তাপের ঘটনাসমূহ (অধ্যায় ৪) — সম্পূর্ণ প্রশ্নোত্তর ও অনুশীলনী সমাধান

দ্বিধাতব পাত: সমান দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের দুটি ভিন্ন ধাতুর (যেমন পিতল ও লোহা) পাতকে রিভেট করে জুড়ে দিলে যে পাত তৈরি হয়, তাকে দ্বিধাতব পাত বলে।
• পিতলের দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক লোহার চেয়ে বেশি। তাই উত্তপ্ত করলে পিতল লোহার চেয়ে বেশি প্রসারিত হয় এবং পাতটি বেঁকে যায় (পিতল বাঁকের বাইরের দিকে থাকে)। আবার ঠান্ডা করলে পিতল বেশি সংকুচিত হয়ে বাঁকের ভেতরের দিকে থাকে।
ব্যবহার: (i) অগ্নিসংকেত যন্ত্রে (Fire Alarm) এবং (ii) বৈদ্যুতিক ইস্ত্রি ও হিটারে থার্মোস্ট্যাট হিসেবে।

লোহা তাপের সুপরিবাহী হওয়ায় গ্রীষ্মকালে প্রচণ্ড রোদে লোহার সেতু উত্তপ্ত হয়ে দৈর্ঘ্যে প্রসারিত হয় এবং শীতকালে ঠান্ডায় সংকুচিত হয়। সেতুর দুই প্রান্তই কংক্রিটের স্তম্ভে দৃঢ়ভাবে আটকানো থাকলে প্রসারণ ও সংকোচনের প্রচণ্ড বলের কারণে সেতুটি বেঁকে বা ভেঙে যেতে পারত। রোলারের ওপর একপ্রান্ত রাখলে সেতুটি ক্ষতিগ্রস্ত না হয়ে অবাধে প্রসারিত ও সংকুচিত হতে পারে।

কাঠের চাকার ব্যাসের চেয়ে লোহার বেড়টির ব্যাস সামান্য ছোটো তৈরি করা হয়। এরপর লোহার বেড়টিকে আগুনে তীব্রভাবে উত্তপ্ত করলে তাপীয় প্রসারণের ফলে সেটির ব্যাস বৃদ্ধি পায় এবং কাঠের চাকার ওপর সহজে পরিয়ে দেওয়া যায়। পরে ঠান্ডা জল ঢাললে বেড়টি সংকুচিত হয়ে কাঠের চাকাটিকে অত্যন্ত দৃঢ়ভাবে আঁকড়ে ধরে।

(i) রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্ক (α): প্রতি একক উষ্ণতা বৃদ্ধিতে একক দৈর্ঘ্যে যে প্রসারণ ঘটে। সূত্র: α = (l₂ - l₁) / [l₁(t₂ - t₁)]
(ii) ক্ষেত্র প্রসারণ গুণাঙ্ক (β): প্রতি একক উষ্ণতা বৃদ্ধিতে একক ক্ষেত্রফলে যে প্রসারণ ঘটে। সূত্র: β = (S₂ - S₁) / [S₁(t₂ - t₁)]
(iii) আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ): প্রতি একক উষ্ণতা বৃদ্ধিতে একক আয়তনে যে প্রসারণ ঘটে। সূত্র: γ = (V₂ - V₁) / [V₁(t₂ - t₁)]

রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্কের সূত্র হলো: α = (দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি) / (প্রাথমিক দৈর্ঘ্য × উষ্ণতা বৃদ্ধি) = (l₂ - l₁) / [l₁(t₂ - t₁)]।
এখানে লব ও হর উভয় স্থানেই দৈর্ঘ্যের একক থাকায় তারা পরস্পর কেটে যায়। শুধুমাত্র হরে থাকা উষ্ণতা বৃদ্ধির এককটি অবশিষ্ট থাকে। তাই α-এর মান দৈর্ঘ্যের এককের (সেমি বা মিটার) ওপর নির্ভর করে না, কেবল উষ্ণতার স্কেলের (°C, K বা °F) ওপর নির্ভর করে।

