কষে দেখি 12 (Koshe Dekhi 12)

প্রমাণ:

ABCD একটি সামান্তরিক, তাই $AB \parallel DC$ এবং $AB = DC$।

যেহেতু P এবং Q যথাক্রমে AB এবং DC এর মধ্যবিন্দু,

$\therefore AP = \frac{1}{2} AB$ এবং $CQ = \frac{1}{2} DC$

যেহেতু $AB = DC$, তাই $AP = CQ$।

APCQ চতুর্ভুজের $AP \parallel CQ$ এবং $AP = CQ$, সুতরাং APCQ একটি সামান্তরিক।

এখন, ABCD এবং APCQ উভয় সামান্তরিকই একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল ($AB \parallel DC$) এর মধ্যে অবস্থিত, তাই তাদের উচ্চতা (h) সমান।

Area(APCQ) $= \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = AP \times h$

Area(ABCD) $= \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = AB \times h$

যেহেতু $AP = \frac{1}{2} AB$, তাই $AP \times h = \frac{1}{2} AB \times h$

$\therefore$ Area(APCQ) $= \frac{1}{2} \times$ Area(ABCD)।

প্রমাণ:

আমরা জানি, রম্বস এক প্রকার সামান্তরিক। রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$।

যদি ভূমি হিসেবে $AB$ কে নেওয়া হয়, তবে উচ্চতা হলো $AB$ ও $DC$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $PQ$।

$\therefore$ রম্বসের ক্ষেত্রফল $= AB \times PQ \dots (1)$

আবার, যদি ভূমি হিসেবে $AD$ কে নেওয়া হয়, তবে উচ্চতা হলো $AD$ ও $BC$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব $RS$।

$\therefore$ রম্বসের ক্ষেত্রফল $= AD \times RS \dots (2)$

(1) ও (2) থেকে পাই, $AB \times PQ = AD \times RS$

যেহেতু রম্বসের সব বাহু সমান, তাই $AB = AD$।

$\therefore PQ = RS$

প্রমাণ:

ABCD সামান্তরিকের $AB \parallel DC$ এবং $AB = DC$।

P ও Q মধ্যবিন্দু হওয়ায় $PB = \frac{1}{2} AB$ এবং $DQ = \frac{1}{2} DC$।

যেহেতু $AB = DC$, তাই $PB = DQ$।

চতুর্ভুজ PBQD-এ $PB \parallel DQ$ এবং $PB = DQ$। তাই PBQD একটি সামান্তরিক।

এখন, $\triangle PBC$ এবং সামান্তরিক PBQD উভয়েই সমান ভূমি $PB$ (যেহেতু $PB = DQ$) এর উপর অবস্থিত নয়, কিন্তু তাদের ভূমি $PB$ সাধারণ এবং তারা একই সমান্তরাল যুগল $AB \parallel DC$ এর মধ্যে অবস্থিত।

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজ এবং সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হয়।

$\therefore Area(\triangle PBC) = \frac{1}{2} \times Area(PBQD)$

প্রমাণ:

$\triangle ABP$ এবং $\triangle ACP$ এর ক্ষেত্রফল বিবেচনা করি।

Area($\triangle ABP$) $= \frac{1}{2} \times AB \times PQ$

Area($\triangle ACP$) $= \frac{1}{2} \times AC \times PR$

চিত্র অনুযায়ী, Area($\triangle ABP$) - Area($\triangle ACP$) = Area($\triangle ABC$) (যেহেতু P বর্ধিত BC এর উপর অবস্থিত)

আবার, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times AC \times BS$ (যেখানে AC ভূমি এবং BS লম্ব)।

তাহলে, $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot PQ - \frac{1}{2} \cdot AC \cdot PR = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BS$

যেহেতু $AB = AC$, তাই AB এর জায়গায় AC বসালে পাই:

$\frac{1}{2} AC (PQ - PR) = \frac{1}{2} AC \cdot BS$

উভয়পক্ষ থেকে $\frac{1}{2} AC$ বাদ দিলে, $PQ - PR = BS$

প্রমাণ:

ধরি, সমবাহু $\triangle ABC$ এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ এবং উচ্চতা $h$।

$\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times a \times h$

O বিন্দুটি ত্রিভুজের বাইরে কিন্তু $\angle ABC$ এর কৌণিক অঞ্চলে অবস্থিত হওয়ায়,

Area($\triangle OAB$) + Area($\triangle OBC$) - Area($\triangle OAC$) = Area($\triangle ABC$)

