১) সরলভেদ (Direct Variation): $x \propto y$ হলে $x = ky$ বা $\displaystyle\frac{x}{y} = k$ (যেখানে $k$ হলো অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
২) ব্যস্তভেদ (Inverse Variation): $x \propto \displaystyle\frac{1}{y}$ হলে $x = \displaystyle\frac{k}{y}$ বা $xy = k$ (যেখানে $k$ হলো অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
৩) যৌগিক ভেদ (Joint Variation): $x \propto y$ এবং $x \propto z$ হলে $x \propto yz$ (যখন $y, z$ উভয়ই পরিবর্তনশীল)।
1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি দেওয়া হলো। A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।
| A | 25 | 30 | 45 | 250 |
|---|---|---|---|---|
| B | 10 | 12 | 18 | 100 |
প্রদত্ত ছক থেকে A এবং B-এর মানগুলির অনুপাত ($\frac{A}{B}$) পরীক্ষা করে দেখি:
$$ \begin{align*} \frac{25}{10} &= \frac{5}{2} \\ \frac{30}{12} &= \frac{5}{2} \\ \frac{45}{18} &= \frac{5}{2} \\ \frac{250}{100} &= \frac{5}{2} \end{align*} $$যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে $\displaystyle\frac{A}{B}$ -এর মান ধ্রুবক (constant), তাই A এবং B সরলভেদে আছে।
অর্থাৎ, $A \propto B$ বা $A = kB$।
2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি দেওয়া হলো। x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।
| x | 18 | 8 | 12 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | $\frac{27}{4}$ | $\frac{9}{2}$ | 9 |
প্রদত্ত ছক থেকে x এবং y-এর মানগুলির গুণফল ($xy$) পরীক্ষা করে দেখি:
$$ \begin{align*} 18 \times 3 &= 54 \\ 8 \times \frac{27}{4} &= 2 \times 27 = 54 \\ 12 \times \frac{9}{2} &= 6 \times 9 = 54 \\ 6 \times 9 &= 54 \end{align*} $$যেহেতু প্রতি ক্ষেত্রে $xy$ -এর মান ধ্রুবক (constant), তাই x এবং y ব্যস্তভেদে আছে।
অর্থাৎ, $xy = 54 \implies x \propto \displaystyle\frac{1}{y}$।
3. ভেদ তত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি:
(i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি. পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।ধরি, অতিক্রান্ত দূরত্ব = $D$ কিমি এবং সময় = $T$ মিনিট।
গতিবেগ স্থির থাকলে দূরত্ব এবং সময় সরলভেদে থাকে। অর্থাৎ, $D \propto T \implies D = kT$ (যেখানে $k$ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
দেওয়া আছে, যখন $T = 25$ মিনিট, তখন $D = 14$ কিমি।
$$ \begin{align*} 14 &= k \times 25 \\ k &= \frac{14}{25} \end{align*} $$তাহলে সম্পর্কটি দাঁড়ায়: $D = \displaystyle\frac{14}{25}T$
এখন, সময় 5 ঘণ্টা = $5 \times 60 = 300$ মিনিট।
যখন $T = 300$ মিনিট, তখন দূরত্ব ($D$):
$$ \begin{align*} D &= \frac{14}{25} \times 300 \\ &= 14 \times 12 \\ &= 168 \text{ কিমি} \end{align*} $$ধরি, শিশুর সংখ্যা = $C$ এবং প্রত্যেকের প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = $S$।
মোট সন্দেশের পরিমাণ ধ্রুবক থাকলে, শিশুর সংখ্যা ও প্রত্যেকের প্রাপ্ত সন্দেশ ব্যস্তভেদে থাকে।
অর্থাৎ, $S \propto \displaystyle\frac{1}{C} \implies S = \frac{k}{C} \implies SC = k$