সেলসিয়াস স্কেলে 100 ঘরের পরিবর্তন ফারেনহাইট স্কেলে 180 ঘরের পরিবর্তনের সমান।
সুতরাং, সেলসিয়াস স্কেলে 1°C উষ্ণতা বৃদ্ধি = ফারেনহাইট স্কেলে (180/100)°F = (9/5)°F উষ্ণতা বৃদ্ধি।
এখন (9/5)°F উষ্ণতা বৃদ্ধিতে একক দৈর্ঘ্যের প্রসারণ হয় = α_C।
∴ 1°F উষ্ণতা বৃদ্ধিতে একক দৈর্ঘ্যের প্রসারণ (অর্থাৎ α_F) = (5/9) × α_C।
• অতএব, α_F = (5/9) α_C।

আপাত প্রসারণ: তরলকে পাত্রে রেখে উত্তপ্ত করার সময় পাত্রের প্রসারণ বিবেচনা না করে তরলের যে দৃশ্যমান আয়তন বৃদ্ধি লক্ষ করা যায়, তাকে আপাত প্রসারণ বলে।
প্রকৃত প্রসারণ: পাত্রের প্রসারণ বিবেচনা করে (অর্থাৎ আপাত প্রসারণের সাথে পাত্রের প্রসারণ যোগ করে) তরলের যে আসল প্রসারণ পাওয়া যায়, তাকে প্রকৃত প্রসারণ বলে।
• সম্পর্ক: তরলের প্রকৃত প্রসারণ = তরলের আপাত প্রসারণ + পাত্রের প্রসারণ (অর্থাৎ γ_r = γ_a + γ_g)।

তরল পদার্থের প্রসারণ পাত্রের প্রসারণের তুলনায় খুব বেশি নয়; তাই তরলকে উত্তপ্ত করলে পাত্রের প্রসারণকে অগ্রাহ্য করা যায় না। এজন্য তরলের আপাত ও প্রকৃত—দুটি প্রসারণ গুণাঙ্ক থাকে।
কিন্তু গ্যাসীয় পদার্থের তাপীয় প্রসারণ কঠিন পাত্রের প্রসারণের তুলনায় বহুগুণ বেশি হওয়ায় পাত্রের সামান্য প্রসারণকে সম্পূর্ণ নগণ্য ধরা হয়। তাই গ্যাসের ক্ষেত্রে কেবল একটিই আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক বিবেচনা করা হয়।

স্থির চাপে 0°C ও t°C উষ্ণতায় নির্দিষ্ট ভরের গ্যাসের আয়তন যথাক্রমে V₀ ও V_t হলে আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্কের সংজ্ঞানুসারে: V_t = V₀(1 + γ_p × t) ...... (i)
আবার চার্লসের সূত্রানুসারে স্থির চাপে: V_t = V₀(1 + t / 273) ...... (ii)
(i) এবং (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই, গ্যাসের আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক γ_p = (1 / 273) °C⁻¹।

শীতকালে আমাদের দেহের উষ্ণতা ঘরের কাঠের দরজা ও ধাতব হাতল উভয়ের উষ্ণতার চেয়ে বেশি থাকে। কাঠ তাপের কুপরিবাহী হওয়ায় কাঠের দরজায় হাত দিলে শরীর থেকে খুব অল্প তাপ দরজায় প্রবাহিত হয়। কিন্তু ধাতু তাপের সুপরিবাহী হওয়ায় ধাতব হাতলে স্পর্শ করা মাত্রই হাত থেকে দ্রুত তাপ হাতলে চলে যায়, ফলে ধাতব হাতলটিকে অনেক বেশি ঠান্ডা মনে হয়।

টিন (ধাতু) তাপের সুপরিবাহী। তাই গরমকালে সূর্যের প্রচণ্ড তাপ টিনের ছাদের মধ্য দিয়ে খুব দ্রুত পরিবাহিত হয়ে ঘরের ভেতরে প্রবেশ করে ঘরকে গরম করে তোলে। আবার শীতকালে ঘরের ভেতরের উষ্ণতা টিনের ছাদের মধ্য দিয়ে দ্রুত বাইরের শীতল পরিবেশে বেরিয়ে যায়, ফলে ঘর খুব ঠান্ডা হয়ে পড়ে।

কাচ তাপের কুপরিবাহী হওয়ায় সরাসরি আগুনের শিখায় ধরলে কাচপাত্রের কেবল তলদেশের নির্দিষ্ট অংশটি তীব্র উত্তপ্ত হয়ে প্রসারিত হয় এবং পাত্রটি ফেটে যায়। কিন্তু লোহার তারজালি তাপের সুপরিবাহী হওয়ায় আগুনের তাপকে দ্রুত সমগ্র তলদেশে সমানভাবে ছড়িয়ে দেয়, ফলে কাচপাত্রটি ফাটে না।