$\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot a \cdot OP + \frac{1}{2} \cdot a \cdot OQ - \frac{1}{2} \cdot a \cdot OR = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

উভয়পক্ষ থেকে $\frac{1}{2} a$ কমন নিয়ে কেটে দিলে পাই:

$OP + OQ - OR = h$

প্রমাণ:

যেহেতু $AB \parallel EG$ এবং $ABCD$ সামান্তরিক হওয়ায় $AB \parallel DC$, তাই $EG \parallel DC$।

$\triangle ABE$ এবং $\triangle ABG$ একই ভূমি $AB$ এবং একই সমান্তরাল যুগল $AB$ ও $EG$ এর মধ্যে অবস্থিত।

$\therefore \triangle ABE = \triangle ABG$

উভয়পক্ষ থেকে $\triangle ABX$ (যেখানে X হলো AC ও EG এর ছেদবিন্দু) বিয়োগ করলে পাওয়া যায়, $\triangle AEX = \triangle BGX$। এটি সরাসরি প্রমাণের চেয়ে অন্যভাবে করা সহজ:

$\triangle ADC$ এবং $\triangle ABC$ সামান্তরিকের কর্ণ দ্বারা বিভক্ত দুটি সমান ত্রিভুজ। $\therefore \triangle ADC = \triangle ABC$

যেহেতু $EG \parallel DC$, $\triangle EFC$ এবং $\triangle GFC$ একই ভূমি $FC$ এবং সমান্তরাল যুগল $FC \parallel EG$ এর মধ্যে অবস্থিত।

সহজ প্রমাণ: $\triangle AEG$ এবং $\triangle ACG$ একই ভূমি $AG$ এর উপর নয়, বরং $AEG$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} EG \times \text{height}$।

$\triangle ABG = \triangle ABE$ এবং $\triangle ACG = \triangle ABG + \triangle ABC$ (যদি বাইরে থাকে)।

আমরা জানি, $\triangle AFD = \triangle ACD - \triangle FDC$ এবং $\triangle AEG = \triangle ACG - \triangle CEG$।

যেহেতু $AB \parallel EG$, $\triangle ABG = \triangle ABE \Rightarrow \triangle ABG + \triangle AEF = \triangle ABE + \triangle AEF \Rightarrow \triangle AFG = \triangle AFB$।

সরাসরি উপপাদ্য অনুযায়ী, $EG \parallel DC$ হওয়ায় $\triangle EFC = \triangle DFC$।

সুতরাং, $\triangle AFD = \triangle ADC - \triangle FDC = \triangle ABC - \triangle EFC$

আবার, $\triangle AEG = \triangle ACG - \triangle CEG$। যেহেতু $AB \parallel EG$, $\triangle ACG = \triangle ABC$।

$\therefore \triangle AEG = \triangle ABC - \triangle EFC$।

প্রমাণ:

(i) $\triangle ADF$ এবং $\triangle ADC$ একই ভূমি $AD$ এবং একই সমান্তরাল যুগল $AD \parallel FC$ (যেহেতু $AD \parallel BC$) এর মধ্যে অবস্থিত।

$\therefore \triangle ADF = \triangle ADC \dots (1)$

আবার, $\triangle ABE$ এবং $\triangle ABC$ একই ভূমি $AB$ এবং একই সমান্তরাল যুগল $AB \parallel DC$ এর মধ্যে অবস্থিত।

$\therefore \triangle ABE = \triangle ABC \dots (2)$

সামান্তরিকের কর্ণ $AC$ তাকে দুটি সমান ত্রিভুজে ভাগ করে। $\therefore \triangle ADC = \triangle ABC \dots (3)$

(1), (2) এবং (3) থেকে পাই, $\triangle ADF = \triangle ABE$। (প্রমাণিত)

(ii) $\triangle ABE + \triangle ADE = \triangle ABD$ (যেহেতু $AB \parallel DC$ তে E বিন্দু)।

আমরা জানি, $\triangle ADF = \triangle ADE + \triangle DEF$

আবার, $\triangle ABE$ কে লেখা যায় $\triangle ABE$।

যেহেতু $\triangle ADF = \triangle ABE$ (প্রথম প্রমাণ থেকে),

$\triangle ABE = \triangle ABF - \triangle EBF$ ? না, আরও সহজে:

$\triangle ABF$ এবং $\triangle DBF$ একই ভূমি $BF$ এবং $AD \parallel BF$ এর মধ্যে অবস্থিত। $\therefore \triangle ABF = \triangle DBF$

উভয়পক্ষ থেকে $\triangle EBF$ বিয়োগ করলে: $\triangle ABE = \triangle DEF$।

আবার, $\triangle ABE$ এবং $\triangle BEC$ একই সমান্তরাল যুগলে অবস্থিত নয়। কিন্তু $\triangle ABE + \triangle BCE = \triangle ABC = \frac{1}{2} ABCD$?

