বক্রতলের (পার্শ্বতল) ক্ষেত্রফল।

ব্যাসার্ধ = $r$, শঙ্কুর উচ্চতা = $h$, তির্যক উচ্চতা = $l$।

শর্তানুসারে:

$$ \begin{align*} 2\pi r^2 &= \pi r l \\ 2r &= l \end{align*} $$

আমরা জানি, $l^2 = h^2 + r^2$।

$$ \begin{align*} (2r)^2 &= h^2 + r^2 \\ 4r^2 &= h^2 + r^2 \\ h^2 &= 3r^2 \\ h &= r\sqrt{3} \end{align*} $$

ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত = $r : h = r : r\sqrt{3} = 1 : \sqrt{3}$।

সমাধান

শঙ্কু এবং গোলকের উভয়ের ব্যাসার্ধ = $r$। ধরি, শঙ্কুর উচ্চতা = $h$।

শর্তানুসারে, গোলকের আয়তন = $2 \times$ শঙ্কুর আয়তন

$$ \begin{align*} \frac{4}{3}\pi r^3 &= 2 \times \left( \frac{1}{3}\pi r^2 h \right) \\ 4r &= 2h \quad [\text{উভয়পক্ষ থেকে } \frac{1}{3}\pi r^2 \text{ বাদ দিয়ে}] \\ 2r &= h \\ \frac{h}{r} &= \frac{2}{1} \end{align*} $$

শঙ্কুর উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের অনুপাত = $h : r = 2 : 1$।