ডেভির নিরাপত্তা বাতির শিখার চারপাশে তামার তারজালির বেষ্টনী থাকত। তামা তাপের সুপরিবাহী হওয়ায় শিখার তাপকে দ্রুত চারপাশে পরিবাহিত করে ছড়িয়ে দিত। ফলে তারজালির বাইরের উষ্ণতা কখনোই খনির ভেতর থাকা দাহ্য মিথেন গ্যাসের জ্বলনবিন্দুতে পৌঁছাতে পারত না এবং খনিতে বিস্ফোরণ ঘটত না।

একক বেধ এবং একক প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট কোনো পরিবাহী পদার্থখণ্ডের দুই বিপরীত পৃষ্ঠের উষ্ণতার পার্থক্য একক হলে, স্থির অবস্থায় এক পৃষ্ঠ থেকে অপর পৃষ্ঠে লম্বভাবে প্রতি একক সময়ে (1 সেকেন্ডে) যে পরিমাণ তাপ পরিবাহিত হয়, তাকে ওই পদার্থের তাপ পরিবাহিতাঙ্ক (K) বলে।
• SI একক: W m⁻¹ K⁻¹ এবং CGS একক: cal s⁻¹ cm⁻¹ °C⁻¹।

(i) তড়িৎ প্রবাহমাত্রা I = (V₁ - V₂) / R সমীকরণের মতোই তাপ প্রবাহমাত্রা I_H = (θ₁ - θ₂) / R_H হয় (যেখানে বিভব-প্রভেদের বদলে উষ্ণতার পার্থক্য কাজ করে)।
(ii) তড়িৎ রোধ R = (1/σ) × (l/A)-এর মতোই তাপীয় রোধ R_H = (1/K) × (l/A) পরিবাহীর দৈর্ঘ্যের (l) সমানুপাতিক এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলের (A) ব্যস্তানুপাতিক।

ধরা যাক, একটি আয়তাকার কঠিন ফলকের বেধ (দৈর্ঘ্য) = l, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল = A এবং দুই বিপরীত সমান্তরাল পৃষ্ঠের স্থির উষ্ণতা যথাক্রমে θ₁ ও θ₂ (যেখানে θ₁ > θ₂)। উষ্ণ পৃষ্ঠ থেকে শীতল পৃষ্ঠে লম্বভাবে t সময়ে Q পরিমাণ তাপ পরিবাহিত হলে, তাপ পরিবহণের হার (Q/t):
(i) ফলকের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফলের (A) সমানুপাতিক: Q/t ∝ A
(ii) দুই পৃষ্ঠের উষ্ণতার পার্থক্যের (θ₁ - θ₂) সমানুপাতিক: Q/t ∝ (θ₁ - θ₂)
(iii) ফলকের বেধ বা দৈর্ঘ্যের (l) ব্যস্তানুপাতিক: Q/t ∝ 1/l
শর্ত তিনটি একত্রিত করে পাই:
এখানে সমানুপাতিক ধ্রুবক K-কে পদার্থের তাপ পরিবাহিতাঙ্ক বলে।
• সমীকরণে A = 1, l = 1, (θ₁ - θ₂) = 1 এবং t = 1 বসালে Q = K হয়। অর্থাৎ একক বেধ ও একক প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট পরিবাহীর দুই বিপরীত পৃষ্ঠের উষ্ণতার প্রভেদ 1 ডিগ্রি হলে লম্বভাবে প্রতি সেকেন্ডে পরিবাহিত তাপই হলো তার তাপ পরিবাহিতাঙ্ক।

পরীক্ষা পদ্ধতি: একটি আয়তাকার ধাতব পাত্রের গায়ের ছিদ্রগুলিতে কর্কের সাহায্যে সমান দৈর্ঘ্য ও সমান ব্যাসবিশিষ্ট রুপো, তামা, অ্যালুমিনিয়াম, লোহা ও কাচের দণ্ড এমনভাবে লাগানো হয় যাতে দণ্ডগুলির সামান্য অংশ পাত্রের ভেতরে এবং বাকি সমান অংশ পাত্রের বাইরে থাকে। এরপর বাইরের অংশে প্রতিটি দণ্ডের গায়ে সমান পুরু করে মোমের প্রলেপ লাগানো হয়।