সঠিক প্রমাণ: $\triangle ABF = \triangle DBF \Rightarrow \triangle ABE + \triangle BEF = \triangle DEF + \triangle BEF \Rightarrow \triangle ABE = \triangle DEF$।

আমরা জানি, $\triangle ABE = \triangle BEC$? না, $\triangle ADC = \triangle ABC \Rightarrow \triangle ADE + \triangle DEC = \triangle ABE + \triangle BCE$।

যেহেতু $\triangle ADF = \triangle ADE + \triangle DEF$ এবং $\triangle ADF = \triangle ABE$।

তাহলে $\triangle ADE + \triangle DEF = \triangle ABE$।

আবার $\triangle ABE + \triangle BCE = \triangle ABC = \triangle ADC = \triangle ADE + \triangle DEC$।

তাহলে $\triangle ADE + \triangle DEF + \triangle BCE = \triangle ADE + \triangle DEC \Rightarrow \triangle DEF + \triangle BCE = \triangle DEC$?

প্রকৃতপক্ষে, $AEF$ সরলরেখা এবং $D,C$ বিন্দু। $\triangle DEF = \triangle CE F$ (একই ভূমি $EF$, এবং $DC \parallel EF$ নয়)।

আসলে, $\triangle DBF = \triangle CBF$ (একই ভূমি $BF$, $DC \parallel BF$)।

$\therefore \triangle DBF - \triangle EBF = \triangle CBF - \triangle EBF \Rightarrow \triangle DEF = \triangle BEC$।

প্রমাণ:

ধরি, $AB$ রেখাংশ $CD$-কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$C$ ও $D$ বিন্দু থেকে $AB$-এর উপর যথাক্রমে $CM$ এবং $DN$ লম্ব অঙ্কন করা হলো।

$\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times AB \times CM$

$\triangle ABD$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times AB \times DN$

যেহেতু $\triangle ABC = \triangle ABD$, তাই $\frac{1}{2} \times AB \times CM = \frac{1}{2} \times AB \times DN \Rightarrow CM = DN$।

এখন সমকোণী $\triangle CMO$ এবং $\triangle DNO$ এর মধ্যে—

• $\angle CMO = \angle DNO = 90^\circ$
• $\angle COM = \angle DON$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $CM = DN$ (প্রমাণিত)

$\therefore \triangle CMO \cong \triangle DNO$ (A-A-S শর্তানুসারে)।

সুতরাং, $CO = DO$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

প্রমাণ:

যেহেতু $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $AD$ হলো $\triangle ABC$-এর মধ্যমা।

আমরা জানি, মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

$\therefore \triangle ABC = 2 \times \triangle ADC \dots (1)$

এখন, $\triangle ADC$ এবং সামান্তরিক $CDEF$ উভয়েই একই ভূমি $CD$ (বা $DC$) এর উপর অবস্থিত এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল $BC$ (বা $CD$) এবং $A$ বিন্দুগামী সমান্তরাল রেখার মধ্যে অবস্থিত।

আমরা জানি, একই ভূমি ও সমান্তরালের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের অর্ধেক হয়।

$\therefore \triangle ADC = \frac{1}{2} \times \text{সামান্তরিক } CDEF$

$\Rightarrow \text{সামান্তরিক } CDEF = 2 \times \triangle ADC \dots (2)$

(1) ও (2) থেকে পাই,

প্রমাণ:

ABCD সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় AC এবং BD পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore AO = CO$

এখন $\triangle APC$ বিবেচনা করি। $PO$ রেখাংশ $AC$-কে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে, তাই $PO$ হলো $\triangle APC$-এর মধ্যমা।

মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান দুটি ক্ষেত্রফলে ভাগ করে। $\therefore \triangle APO = \triangle CPO \dots (1)$

একইভাবে $\triangle ADC$-তে $DO$ হলো মধ্যমা, তাই $\triangle ADO = \triangle CDO \dots (2)$

(1) ও (2) যোগ করে পাই:

$\triangle APO + \triangle ADO = \triangle CPO + \triangle CDO$

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এ $AD$ হলো মধ্যমা। আমরা জানি, মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলে বিভক্ত করে।

$\therefore \triangle ACD = \frac{1}{2} \triangle ABC \dots (1)$

আবার, $\triangle ABC$-এ $BE$ হলো মধ্যমা।

$\therefore \triangle BCE = \frac{1}{2} \triangle ABC \dots (2)$

(1) ও (2) থেকে আমরা পাই,

প্রমাণ:

(i) $\triangle BPQ$ এবং $\triangle CPQ$ একই ভূমি $PQ$ এর উপর অবস্থিত এবং একই সমান্তরাল যুগল $PQ \parallel BC$ এর মধ্যে অবস্থিত।

$\therefore \triangle BPQ = \triangle CPQ$। (প্রমাণিত)

(ii) $\triangle BCP$ এবং $\triangle BCQ$ একই ভূমি $BC$ এর উপর অবস্থিত এবং একই সমান্তরাল যুগল $BC \parallel PQ$ এর মধ্যে অবস্থিত।

$\therefore \triangle BCP = \triangle BCQ$। (প্রমাণিত)

(iii) (ii) নং প্রমাণ থেকে পাই, $\triangle BCP = \triangle BCQ$।

উভয়পক্ষ থেকে $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল বিয়োগ করলে? না, বরং $\triangle BCP$ এবং $\triangle BCQ$ এর সাথে $\triangle APQ$ যোগ করি।

বিকল্প: $\triangle BPQ = \triangle CPQ$ (i নং থেকে)। উভয়পক্ষে $\triangle APQ$ যোগ করে পাই:

$\triangle BPQ + \triangle APQ = \triangle CPQ + \triangle APQ$

$\Rightarrow \triangle ABQ = \triangle ACP$। (প্রমাণিত)

(iv) (i) নং প্রমাণ থেকে পাই, $\triangle BPQ = \triangle CPQ$।

উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ অংশ $\triangle XPQ$ বিয়োগ করে পাই:

$\triangle BPQ - \triangle XPQ = \triangle CPQ - \triangle XPQ$

$\Rightarrow \triangle BXP = \triangle CXQ$। (প্রমাণিত)

প্রমাণ:

(i) $\triangle ADQ$ এবং $\triangle PDQ$ একই ভূমি $DQ$ এর উপর অবস্থিত এবং একই সমান্তরাল যুগল $DQ \parallel PA$ এর মধ্যে অবস্থিত (যেহেতু D বিন্দু দিয়ে PA এর সমান্তরাল DQ টানা হয়েছে)।

$\therefore \triangle ADQ = \triangle PDQ$। (প্রমাণিত)

(ii) $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু, তাই $AD$ হলো $\triangle ABC$-এর মধ্যমা।

$\therefore \triangle ABD = \frac{1}{2} \triangle ABC$

চিত্র অনুযায়ী, $\triangle ABD = \triangle BDQ + \triangle ADQ$

(i) নং প্রমাণ থেকে $\triangle ADQ = \triangle PDQ$ বসিয়ে পাই:

$\triangle ABD = \triangle BDQ + \triangle PDQ$

কিন্তু $\triangle BDQ + \triangle PDQ = \triangle BPQ$

$\therefore \triangle BPQ = \triangle ABD = \frac{1}{2} \triangle ABC$

প্রমাণ:

সমকোণী $\triangle ABE$ এবং $\triangle ACF$ এর মধ্যে—

• $\angle AEB = \angle AFC = 90^\circ$ (লম্ব)
• $\angle A$ সাধারণ কোণ।
• $AB = AC$ (প্রদত্ত সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)

$\therefore A-A-S$ শর্তানুসারে $\triangle ABE \cong \triangle ACF$।

সুতরাং, $AE = AF$ (সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু)।

এখন $\triangle ABC$-এ, $\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC}$ (যেহেতু $AF=AE$ এবং $AB=AC$)।

থ্যালেস (Thales) এর উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী, কোনো সরলরেখা ত্রিভুজের দুটি বাহুকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে তা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয়।

প্রমাণ:

যেহেতু $\angle ABC = \angle ACB$, তাই $AB = AC$ (সমান কোণের বিপরীত বাহু)।

$BE$ এবং $CF$ হলো যথাক্রমে $\angle ABC$ ও $\angle ACB$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

$\therefore \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC$ এবং $\angle FCB = \frac{1}{2} \angle ACB$।

