যদি দুটি রেখাংশ $a$ এবং $b$ দেওয়া থাকে, তবে তাদের মধ্যসমানুপাতী $x$ হবে $x = \sqrt{ab}$।
অঙ্কন পদ্ধতি: একটি সরলরেখাংশের উপর পরপর $a$ এবং $b$ দৈর্ঘ্যের দুটি অংশ (যেমন AB এবং BC) কেটে নিতে হয়। এরপর সম্পূর্ণ রেখাংশ AC-কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করতে হয়। সাধারণ বিন্দু B-তে AC-এর ওপর লম্ব টানলে তা অর্ধবৃত্তকে যে বিন্দুতে (ধরি D) ছেদ করে, সেই লম্বের দৈর্ঘ্যই (BD) হবে নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী।
1. নিম্নলিখিত দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশগুলির মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করি এবং প্রতিক্ষেত্রে স্কেলের সাহায্যে মধ্যসমানুপাতীগুলির মান নির্ণয় করি :
- প্রদত্ত দুটি দৈর্ঘ্য (ধরি $a$ এবং $b$) স্কেলের সাহায্যে একটি সরলরেখার ওপর পরপর কেটে নিতে হবে। এর ফলে একটি সম্পূর্ণ রেখাংশ AC তৈরি হবে যার দৈর্ঘ্য $(a+b)$। মাঝখানের ছেদবিন্দুটি হলো B।
- পেনসিল কম্পাসের সাহায্যে AC রেখাংশকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করতে হবে।
- O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA বা OC ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করতে হবে।
- B বিন্দুতে AC সরলরেখাংশের ওপর একটি লম্ব অঙ্কন করতে হবে যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করবে।
- এই BD লম্বটিই হলো নির্ণেয় মধ্যসমানুপাতী। এরপর স্কেলের সাহায্যে BD-এর দৈর্ঘ্য মেপে লিখতে হবে।
তাত্ত্বিক মান: $\sqrt{5 \times 2.5} = \sqrt{12.5} \approx 3.53$ সেমি।
তাত্ত্বিক মান: $\sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12} \approx 3.46$ সেমি।
তাত্ত্বিক মান: $\sqrt{7.5 \times 4} = \sqrt{30} \approx 5.48$ সেমি।
তাত্ত্বিক মান: $\sqrt{10 \times 4} = \sqrt{40} \approx 6.32$ সেমি।
তাত্ত্বিক মান: $\sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45} \approx 6.71$ সেমি।
তাত্ত্বিক মান: $\sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36} = 6$ সেমি।
2. জ্যামিতিক উপায়ে নিম্নলিখিত সংখ্যাগুলির বর্গমূল নির্ণয় করি :
কোনো সংখ্যা $x$-এর বর্গমূল ($\sqrt{x}$) জ্যামিতিক উপায়ে নির্ণয় করতে হলে, সংখ্যাটিকে দুটি সুবিধাজনক উৎপাদকে ভাঙতে হয় (যেমন $x = a \times b$)। এরপর $a$ এবং $b$ দৈর্ঘ্যের দুটি রেখাংশ নিয়ে 1 নম্বর প্রশ্নের মতো তাদের মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করলেই ওই মধ্যসমানুপাতীর দৈর্ঘ্যই হবে $\sqrt{x}$-এর মান।
7 কে ভাঙলে পাই $7 = 7 \times 1$।
অতএব, 7 সেমি. ও 1 সেমি. রেখাংশ নিয়ে মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে।
18 কে ভাঙলে পাই $18 = 6 \times 3$ (অথবা $9 \times 2$)।
অতএব, 6 সেমি. ও 3 সেমি. রেখাংশ নিয়ে মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে।
24 কে ভাঙলে পাই $24 = 6 \times 4$ (অথবা $8 \times 3$)।
অতএব, 6 সেমি. ও 4 সেমি. রেখাংশ নিয়ে মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে।
28 কে ভাঙলে পাই $28 = 7 \times 4$।
অতএব, 7 সেমি. ও 4 সেমি. রেখাংশ নিয়ে মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে।
13 কে ভাঙলে পাই $13 = 6.5 \times 2$।
অতএব, 6.5 সেমি. ও 2 সেমি. রেখাংশ নিয়ে মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে।
29 কে ভাঙলে পাই $29 = 5.8 \times 5$।
অতএব, 5.8 সেমি. ও 5 সেমি. রেখাংশ নিয়ে মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে।
3. নিম্নলিখিত দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার চিত্র অঙ্কন করি :
ধাপসমূহ: প্রথমে রুট (Square root) এর ভিতরের সংখ্যাটিকে সুবিধাজনক দুটি উৎপাদকে ভেঙে নিতে হবে। তারপর সেই দুটি দৈর্ঘ্যের মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করতে হবে। যে মধ্যসমানুপাতীটি (লম্বটি) পাওয়া যাবে, সেটিকেই বাহু ধরে একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করতে হবে।
14 কে ভাঙলে পাই: $14 = 7 \times 2$।
7 সেমি ও 2 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করতে হবে। মধ্যসমানুপাতীটির দৈর্ঘ্য হবে $\sqrt{14}$ সেমি.। ওই লম্বটিকে বাহু ধরে একটি বর্গক্ষেত্র আঁকতে হবে।
22 কে ভাঙলে পাই: $22 = 5.5 \times 4$ (অথবা $11 \times 2$)।
5.5 সেমি ও 4 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করে, তাকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্রটি আঁকতে হবে।
31 কে ভাঙলে পাই: $31 = 6.2 \times 5$।
6.2 সেমি ও 5 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করে, তাকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্রটি আঁকতে হবে।