পর্যবেক্ষণ: এবার ধাতব পাত্রটিতে ফুটন্ত জল ঢালা হয়। কিছুক্ষণ পর স্থির অবস্থায় পৌঁছালে দেখা যায় যে প্রতিটি দণ্ডের মোম সমান দৈর্ঘ্য পর্যন্ত গলেনি—রুপোর দণ্ডে মোম সবচেয়ে বেশি দৈর্ঘ্য পর্যন্ত গলেছে, এরপর ক্রমান্বয়ে তামা, অ্যালুমিনিয়াম ও লোহায় কম গলেছে এবং কাচের দণ্ডে সবচেয়ে কম গলেছে।

সিদ্ধান্ত: এর থেকে প্রমাণিত হয় যে বিভিন্ন কঠিন পদার্থের তাপ পরিবাহিতা বিভিন্ন এবং রুপোর তাপ পরিবাহিতা সর্বোচ্চ ও কাচের সর্বনিম্ন।

কোনো পরিবাহী ফলকের বেধ l, প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল A, তাপ পরিবাহিতাঙ্ক K এবং দুই পৃষ্ঠের উষ্ণতা θ₁ ও θ₂ (θ₁ > θ₂) হলে, তাপ প্রবাহমাত্রা বা তাপ পরিবহণের হার:
আবার চলতড়িতে ওহমের সূত্রানুসারে, কোনো পরিবাহীর দুই প্রান্তের বিভব-প্রভেদ (V₁ - V₂) এবং তড়িৎ রোধ R হলে তড়িৎ প্রবাহমাত্রা:
(i) ও (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে দেখা যায়, তড়িৎ প্রবাহে বিভব-প্রভেদ (V₁ - V₂) যেমন চালক বল, তাপ প্রবাহে উষ্ণতার পার্থক্য (θ₁ - θ₂) তেমনই চালক বল। এবং তড়িৎ রোধ R-এর সাথে তুলনীয় রাশিটি হলো R_H = l / (KA), যাকে পরিবাহীটির তাপীয় রোধ (Thermal Resistance) বলা হয়।

ধরা যাক, একটি বর্গাকার ধাতব পাতের প্রতিটি বাহুর প্রাথমিক দৈর্ঘ্য l₁ = 1 একক। সুতরাং প্রাথমিক ক্ষেত্রফল S₁ = 1² = 1 বর্গএকক।
পাতটির উষ্ণতা 1°C বৃদ্ধি করলে রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্কের সংজ্ঞানুসারে প্রতিটি বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য হবে l₂ = (1 + α)।
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল S₂ = (1 + α)² = 1 + 2α + α²।
যেহেতু α-এর মান অত্যন্ত ক্ষুদ্র (প্রায় 10⁻⁵ ক্রমের), তাই α² পদটি আরও ক্ষুদ্র হওয়ায় তা নগণ্য ধরে বর্জন করা যায়।
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = S₂ - S₁ = (1 + 2α) - 1 = 2α। কিন্তু সংজ্ঞানুসারে এই ক্ষেত্রফল বৃদ্ধিই হলো ক্ষেত্র প্রসারণ গুণাঙ্ক β।
সুতরাং, β = 2α বা α = β / 2।
একইভাবে একক বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন V₂ = (1 + α)³ = 1 + 3α + 3α² + α³ ≈ 1 + 3α ধরে পাওয়া যায়, γ = 3α বা α = γ / 3।
• অতএব, α = β / 2 = γ / 3 (প্রমাণিত)।

পরীক্ষা: সমান দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেধের একটি পিতলের পাত এবং একটি লোহার পাতকে পরস্পরের ওপর রেখে কয়েকটি স্থানে রিভেট করে একটি দ্বিধাতব পাত (Bimetallic Strip) তৈরি করা হলো। ঘরের সাধারণ উষ্ণতায় পাতটি সম্পূর্ণ সোজা থাকে।
পর্যবেক্ষণ: এবার বুনসেন বার্নারের সাহায্যে যুগ্ম পাতটিকে উত্তপ্ত করলে দেখা যায় পাতটি ধনুকের মতো বেঁকে গেছে এবং বাঁকের বাইরের (উত্তল) দিকে পিতলের পাতটি ও ভেতরের (অবতল) দিকে লোহার পাতটি অবস্থান করছে।
সিদ্ধান্ত: যেহেতু একই উষ্ণতা বৃদ্ধিতে লোহার চেয়ে পিতলের প্রসারণ বেশি ঘটেছে, তাই পিতলের দিকটি বেশি লম্বা হয়ে বাইরের দিকে বেঁকে গেছে। এর থেকে প্রমাণিত হয় যে একই উষ্ণতা পরিবর্তনে বিভিন্ন কঠিনের প্রসারণ বিভিন্ন হয়।