দেওয়া আছে, যখন $C = 24$, তখন $S = 5$।
$$ \begin{align*} k &= 24 \times 5 = 120 \end{align*} $$এখন শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে, নতুন শিশুর সংখ্যা $C = 24 - 4 = 20$ জন।
$$ \begin{align*} 20 \times S &= 120 \\ S &= \frac{120}{20} = 6 \end{align*} $$ধরি, লোকের সংখ্যা = $M$ এবং দিন সংখ্যা = $D$।
কাজের পরিমাণ নির্দিষ্ট থাকলে লোকসংখ্যা ও দিনসংখ্যা ব্যস্তভেদে থাকে।
অর্থাৎ, $M \propto \displaystyle\frac{1}{D} \implies MD = k$
দেওয়া আছে, $M = 50$ জন এবং $D = 18$ দিন।
$$ \begin{align*} k &= 50 \times 18 = 900 \end{align*} $$এখন কাজটি 15 দিনে শেষ করতে হলে ($D = 15$):
$$ \begin{align*} M \times 15 &= 900 \\ M &= \frac{900}{15} = 60 \text{ জন} \end{align*} $$অর্থাৎ, মোট 60 জন লোক লাগবে।
অতিরিক্ত লোক লাগবে = $60 - 50 = 10$ জন।
4. মান নির্ণয় ও সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা:
(i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y=9 যখন x=9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y=6.শর্তানুসারে, $y \propto \sqrt{x} \implies y = k\sqrt{x}$ (যেখানে $k \neq 0$ ভেদ ধ্রুবক)।
যখন $x = 9, y = 9$:
$$ \begin{align*} 9 &= k\sqrt{9} \\ 9 &= 3k \\ k &= 3 \end{align*} $$তাহলে সম্পর্কটি দাঁড়ায়: $y = 3\sqrt{x}$
এখন $y = 6$ হলে $x$ এর মান:
$$ \begin{align*} 6 &= 3\sqrt{x} \\ \sqrt{x} &= \frac{6}{3} = 2 \\ x &= 2^2 = 4 \end{align*} $$যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, $x \propto \displaystyle\frac{y}{z}$
অতএব, $x = k \displaystyle\frac{y}{z}$ (যেখানে $k \neq 0$ ভেদ ধ্রুবক)।
যখন $x = 3, y = 4, z = 5$:
$$ \begin{align*} 3 &= k \times \frac{4}{5} \\ k &= \frac{3 \times 5}{4} = \frac{15}{4} \end{align*} $$সম্পর্কটি হলো: $x = \displaystyle\frac{15y}{4z}$
এখন $y = 16, z = 30$ হলে $x$ এর মান:
$$ \begin{align*} x &= \frac{15 \times 16}{4 \times 30} \\ &= \frac{240}{120} \\ &= 2 \end{align*} $$শর্তানুসারে, $x \propto \displaystyle\frac{y}{z} \implies x = k \displaystyle\frac{y}{z}$
যখন $\displaystyle x = \frac{1}{6}, y = 5, z = 9$:
$$ \begin{align*} \frac{1}{6} &= k \times \frac{5}{9} \\ k &= \frac{1}{6} \times \frac{9}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \end{align*} $$অতএব, নির্ণেয় সম্পর্কটি হলো: $x = \displaystyle\frac{3y}{10z}$
এখন $y = 6$ এবং $\displaystyle z = \frac{1}{5}$ হলে $x$ এর মান:
$$ \begin{align*} x &= \frac{3 \times 6}{10 \times \frac{1}{5}} \\ &= \frac{18}{2} \\ &= 9 \end{align*} $$5. প্রমাণ করি:
(i) $x \propto y$ হলে, দেখাই যে, $x+y \propto x-y$$x \propto y \implies x = ky$ (যেখানে $k \neq 0$ ধ্রুবক)।
তাহলে, $\displaystyle \frac{x}{y} = k$
যোগভাগ প্রক্রিয়া (Componendo and Dividendo) প্রয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{x+y}{x-y} &= \frac{k+1}{k-1} \end{align*} $$যেহেতু $k$ ধ্রুবক, তাই $\displaystyle\frac{k+1}{k-1}$ সম্পূর্ণ রাশিটিও একটি ধ্রুবক। ধরি এটি $m$।