33 কে ভাঙলে পাই: $33 = 11 \times 3$ (অথবা $6.6 \times 5$)।
6.6 সেমি ও 5 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করে, তাকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্রটি আঁকতে হবে।
4. নিম্নলিখিত দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রগুলির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রগুলি অঙ্কন করি :
নীতি (Concept): আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ} = ab$। সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a \times b$ হতে হবে। অর্থাৎ বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু হবে $\sqrt{ab}$। তাই, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করলেই বর্গক্ষেত্রের বাহু পাওয়া যাবে।
ধাপসমূহ:
- প্রদত্ত দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করতে হবে।
- আয়তক্ষেত্রটির ভূমিকে বর্ধিত করে কম্পাসের সাহায্যে প্রস্থের সমান মাপ নিয়ে ভূমির ওপর কেটে নিতে হবে।
- এবার নতুন পাওয়া সম্পূর্ণ সরলরেখাটির (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মধ্যবিন্দু নির্ণয় করে একটি অর্ধবৃত্ত আঁকতে হবে।
- আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ যে রেখাটি বরাবর ছিল, তাকে উপরের দিকে বর্ধিত করলে তা অর্ধবৃত্তকে ছেদ করবে। এই ছেদ করা লম্বটিই হলো মধ্যসমানুপাতী (বর্গক্ষেত্রের বাহু)।
- ওই লম্বটিকে বাহু ধরে একটি বর্গক্ষেত্র সম্পূর্ণ করতে হবে।
8 সেমি ও 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র এঁকে, তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যসমানুপাতী $\sqrt{8 \times 6} = \sqrt{48} \approx 6.92$ সেমি. বের করে বর্গক্ষেত্র আঁকতে হবে।
6 সেমি ও 4 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী $\sqrt{24} \approx 4.89$ সেমি. বের করে তাকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্র আঁকতে হবে।
4.2 সেমি ও 3.5 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী $\sqrt{14.7} \approx 3.83$ সেমি. বের করে তাকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্র আঁকতে হবে।
7.9 সেমি ও 4.1 সেমি এর মধ্যসমানুপাতী $\sqrt{32.39} \approx 5.69$ সেমি. বের করে তাকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্র আঁকতে হবে।
5. নিম্নলিখিত ত্রিভুজগুলির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রগুলি অঙ্কন করি :
নীতি (Concept): ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\displaystyle\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$। একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যদি এর সমান হতে হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য হবে ত্রিভুজের ভূমি-এর সমান এবং প্রস্থ হবে ত্রিভুজের উচ্চতার অর্ধেক ($\displaystyle\frac{\text{উচ্চতা}}{2}$)।
ধাপসমূহ:
- প্রথমে প্রদত্ত মাপ অনুযায়ী ত্রিভুজটি অঙ্কন করতে হবে।
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির ওপর লম্ব (উচ্চতা) অঙ্কন করতে হবে।
- ওই লম্বটিকে বা উচ্চতাকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে, যাতে উচ্চতার অর্ধেক পাওয়া যায়।
- ত্রিভুজের ভূমির সমান্তরাল করে ওই মধ্যবিন্দু দিয়ে একটি রেখা টানতে হবে এবং ত্রিভুজের ভূমির সমান দৈর্ঘ্যের একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করতে হবে (যার প্রস্থ উচ্চতার অর্ধেক)।
- এরপর আগের প্রশ্ন (Question 4)-এর মতো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় করে সেই লম্বটিকে বাহু ধরে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করতে হবে।
10 সেমি বাহুকে ভূমি করে ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। তারপর উপরের পদ্ধতি অনুসরণ করে প্রথমে সমক্ষেত্রফল বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্র এবং পরে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করতে হবে।
7 সেমি বাহুকে ভূমি ধরে এবং দুই দিক থেকে 5 সেমি ব্যাসার্ধের চাপ কেটে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটি আঁকতে হবে। তারপর তার উচ্চতা বের করে অর্ধেক করে আয়তক্ষেত্র এবং পরিশেষে বর্গক্ষেত্রটি আঁকতে হবে।
6 সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ এঁকে, তার উচ্চতা নির্ণয় করে (যার তাত্ত্বিক মান $3\sqrt{3}$), উচ্চতার অর্ধেক নিয়ে আয়তক্ষেত্র বানাতে হবে এবং সেই আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যসমানুপাতী দিয়ে বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করতে হবে।