কষে দেখি 13 (Koshe Dekhi 13)

যেকোনো একটি পদ্ধতি (একান্তর কোণ পদ্ধতি):

1. প্রথমে স্কেলের সাহায্যে 5 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখাংশ PQ আঁকলাম।
2. PQ এর বাইরে যেকোনো একটি বিন্দু A নিলাম।
3. PQ এর উপর যেকোনো একটি বিন্দু B নিলাম এবং A, B যুক্ত করলাম।
4. পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে B বিন্দুতে $\angle ABQ$ এর সমান মাপে A বিন্দুতে একটি একান্তর কোণ $\angle BAR$ অঙ্কন করলাম।
5. R, A যুক্ত করে উভয়দিকে বর্ধিত করে RS সরলরেখা পেলাম।
সুতরাং, RS হলো নির্ণেয় সরলরেখা যা PQ এর সমান্তরাল এবং A বিন্দুগামী।

(অন্য দুটি পদ্ধতি হলো: ১. অনুরূপ কোণ অঙ্কন করে এবং ২. রম্বস বা সামান্তরিক অঙ্কন করে সমান্তরাল রেখা টানা।)

অঙ্কন প্রণালী:

1. প্রথমে স্কেল ও পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে 5 সেমি, 8 সেমি এবং 11 সেমি বাহুবিশিষ্ট $\triangle ABC$ অঙ্কন করলাম, যার ভূমি $BC = 11$ সেমি, $AB = 5$ সেমি এবং $AC = 8$ সেমি।
2. BC বাহুকে পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে লম্বসমদ্বিখণ্ডিত করলাম যা BC-কে D বিন্দুতে ছেদ করল। $\therefore BD = DC = 5.5$ সেমি।
3. D বিন্দুতে পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে $60^\circ$ কোণ ($\angle CDE = 60^\circ$) অঙ্কন করলাম।
4. A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম, যা DE-কে E বিন্দুতে ছেদ করল।
5. E বিন্দুকে কেন্দ্র করে DC-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে সমান্তরাল রেখাংশ থেকে EF অংশ কেটে নিলাম এবং C, F যুক্ত করলাম।

CDEF হলো নির্ণেয় সামান্তরিক যার ক্ষেত্রফল $\triangle ABC$ এর সমান এবং $\angle CDE = 60^\circ$।

প্রমাণ:

A, D যুক্ত করি। $\triangle ABC$-এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু D। তাই AD হলো মধ্যমা।

আমরা জানি, মধ্যমা ত্রিভুজকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে। $\therefore \triangle ADC = \frac{1}{2} \triangle ABC$।

এখন, $\triangle ADC$ এবং সামান্তরিক CDEF উভয়েই একই ভূমি DC এবং একই সমান্তরাল সরলরেখা যুগল DC ও EF-এর মধ্যে অবস্থিত।

আমরা জানি, একই ভূমি ও সমান্তরালের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হয়।

$\therefore \text{সামান্তরিক CDEF} = 2 \times \triangle ADC = \triangle ABC$। (প্রমাণিত)

অঙ্কন পদ্ধতি (সংক্ষেপে):

1. প্রথমে 9 সেমি দৈর্ঘ্যের BC রেখাংশ আঁকলাম। B বিন্দুতে চাঁদার সাহায্যে $55^\circ$ কোণ এঁকে 6 সেমি দৈর্ঘ্যের AB অংশ কাটলাম। A, C যুক্ত করে $\triangle ABC$ পেলাম।
2. যেহেতু সামান্তরিকের একটি বাহু AC বাহুর অর্ধেক হবে, তাই এখানে AC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে হবে (D বিন্দুতে)।
3. D বিন্দুতে $60^\circ$ কোণ আঁকলাম।
4. B বিন্দু দিয়ে AC-এর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম, যা $60^\circ$ কোণের রেখাকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
5. E থেকে DC-এর সমান করে EF কাটলাম এবং C, F যুক্ত করলাম। CDEF হবে নির্ণেয় সামান্তরিক।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে 8 সেমি দৈর্ঘ্যের QR রেখাংশ আঁকলাম। Q বিন্দুতে চাঁদা বা কম্পাস দিয়ে $30^\circ$ এবং R বিন্দুতে $75^\circ$ কোণ আঁকলাম। কোণ দুটির বাহু পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করল। $\triangle PQR$ গঠিত হলো।
2. QR বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করলাম, যা QR-কে D বিন্দুতে ছেদ করল।
3. যেহেতু আয়তক্ষেত্র আঁকতে হবে, তাই D বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ আঁকলাম।
4. P বিন্দু দিয়ে QR-এর সমান্তরাল একটি সরলরেখা টানলাম, যা $90^\circ$ লম্বকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
5. E থেকে DR-এর সমান করে EF অংশ কাটলাম এবং R, F যুক্ত করলাম।

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. কম্পাসের সাহায্যে 6.5 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ $\triangle ABC$ আঁকলাম।
2. ভূমি BC-কে লম্বসমদ্বিখণ্ডিত করলাম, মধ্যবিন্দু D পেলাম।
3. D বিন্দুতে পেন্সিল কম্পাসের সাহায্যে $90^\circ$ কোণ এঁকে তাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে $45^\circ$ কোণ আঁকলাম।
4. A বিন্দু দিয়ে BC-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা $45^\circ$ কোণের বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করল।
5. E বিন্দু থেকে DC-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে EF অংশ কেটে C, F যুক্ত করলাম।

(নির্দেশ অনুযায়ী শুধুমাত্র অঙ্কনের ধাপগুলো দেওয়া হলো, প্রমাণের প্রয়োজন নেই)

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ভূমি BC আঁকলাম। B ও C বিন্দু থেকে 8 সেমি ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি বৃত্তচাপ আঁকলাম যারা পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে। $\triangle ABC$ হলো উদ্দিষ্ট সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
2. প্রশ্নে বলা হয়েছে সামান্তরিকের একটি বাহু সমান বাহুর অর্ধেক হবে। তাই সমান বাহু AB (বা AC)-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে মধ্যবিন্দু D নির্ণয় করলাম।
3. সামান্তরিকের কোণ হবে ত্রিভুজের সমান কোণের সমান, অর্থাৎ $\angle B$ বা $\angle C$ এর সমান। D বিন্দুতে $\angle B$ এর সমান কোণ অঙ্কন করলাম।
4. C বিন্দু দিয়ে AB-এর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা কোণের বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
5. সামান্তরিকটি সম্পূর্ণ করলাম।

(নির্দেশ অনুযায়ী শুধুমাত্র অঙ্কনের ধাপগুলো দেওয়া হলো)

অঙ্কন পদ্ধতি:

1. প্রথমে একটি রশ্মি থেকে AB = 8 সেমি অংশ কেটে নিলাম। A বিন্দুতে চাঁদা বা কম্পাসের সাহায্যে $30^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
2. ওই কোণের অপর বাহু থেকে AC = 8 সেমি কেটে নিলাম। B, C যুক্ত করে $\triangle ABC$ পেলাম।
3. আয়তক্ষেত্র আঁকার জন্য যেকোনো একটি বাহুকে (যেমন AB-কে) সমদ্বিখণ্ডিত করে মধ্যবিন্দু D নির্ণয় করলাম।
4. D বিন্দুতে $90^\circ$ কোণ অঙ্কন করলাম।
5. C বিন্দু দিয়ে AB-এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করলাম, যা $90^\circ$ লম্বকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
6. E বিন্দু থেকে DB-এর সমান করে EF অংশ কেটে নিলাম এবং B, F যুক্ত করলাম।