$\displaystyle\frac{x+y}{x-y} = m \implies x+y = m(x-y)$
$\therefore x+y \propto x-y$
$A \propto \displaystyle\frac{1}{C} \implies A = \frac{k_1}{C} \quad \text{--- (1)}$
$C \propto \displaystyle\frac{1}{B} \implies C = \frac{k_2}{B} \quad \text{--- (2)}$
(1) নং সমীকরণে C এর মান (2) নং থেকে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} A &= \frac{k_1}{\frac{k_2}{B}} \\ A &= \frac{k_1}{k_2} \times B \end{align*} $$যেহেতু $\displaystyle\frac{k_1}{k_2}$ একটি ধ্রুবক, তাই $A \propto B$
$a \propto b \implies a = k_1 b$
$b \propto \displaystyle\frac{1}{c} \implies b = \frac{k_2}{c}$
$c \propto d \implies c = k_3 d$
এদের পর্যায়ক্রমে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} a &= k_1 \left( \frac{k_2}{c} \right) \\ a &= \frac{k_1 k_2}{k_3 d} \\ a &= \left( \frac{k_1 k_2}{k_3} \right) \frac{1}{d} \end{align*} $$যেহেতু ব্র্যাকেটের অংশটি একটি ধ্রুবক, তাই $a \propto \displaystyle\frac{1}{d}$
$x = k_1 y$
$y = k_2 z$
$z = k_3 x$
সমীকরণ তিনটি গুণ করে পাই:
$$ \begin{align*} x \cdot y \cdot z &= (k_1 y) \cdot (k_2 z) \cdot (k_3 x) \\ xyz &= k_1 k_2 k_3 (xyz) \end{align*} $$যেহেতু $x, y, z$ অশূন্য, তাই উভয়পক্ষ থেকে $xyz$ কেটে দিলে পাই:
$$ \begin{align*} 1 &= k_1 k_2 k_3 \end{align*} $$6. $x+y \propto x-y$ হলে, দেখাই যে,
প্রস্তুতি: $x+y \propto x-y \implies \displaystyle\frac{x+y}{x-y} = k$ (ধ্রুবক)।
যোগভাগ প্রক্রিয়া করে পাই: $\displaystyle\frac{x}{y} = \frac{k+1}{k-1} = m$ (ধরি, $m$ একটি নতুন ধ্রুবক)।
তাহলে $x = my$। এই মানটি প্রতিটি প্রমাণে ব্যবহার করব।
যেহেতু $\displaystyle\frac{m^2 + 1}{m}$ একটি ধ্রুবক, তাই $x^2+y^2 \propto xy$।
যেহেতু $\displaystyle\frac{m^3 + 1}{m^3 - 1}$ একটি ধ্রুবক, তাই $x^3+y^3 \propto x^3-y^3$।
যেহেতু $a, b, p, q, m$ সবাই ধ্রুবক, তাই সম্পূর্ণ রাশিটিও ধ্রুবক।
$\therefore ax+by \propto px+qy$
7. প্রমাণ করি:
(i) $a^2+b^2 \propto ab$ হলে, প্রমাণ করি যে, $a+b \propto a-b$$a^2+b^2 \propto ab \implies a^2+b^2 = k \cdot ab$
উভয়পক্ষকে $2ab$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{a^2+b^2}{2ab} &= \frac{k}{2} \end{align*} $$যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab} &= \frac{k+2}{k-2} \\ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} &= \frac{k+2}{k-2} \\ \frac{a+b}{a-b} &= \sqrt{\frac{k+2}{k-2}} \end{align*} $$যেহেতু ডানপক্ষ একটি ধ্রুবক, তাই $a+b \propto a-b$।
$\displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3} = k$
যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{2x^3}{2y^3} &= \frac{k+1}{k-1} \\ \frac{x^3}{y^3} &= m \quad \left[\text{ধরি } m = \frac{k+1}{k-1}\right] \\ \frac{x}{y} &= \sqrt[3]{m} = c \text{ (ধ্রুবক)} \end{align*} $$আবার যোগভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{x+y}{x-y} &= \frac{c+1}{c-1} = \text{ধ্রুবক} \end{align*} $$$\therefore x+y \propto x-y$