সমাধান:
প্রাথমিক দৈর্ঘ্য (l₁) = 100 cm
উষ্ণতা বৃদ্ধি (t₂ - t₁) = (100 - 0)°C = 100°C
পিতলের রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্ক (α) = 19 × 10⁻⁶ °C⁻¹

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি (l₂ - l₁) = l₁ × α × (t₂ - t₁) = 100 × 19 × 10⁻⁶ × 100 = 0.19 cm।
• অতএব, 100°C উষ্ণতায় দণ্ডটির অন্তিম দৈর্ঘ্য (l₂) = 100 + 0.19 = 100.19 cm।

সমাধান:
দেওয়া আছে, সেলসিয়াস স্কেলে ক্ষেত্র প্রসারণ গুণাঙ্ক (β) = 34 × 10⁻⁶ °C⁻¹।
∴ সেলসিয়াস স্কেলে রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্ক (α_C) = β / 2 = (34 × 10⁻⁶) / 2 = 17 × 10⁻⁶ °C⁻¹।

(i) ফারেনহাইট স্কেলে রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্ক (α_F):
α_F = (5 / 9) × α_C = (5 / 9) × 17 × 10⁻⁶ = 9.44 × 10⁻⁶ °F⁻¹।

(ii) সেলসিয়াস স্কেলে আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ_C):
γ_C = 3 × α_C = 3 × 17 × 10⁻⁶ = 51 × 10⁻⁶ °C⁻¹।

সমাধান:
পারদের আপাত প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ_a) = 15.5 × 10⁻⁵ °C⁻¹
কাচের রৈখিক প্রসারণ গুণাঙ্ক (α_g) = 0.9 × 10⁻⁵ °C⁻¹
∴ কাচ পাত্রের আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ_g) = 3 × α_g = 3 × 0.9 × 10⁻⁵ = 2.7 × 10⁻⁵ °C⁻¹।

আমরা জানি, পারদের প্রকৃত আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক:
γ_r = γ_a + γ_g = (15.5 × 10⁻⁵) + (2.7 × 10⁻⁵) = 18.2 × 10⁻⁵ °C⁻¹।

সমাধান:
এখানে ফলকের বেধ (l) = 2 mm = 0.2 cm
ক্ষেত্রফল (A) = 100 cm²
উষ্ণতার পার্থক্য (θ₁ - θ₂) = (25 - 5)°C = 20°C
সময় (t) = 1 মিনিট = 60 s এবং K = 0.002 cal s⁻¹ cm⁻¹ °C⁻¹

পরিবাহিত তাপ Q = [K × A × (θ₁ - θ₂) × t] / l
= (0.002 × 100 × 20 × 60) / 0.2 = 240 / 0.2 = 1200 ক্যালোরি।

বৈদ্যুতিক ইস্ত্রি বা ওভেনে তড়িৎবর্তনীর সাথে শ্রেণি সমবায়ে একটি দ্বিধাতব পাত যুক্ত থাকে। সাধারণ উষ্ণতায় দ্বিধাতব পাতটি সোজা থেকে তড়িৎবর্তনীকে সংযুক্ত রাখে, ফলে হিটারের মধ্য দিয়ে তড়িৎ প্রবাহিত হয় এবং তাপ উৎপন্ন হয়। উষ্ণতা বাড়তে বাড়তে যখন পূর্বনির্ধারিত সীমায় পৌঁছায়, তখন অসম প্রসারণের ফলে দ্বিধাতব পাতটি বেঁকে গিয়ে তড়িৎ সংযোগ বিচ্ছিন্ন করে দেয় এবং তাপ উৎপাদন বন্ধ হয়ে যায়। আবার উষ্ণতা কমে নির্দিষ্ট মানে নামলে পাতটি সোজা হয়ে পুনরায় বর্তনী সংযুক্ত করে। এইভাবে স্বয়ংক্রিয়ভাবে উষ্ণতা নিয়ন্ত্রিত হয়।