কষে দেখি 19 (Koshe Dekhi 19)

মধ্যবিন্দুর সূত্র: $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ এর মধ্যবিন্দু $= \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

সমাধান:

ধরি, (1, 3) বিন্দুটি (4, 6) এবং (3, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে $m : n$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

তাহলে বিভক্তকারী বিন্দুর ভুজ হবে: $\frac{m \times 3 + n \times 4}{m + n}$

শর্তানুসারে,

$\frac{3m + 4n}{m + n} = 1$

$\Rightarrow 3m + 4n = m + n$

$\Rightarrow 3m - m = n - 4n$

$\Rightarrow 2m = -3n$

$\Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{-3}{2}$

যেহেতু অনুপাত ঋণাত্মক এসেছে, এর অর্থ হলো বিন্দুটি সরলরেখাংশকে বহিঃস্থভাবে (externally) বিভক্ত করেছে।

সমাধান:

y-অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর ভুজ (x-স্থানাঙ্ক) সর্বদা 0 (শূন্য) হয়।

ধরি, y-অক্ষ (7, 3) এবং (-9, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখাংশকে $m : n$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করেছে।

$\therefore$ বিভক্তকারী বিন্দুর ভুজ $= \frac{m(-9) + n(7)}{m + n}$

শর্তানুসারে,

$\frac{-9m + 7n}{m + n} = 0$

$\Rightarrow -9m + 7n = 0$

$\Rightarrow 9m = 7n \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{7}{9}$

যেহেতু অনুপাতটি ধনাত্মক, তাই বিন্দুটি অন্তর্বিভক্ত করেছে।

প্রমাণ:

আমরা জানি, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হয়।

এখানে কর্ণদুটি হলো AC এবং BD।

AC কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{7 + 10}{2}, \frac{3 + 12}{2} \right) = \left( \frac{17}{2}, \frac{15}{2} \right)$

BD কর্ণের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{9 + 8}{2}, \frac{6 + 9}{2} \right) = \left( \frac{17}{2}, \frac{15}{2} \right)$

দেখা যাচ্ছে, AC এবং BD উভয় কর্ণের মধ্যবিন্দু একই অর্থাৎ $\left( \frac{17}{2}, \frac{15}{2} \right)$।

এর অর্থ হলো, কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে।

সমাধান:

ধরি, সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো A(3, 2), B(6, 3), C(x, y) এবং D(6, 5)।

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় (AC এবং BD) পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই তাদের মধ্যবিন্দু একই হবে।

AC কর্ণের মধ্যবিন্দু $= \left( \frac{3 + x}{2}, \frac{2 + y}{2} \right)$

BD কর্ণের মধ্যবিন্দু $= \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right) = \left( \frac{12}{2}, \frac{8}{2} \right) = (6, 4)$

শর্তানুসারে,

ভুজগুলির তুলনা করে পাই: $\frac{3 + x}{2} = 6 \Rightarrow 3 + x = 12 \Rightarrow x = 9$

কোটিগুলির তুলনা করে পাই: $\frac{2 + y}{2} = 4 \Rightarrow 2 + y = 8 \Rightarrow y = 6$

প্রমাণ:

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

প্রথম কর্ণটির (যার প্রান্তবিন্দু $(x_1, y_1)$ এবং $(x_3, y_3)$) মধ্যবিন্দু $= \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right)$

দ্বিতীয় কর্ণটির (যার প্রান্তবিন্দু $(x_2, y_2)$ এবং $(x_4, y_4)$) মধ্যবিন্দু $= \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} \right)$

যেহেতু কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু একই,

$\therefore \frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2} \Rightarrow x_1 + x_3 = x_2 + x_4$

এবং $\frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2} \Rightarrow y_1 + y_3 = y_2 + y_4$

সমাধান:

যেহেতু AD একটি মধ্যমা, তাই D বিন্দুটি BC বাহুর মধ্যবিন্দু হবে।

B(1, -1) এবং C(5, 1) এর মধ্যবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{0}{2} \right) = (3, 0)$

এখন, A(-1, 3) এবং D(3, 0) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব (অর্থাৎ AD এর দৈর্ঘ্য) নির্ণয় করি:

AD $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$= \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2}$

$= \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ একক।

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো A(2, -4), B(6, -2) এবং C(-4, 2)।

BC, CA এবং AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E এবং F হলে,

D এর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{6 + (-4)}{2}, \frac{-2 + 2}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{0}{2} \right) = (1, 0)$

E এর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{-4 + 2}{2}, \frac{2 + (-4)}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (-1, -1)$

F এর স্থানাঙ্ক $= \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{-4 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{-6}{2} \right) = (4, -3)$

এখন মধ্যমা তিনটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য: A(2, -4) এবং D(1, 0)
$AD = \sqrt{(1 - 2)^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$ একক।

BE মধ্যমার দৈর্ঘ্য: B(6, -2) এবং E(-1, -1)
$BE = \sqrt{(-1 - 6)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ একক।

CF মধ্যমার দৈর্ঘ্য: C(-4, 2) এবং F(4, -3)
$CF = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$ একক।

সমাধান:

ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$।

এবং AB, BC ও CA বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে (4, 3), (-2, 7) এবং (0, 11)।

মধ্যবিন্দুর সূত্র অনুযায়ী,

$\frac{x_1 + x_2}{2} = 4 \Rightarrow x_1 + x_2 = 8 \dots (1)$

$\frac{x_2 + x_3}{2} = -2 \Rightarrow x_2 + x_3 = -4 \dots (2)$

$\frac{x_3 + x_1}{2} = 0 \Rightarrow x_3 + x_1 = 0 \dots (3)$

(1), (2) ও (3) যোগ করে পাই:
$2(x_1 + x_2 + x_3) = 8 - 4 + 0 = 4 \Rightarrow x_1 + x_2 + x_3 = 2 \dots (4)$

(4) থেকে (2) বিয়োগ করলে: $x_1 = 2 - (-4) = 6$

(4) থেকে (3) বিয়োগ করলে: $x_2 = 2 - 0 = 2$

(4) থেকে (1) বিয়োগ করলে: $x_3 = 2 - 8 = -6$

একইভাবে y-স্থানাঙ্কের জন্য,

$\frac{y_1 + y_2}{2} = 3 \Rightarrow y_1 + y_2 = 6 \dots (5)$

$\frac{y_2 + y_3}{2} = 7 \Rightarrow y_2 + y_3 = 14 \dots (6)$

$\frac{y_3 + y_1}{2} = 11 \Rightarrow y_3 + y_1 = 22 \dots (7)$

যোগ করে পাই: $2(y_1 + y_2 + y_3) = 6 + 14 + 22 = 42 \Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 = 21 \dots (8)$

(8) থেকে (6) বিয়োগ করলে: $y_1 = 21 - 14 = 7$

(8) থেকে (7) বিয়োগ করলে: $y_2 = 21 - 22 = -1$

(8) থেকে (5) বিয়োগ করলে: $y_3 = 21 - 6 = 15$