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = $M$, দিনসংখ্যা = $D$ এবং জমির পরিমাণ = $W$।
দিনসংখ্যা ($D$), জমির পরিমাণ ($W$) এর সাথে সরলভেদে থাকে (কারণ জমি বেশি হলে দিন বেশি লাগবে)। $\implies D \propto W$
দিনসংখ্যা ($D$), কৃষকের সংখ্যা ($M$) এর সাথে ব্যস্তভেদে থাকে (কারণ লোক বেশি হলে দিন কম লাগবে)। $\implies D \propto \displaystyle\frac{1}{M}$
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$ D \propto \frac{W}{M} \implies D = k \frac{W}{M} $$প্রদত্ত: $M_1 = 15$, $D_1 = 5$, $W_1 = 18$।
$$ \begin{align*} 5 &= k \frac{18}{15} \\ 5 &= k \frac{6}{5} \\ k &= \frac{25}{6} \end{align*} $$তাহলে সম্পর্কটি হলো: $D = \displaystyle\frac{25}{6} \times \frac{W}{M}$
এখন, $M_2 = 10$, $W_2 = 12$ হলে $D_2$ বের করতে হবে:
$$ \begin{align*} D_2 &= \frac{25}{6} \times \frac{12}{10} \\ &= \frac{25}{6} \times \frac{6}{5} \\ &= 5 \end{align*} $$9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। $1\frac{1}{2}, 2,$ এবং $2\frac{1}{2}$ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)
গোলকের আয়তন ($V$) এবং ব্যাসার্ধ ($r$)। শর্তানুসারে, $V \propto r^3 \implies V = kr^3$।
দেওয়া আছে তিনটি গোলকের ব্যাস: $1.5, 2, 2.5$ মিটার।
যেহেতু আমরা ব্যাস ($D = 2r$) দিয়েও হিসাব করতে পারি, $V = k(D/2)^3 = k' D^3$। (এখানে $k'$ একটি নতুন ধ্রুবক)।
মোট আয়তন = তিনটি গোলকের আয়তনের সমষ্টি:
$$ \begin{align*} V_{\text{Total}} &= V_1 + V_2 + V_3 \\ &= k'(1.5)^3 + k'(2)^3 + k'(2.5)^3 \\ &= k'[ (1.5)^3 + (2)^3 + (2.5)^3 ] \\ &= k'[ 3.375 + 8 + 15.625 ] \\ &= k'[ 27 ] \end{align*} $$ধরি, নতুন গোলকের ব্যাস $D_{new}$। এর আয়তন $V_{new} = k' D_{new}^3$।
শর্তানুসারে গলানোর আগে ও পরে আয়তন সমান:
$$ \begin{align*} k' D_{new}^3 &= k' [27] \\ D_{new}^3 &= 27 \\ D_{new}^3 &= 3^3 \\ D_{new} &= 3 \end{align*} $$10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x=1 হলে y=-1 এবং x=3 হলে y=5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
ধরি, $y = A + B$, যেখানে $A \propto x$ এবং $B \propto \displaystyle\frac{1}{x}$।
অতএব, $A = k_1 x$ এবং $B = \displaystyle\frac{k_2}{x}$ (যেখানে $k_1, k_2$ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
তাহলে, $y = k_1 x + \displaystyle\frac{k_2}{x} \quad \dots \text{(i)}$
প্রথম শর্ত: $x = 1, y = -1$ বসিয়ে পাই,
$$ \begin{align*} -1 &= k_1(1) + \frac{k_2}{1} \\ k_1 + k_2 &= -1 \quad \dots \text{(ii)} \end{align*} $$দ্বিতীয় শর্ত: $x = 3, y = 5$ বসিয়ে পাই,
$$ \begin{align*} 5 &= k_1(3) + \frac{k_2}{3} \\ 15 &= 9k_1 + k_2 \quad \dots \text{(iii)} \quad [\text{3 দিয়ে গুণ করে}] \end{align*} $$(iii) নং থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} (9k_1 + k_2) - (k_1 + k_2) &= 15 - (-1) \\ 8k_1 &= 16 \\ k_1 &= 2 \end{align*} $$$k_1$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} 2 + k_2 &= -1 \\ k_2 &= -3 \end{align*} $$সুতরাং, $k_1$ ও $k_2$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে সম্পর্কটি পাই:
$$ y = 2x - \frac{3}{x} $$11. $a \propto b, b \propto c$ হলে দেখাই যে, $a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \propto abc(a^3+b^3+c^3)$
$a \propto b \implies a = m b$
$b \propto c \implies b = n c$
অতএব, $a = m(nc) = mnc$।
আমাদের দেখাতে হবে যে, $\displaystyle\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc(a^3+b^3+c^3)} =$ ধ্রুবক।
মানগুলি বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} &= \frac{(mnc)^3(nc)^3 + (nc)^3c^3 + c^3(mnc)^3}{(mnc)(nc)(c) [ (mnc)^3 + (nc)^3 + c^3 ]} \\ &= \frac{m^3n^6c^6 + n^3c^6 + m^3n^3c^6}{mn^2c^3 [ m^3n^3c^3 + n^3c^3 + c^3 ]} \\ &= \frac{c^6(m^3n^6 + n^3 + m^3n^3)}{mn^2c^3 \cdot c^3 [m^3n^3 + n^3 + 1]} \\ &= \frac{c^6 \cdot n^3(m^3n^3 + 1 + m^3)}{c^6 \cdot mn^2(m^3n^3 + n^3 + 1)} \\ &= \frac{n(m^3n^3 + m^3 + 1)}{m(m^3n^3 + n^3 + 1)} \end{align*} $$যেহেতু $m$ ও $n$ উভয়ই ধ্রুবক, তাই সম্পূর্ণ রাশিটিও একটি ধ্রুবক।
$\therefore a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \propto abc(a^3+b^3+c^3)$
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ $x^2$-এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
ধরি, মোট ব্যয় = $E$ টাকা।
শর্তানুসারে, $E = A + B$, যেখানে $A \propto x$ এবং $B \propto x^2$।
$\implies A = k_1 x$ এবং $B = k_2 x^2$
তাহলে সমীকরণটি হলো: $E = k_1 x + k_2 x^2 \quad \dots \text{(i)}$
১ম শর্ত: $x = 100$, $E = 5000$
$$ \begin{align*} 5000 &= 100k_1 + 100^2 k_2 \\ 5000 &= 100k_1 + 10000k_2 \\ 50 &= k_1 + 100k_2 \quad \dots \text{(ii)} \quad [\text{100 দিয়ে ভাগ করে}] \end{align*} $$২য় শর্ত: $x = 200$, $E = 12000$
$$ \begin{align*} 12000 &= 200k_1 + 200^2 k_2 \\ 12000 &= 200k_1 + 40000k_2 \\ 60 &= k_1 + 200k_2 \quad \dots \text{(iii)} \quad [\text{200 দিয়ে ভাগ করে}] \end{align*} $$(iii) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই:
$$ \begin{align*} (k_1 + 200k_2) - (k_1 + 100k_2) &= 60 - 50 \\ 100k_2 &= 10 \\ k_2 &= \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \end{align*} $$$k_2$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} k_1 + 100\left(\frac{1}{10}\right) &= 50 \\ k_1 + 10 &= 50 \\ k_1 &= 40 \end{align*} $$তাহলে ব্যয়ের সমীকরণটি হলো: $E = 40x + \displaystyle\frac{1}{10}x^2$
এখন $x = 250$ হলে মোট ব্যয়:
$$ \begin{align*} E &= 40(250) + \frac{1}{10}(250)^2 \\ &= 10000 + \frac{62500}{10} \\ &= 10000 + 6250 \\ &= 16250 \end{align*} $$13. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
ধরি, চোঙের আয়তন = $V$, ভূমির ব্যাসার্ধ = $r$, এবং উচ্চতা = $h$।
শর্তানুসারে, $V \propto r^2 h \implies V = k r^2 h$ (যেখানে $k$ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