যেহেতু $\angle ABC = \angle ACB$, তাই $\angle EBC = \angle FCB$।

এখন $\triangle BCE$ এবং $\triangle CBF$ এর মধ্যে—

• $\angle EBC = \angle FCB$
• $BC$ সাধারণ বাহু।
• $\angle BCE = \angle CBF$ (যেহেতু মূল কোণগুলো সমান)

$\therefore A-S-A$ শর্তে $\triangle BCE \cong \triangle CBF$।

সুতরাং $CE = BF$।

আমরা জানি $AC = AB$, তাই $AC - CE = AB - BF \Rightarrow AE = AF$।

যেহেতু $AE = AF$ এবং $AB = AC$, তাই $\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB}$।

প্রমাণ:

ABCD এবং AEFG সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান এবং $\angle A$ সাধারণ।

Area(ABCD) $= AB \times h_1$ (যেখানে $h_1$ হলো D থেকে AB এর লম্ব দূরত্ব)।

Area(AEFG) $= AE \times h_2$ (যেখানে $h_2$ হলো G বা F থেকে AE এর লম্ব দূরত্ব)।

সহজ প্রমাণের জন্য, $\triangle ADE$ এবং $\triangle AFC$ বিবেচনা করি।

যেহেতু Area(ABCD) = Area(AEFG), $\therefore 2 \times \triangle ABD = 2 \times \triangle AEF$ না, এটা সরাসরি প্রযোজ্য নয়।

আমরা জানি, $\triangle ADE = \frac{1}{2} AD \times AE \times \sin A$।

সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল $= AD \times AB \times \sin A$।

সামান্তরিক AEFG এর ক্ষেত্রফল $= AG \times AE \times \sin A$।

যেহেতু ক্ষেত্রফল সমান, $AD \times AB \times \sin A = AG \times AE \times \sin A \Rightarrow AD \times AB = AG \times AE \Rightarrow \frac{AD}{AE} = \frac{AG}{AB}$।

আবার, $\triangle DAE$ এবং $\triangle GAB$ এর মধ্যে $\angle A$ সাধারণ। $\therefore \triangle DAE$ এবং $\triangle GAB$ এর ক্ষেত্রফল সমান।

প্রকৃতপক্ষে, $DE \parallel FC$ প্রমাণ করতে হবে।

$\triangle DEC$ এবং $\triangle FEC$ একই ভূমি $EC$ এর উপর অবস্থিত হলে... না।

Area($\triangle ADC$) = $\frac{1}{2}$ ABCD = $\frac{1}{2}$ AEFG = Area($\triangle AEF$) ?

Area($\triangle DEF$) = Area($\triangle C EF$) প্রমাণ করতে পারলেই $DE \parallel FC$ হবে।

Area($\triangle DEF$) = Area(AEFG) - Area($\triangle ADE$) - Area($\triangle DFG$) ?

জ্যামিতিক উপায়ে: $\triangle ADE$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} AD \cdot AE \sin A$। $\triangle AFC$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} Area(ABCD)$? না।

$\triangle FDC$ এবং $\triangle FDE$ এর ক্ষেত্রফল সমান দেখাতে হবে।

$\triangle A C E$ এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} AB \times \text{height of C} \times \frac{AE}{AB} = \frac{1}{2} Area(ABCD) \times \frac{AE}{AB}$।

Area($\triangle DEC$) = $\frac{1}{2}$ Area(ABCD) (যেহেতু ভূমি DC, সমান্তরাল AB)।

Area($\triangle DEF$) = $\frac{1}{2}$ Area(AEFG) (যেহেতু ভূমি EF, সমান্তরাল AG)।

যেহেতু Area(ABCD) = Area(AEFG), তাই Area($\triangle DEC$) = Area($\triangle DEF$)।

যেহেতু $\triangle DEC$ এবং $\triangle DEF$ উভয়েই একই ভূমি $DE$ এর উপর অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান, তাই তাদের শীর্ষবিন্দু C এবং F, $DE$ এর সমান্তরাল একই রেখায় অবস্থিত।

প্রমাণ:

প্রদত্ত, AC কর্ণ ABCE চতুর্ভুজকে সমান দুটি অংশে ভাগ করে।

$\therefore Area(\triangle ABC) = Area(\triangle ACE)$

আমরা জানি, ABCD একটি সামান্তরিক, তাই কর্ণ AC একে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে ভাগ করে।