দুটি চোঙের ক্ষেত্রে ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1, r_2$ এবং উচ্চতা $h_1, h_2$।
দেওয়া আছে, $\displaystyle\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ এবং $\displaystyle\frac{h_1}{h_2} = \frac{5}{4}$।
আয়তনের অনুপাত:
$$ \begin{align*} \frac{V_1}{V_2} &= \frac{k r_1^2 h_1}{k r_2^2 h_2} \\ &= \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \times \left(\frac{h_1}{h_2}\right) \\ &= \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \frac{5}{4} \\ &= \frac{4}{9} \times \frac{5}{4} \\ &= \frac{5}{9} \end{align*} $$14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
ধরি, জমির পরিমাণ = $W$, লাঙলের সংখ্যা = $L$, এবং দিনসংখ্যা = $D$।
আমরা জানি, কাজের পরিমাণ স্থির থাকলে লাঙলের সংখ্যা দিনসংখ্যার সাথে ব্যস্তভেদে থাকে ($L \propto 1/D$) এবং দিনসংখ্যা স্থির থাকলে লাঙলের সংখ্যা জমির পরিমাণের সাথে সরলভেদে থাকে ($L \propto W$)।
যৌগিক ভেদের সূত্রানুযায়ী: $L \propto \displaystyle\frac{W}{D} \implies L = k \displaystyle\frac{W}{D}$
প্রদত্ত: $W_1 = 2400$, $L_1 = 25$, $D_1 = 36$।
$$ \begin{align*} 25 &= k \frac{2400}{36} \\ 25 &= k \frac{200}{3} \\ k &= \frac{25 \times 3}{200} = \frac{75}{200} = \frac{3}{8} \end{align*} $$সম্পর্কটি হলো: $L = \displaystyle\frac{3}{8} \frac{W}{D}$
এখন, অর্ধেক জমি অর্থাৎ $W_2 = \displaystyle\frac{2400}{2} = 1200$ বিঘা জমি 1 টি ট্রাক্টর দিয়ে $D_2 = 30$ দিনে চাষ করা হয়।
এই কাজটি করতে প্রয়োজনীয় লাঙলের সংখ্যা ($L_2$) বের করি:
$$ \begin{align*} L_2 &= \frac{3}{8} \times \frac{1200}{30} \\ &= \frac{3}{8} \times 40 \\ &= 3 \times 5 = 15 \end{align*} $$যেহেতু 1 টি ট্রাক্টর 30 দিনে যে পরিমাণ চাষ করে, সেই একই পরিমাণ চাষ করতে 15 টি লাঙল লাগে।
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
ধরি, গোলকের আয়তন = $V$, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $S$ এবং ব্যাসার্ধ = $r$।
প্রথম শর্ত: $V \propto r^3 \implies V = k_1 r^3$ (যেখানে $k_1$ ধ্রুবক)।
দ্বিতীয় শর্ত: $S \propto r^2 \implies S = k_2 r^2$ (যেখানে $k_2$ ধ্রুবক)।
প্রমাণ করতে হবে: $V^2 \propto S^3$
প্রথম সমীকরণকে বর্গ (square) করে পাই:
$$ V^2 = (k_1 r^3)^2 = k_1^2 r^6 $$দ্বিতীয় সমীকরণকে ঘন (cube) করে পাই:
$$ S^3 = (k_2 r^2)^3 = k_2^3 r^6 $$এখন $V^2$-কে $S^3$ দিয়ে ভাগ করে পাই:
$$ \begin{align*} \frac{V^2}{S^3} &= \frac{k_1^2 r^6}{k_2^3 r^6} \\ \frac{V^2}{S^3} &= \frac{k_1^2}{k_2^3} \end{align*} $$যেহেতু $k_1$ ও $k_2$ ধ্রুবক, তাই $\displaystyle\frac{k_1^2}{k_2^3}$ রাশিটিও একটি ধ্রুবক।
অতএব, $V^2 \propto S^3$
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) $x \propto \displaystyle\frac{1}{y}$ হলে,$x = \displaystyle\frac{k}{y} \implies xy = k$ (অশূন্য ধ্রুবক)।
$x \propto y \implies x = ky \implies x^n = k^n y^n \implies x^n \propto y^n$। তাই $x^2 \propto y^2$।
$x = ky \implies 2 = 8k \implies k = \displaystyle\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$।
যখন $y=16$, $x = \displaystyle\frac{1}{4} \times 16 = 4$।
$x = ky^2 \implies 8 = k(16) \implies k = \displaystyle\frac{1}{2}$।
যখন $x=32$, $32 = \displaystyle\frac{1}{2}y^2 \implies y^2 = 64 \implies y = 8$ (ধনাত্মক মান)।
$y-z = \displaystyle\frac{k_1}{x} \implies k_1 = xy - xz$
$z-x = \displaystyle\frac{k_2}{y} \implies k_2 = yz - xy$
$x-y = \displaystyle\frac{k_3}{z} \implies k_3 = xz - yz$
সমষ্টি = $(xy - xz) + (yz - xy) + (xz - yz) = 0$
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) $y \propto \displaystyle\frac{1}{x}$ হলে, $\frac{y}{x} =$ অশূন্য ধ্রুবকযুক্তি: $y \propto \frac{1}{x} \implies xy =$ ধ্রুবক। $\frac{y}{x}$ ধ্রুবক নয়।
যুক্তি: $x = k_1 z$ এবং $y = k_2 z \implies xy = k_1 k_2 z^2$। সুতরাং $xy \propto z^2$ হবে, $z$ নয়।
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) $x \propto \displaystyle\frac{1}{y}$ এবং $y \propto \frac{1}{z}$ হলে, x $\propto$ _________$x = \frac{k_1}{y}$ এবং $y = \frac{k_2}{z} \implies x = \frac{k_1}{(k_2/z)} = \left(\frac{k_1}{k_2}\right)z \implies x \propto z$
উত্তর: z
উত্তর: $y^n$
$y \propto x \implies y=k_1 x$. $z \propto x \implies z=k_2 x$. $y+z = (k_1+k_2)x \implies (y+z) \propto x$
উত্তর: x
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) $x \propto y^2$ এবং y=2a যখন x=a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।$x = ky^2$। মান বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} a &= k(2a)^2 \\ a &= k(4a^2) \\ k &= \frac{a}{4a^2} = \frac{1}{4a} \end{align*} $$সম্পর্কটি হলো: $x = \displaystyle\frac{1}{4a} y^2 \implies y^2 = 4ax$
ধরি, $x = k_1 y, y = k_2 z, z = k_3 x$
তিনটি সমীকরণ গুণ করে পাই:
$$ \begin{align*} xyz &= (k_1 k_2 k_3) xyz \\ 1 &= k_1 k_2 k_3 \quad [\text{যেহেতু } xyz \neq 0] \end{align*} $$$x = \displaystyle\frac{k_1}{y}$ এবং $y = \frac{k_2}{z}$
$$ \begin{align*} x &= \frac{k_1}{\frac{k_2}{z}} = \left(\frac{k_1}{k_2}\right) z \end{align*} $$যেহেতু $x = \text{ধ্রুবক} \times z$, তাই x ও z সরলভেদে আছে ($x \propto z$)।
$x = k_1 yz$ এবং $y = k_2 zx$
$x$ এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$ \begin{align*} y &= k_2 z (k_1 yz) \\ y &= k_1 k_2 z^2 y \\ 1 &= k_1 k_2 z^2 \quad [\text{যেহেতু } y \neq 0] \\ z^2 &= \frac{1}{k_1 k_2} \\ z &= \pm \frac{1}{\sqrt{k_1 k_2}} \end{align*} $$যেহেতু $k_1, k_2$ ধ্রুবক, তাই $z$ একটি অশূন্য ধ্রুবক।
$b \propto a^3 \implies b = ka^3$
দেওয়া আছে, $a_1 : a_2 = 2 : 3 \implies \displaystyle\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
b-এর বৃদ্ধির অনুপাত:
$$ \begin{align*} \frac{b_1}{b_2} &= \frac{k a_1^3}{k a_2^3} \\ &= \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3 \\ &= \left(\frac{2}{3}\right)^3 \\ &= \frac{8}{27} \end{align*} $$