$\therefore Area(\triangle ABC) = Area(\triangle ADC)$

উপরের দুটি সমীকরণ থেকে আমরা পাই:

$Area(\triangle ACE) = Area(\triangle ADC)$

এখন, $\triangle ACE$ এবং $\triangle ADC$ উভয়েই একই ভূমি $AC$ এর উপর অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান।

আমরা জানি, একই ভূমির উপর অবস্থিত দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে তারা একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হয়।

প্রমাণ:

$\triangle ABC$-এ $D$ হলো $BC$-এর মধ্যবিন্দু। তাই $AD$ হলো মধ্যমা।

আমরা জানি, মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফলে ভাগ করে।

$\therefore \triangle ABD = \frac{1}{2} \triangle ABC \dots (1)$

প্রদত্ত শর্তানুসারে, $\triangle BPQ = \frac{1}{2} \triangle ABC \dots (2)$

(1) ও (2) থেকে পাই, $\triangle BPQ = \triangle ABD$

উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ অংশ $\triangle BDQ$ বিয়োগ করে পাই:

$\triangle BPQ - \triangle BDQ = \triangle ABD - \triangle BDQ$

$\Rightarrow \triangle DPQ = \triangle ADQ$

এখন, $\triangle DPQ$ এবং $\triangle ADQ$ উভয়েই একই ভূমি $DQ$ এর উপর অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান।

একই ভূমির উপর অবস্থিত সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজদ্বয় একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থান করে।

প্রমাণ:

(i) কর্ণ $AC$ যুক্ত করা হলো।

$\triangle ABC$-এ $E$ ও $F$ যথাক্রমে $AB$ ও $BC$ এর মধ্যবিন্দু। $\therefore EF \parallel AC$ এবং $EF = \frac{1}{2} AC$।

একইভাবে $\triangle ADC$-এ $H$ ও $G$ যথাক্রমে $AD$ ও $DC$ এর মধ্যবিন্দু। $\therefore HG \parallel AC$ এবং $HG = \frac{1}{2} AC$।

সুতরাং, $EF \parallel HG$ এবং $EF = HG$। একজোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হওয়ায় EFGH একটি সামান্তরিক। (প্রমাণিত)

(ii) $E$ ও $G$ যুক্ত করি। $EG \parallel BC \parallel AD$।

এখন $ABGE$ একটি সামান্তরিক যার ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ ABCD।

$\triangle EFG$ এবং সামান্তরিক EBGF একই ভূমি $EG$ এবং $EG \parallel BC$ এর মধ্যে অবস্থিত। $\therefore \triangle EFG = \frac{1}{2} EBGF$।

একইভাবে, $\triangle EHG = \frac{1}{2} AEGD$।

যোগ করে পাই, $\triangle EFG + \triangle EHG = \frac{1}{2} EBGF + \frac{1}{2} AEGD$

$\Rightarrow \text{Area}(EFGH) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(ABCD)$।

প্রমাণ:

$DE$ যুক্ত করে বর্ধিত করা হলো যা বর্ধিত $AB$ কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।

এখন $\triangle DEC$ এবং $\triangle FEB$ এর মধ্যে—

• $\angle DEC = \angle FEB$ (বিপ্রতীপ কোণ)
• $CE = BE$ ($E$, $BC$-এর মধ্যবিন্দু)
• $\angle DCE = \angle FBE$ (একান্তর কোণ, যেহেতু $DC \parallel AB$)

$\therefore \triangle DEC \cong \triangle FEB$ (A-S-A শর্তে)।

সুতরাং, $\triangle DEC$ এর ক্ষেত্রফল = $\triangle FEB$ এর ক্ষেত্রফল এবং $DE = EF$।

যেহেতু $DE = EF$, তাই $E$ হলো $DF$ এর মধ্যবিন্দু।

এখন $\triangle ADF$ এ, $AE$ হলো মধ্যমা (যেহেতু $E$ মধ্যবিন্দু)।

মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান দুটি ক্ষেত্রফলে ভাগ করে। $\therefore \triangle AED = \frac{1}{2} \triangle ADF \dots (1)$

আবার, $\triangle ADF = \text{চতুর্ভুজ } ABED + \triangle FEB$

$= \text{চতুর্ভুজ } ABED + \triangle DEC$ (যেহেতু $\triangle FEB = \triangle DEC$)

$= \text{ট্রাপিজিয়াম } ABCD$

সুতরাং, (1) নং থেকে পাই,