কষে দেখি 16 (Koshe Dekhi 16)

সমাধান:

বৃত্তাকার তারের রিং-এর ব্যাসার্ধ ($r$) = 35 মিটার।

রিং তৈরি করতে যে পরিমাণ তার লাগবে, তা রিংটির পরিধির (Circumference) সমান।

বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$

$= 2 \times \frac{22}{7} \times 35$

$= 2 \times 22 \times 5 = 44 \times 5 = 220$ মিটার।

সমাধান:

চাকার ব্যাসার্ধ ($r$) = 0.35 মিটার।

চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
চাকার পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.35 = 2 \times 22 \times 0.05 = 2.2$ মিটার।

চাকাটি 1 মিনিটে 450 বার ঘোরে।
$\therefore$ 1 মিনিটে ট্রেনটি যায় $= 450 \times 2.2 = 990$ মিটার।

1 ঘণ্টা বা 60 মিনিটে ট্রেনটি যাবে $= 990 \times 60 = 59400$ মিটার।

মিটারকে কিলোমিটারে প্রকাশ করতে 1000 দিয়ে ভাগ করি:
গতিবেগ $= \frac{59400}{1000} = 59.4$ কিমি/ঘণ্টা।

সমাধান:

বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ ($r$) = 280 মিটার।

মাঠের পরিধি $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 280 = 2 \times 22 \times 40 = 1760$ মিটার।

চৈতালির হাঁটার গতিবেগ = 5.5 কিমি/ঘণ্টা = $5.5 \times 1000 = 5500$ মিটার/ঘণ্টা।
অর্থাৎ, সে 5500 মিটার যায় 60 মিনিটে।

$\therefore$ 1760 মিটার যেতে সময় লাগবে $= \frac{60}{5500} \times 1760$ মিনিট

$= \frac{6}{550} \times 1760 = \frac{6}{55} \times 176 = \frac{1056}{55} = 19.2$ মিনিট।

19.2 মিনিট = 19 মিনিট + ($0.2 \times 60$) সেকেন্ড = 19 মিনিট 12 সেকেন্ড।

সমাধান:

আয়তাকার তারের দৈর্ঘ্য = 18 সেমি এবং প্রস্থ = 15 সেমি।

তারটির মোট দৈর্ঘ্য = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2 \times (18 + 15) = 2 \times 33 = 66$ সেমি।

এই একই তার দিয়ে বৃত্ত তৈরি করা হয়েছে। তাই বৃত্তের পরিধি = 66 সেমি।

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
$\therefore 2\pi r = 66$
$\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 66$
$\Rightarrow \frac{44}{7} r = 66$
$\Rightarrow r = 66 \times \frac{7}{44} = 3 \times \frac{7}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$ সেমি।

সমাধান:

ধরি, অর্ধবৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।

অর্ধবৃত্তাকার মাঠের পরিসীমার সূত্র: $C = \pi r + 2r = r(\pi + 2)$

শর্তানুসারে,
$r(\pi + 2) = 108$
$\Rightarrow r\left(\frac{22}{7} + 2\right) = 108$
$\Rightarrow r\left(\frac{22 + 14}{7}\right) = 108$
$\Rightarrow r \times \frac{36}{7} = 108$
$\Rightarrow r = 108 \times \frac{7}{36} = 3 \times 7 = 21$ মিটার।

ব্যাসার্ধ 21 মিটার হলে, ব্যাস ($2r$) $= 2 \times 21 = 42$ মিটার।

সমাধান:

ধরি, চাকার ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি।
তাহলে, পরিধি $= 2\pi r$ এবং ব্যাস $= 2r$।

শর্তানুসারে, পরিধি ও ব্যাসের অন্তর 75 সেমি।
$2\pi r - 2r = 75$
$\Rightarrow 2r(\pi - 1) = 75$
$\Rightarrow 2r\left(\frac{22}{7} - 1\right) = 75$
$\Rightarrow 2r\left(\frac{15}{7}\right) = 75$
$\Rightarrow \frac{30r}{7} = 75$
$\Rightarrow r = \frac{75 \times 7}{30} = \frac{5 \times 7}{2} = \frac{35}{2} = 17.5$ সেমি।

সমাধান:

বৃত্তাকার ট্র্যাকের ব্যাস = 28 মিটার $\Rightarrow$ ব্যাসার্ধ ($r$) = 14 মিটার।

ট্র্যাকের পরিধি (এক পাকের দৈর্ঘ্য) $= 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 88$ মিটার।

পূজা 4 পাক ঘুরে প্রতিযোগিতা শেষ করে।
$\therefore$ প্রতিযোগিতার মোট দূরত্ব $= 4 \times 88 = 352$ মিটার।

পূজা যখন প্রতিযোগিতা শেষ করে, জাকির তখন 1 পাক পিছনে থাকে।
অর্থাৎ, পূজা জাকিরকে 1 পাকের দূরত্বে পরাজিত করেছে।
1 পাকের দূরত্ব = 88 মিটার।

সমাধান:

ধরি, পাতকুয়োর ভিতরের ব্যাসার্ধ = $r$ সেমি এবং বেদসমেত (পাড়সহ) বাইরের ব্যাসার্ধ = $R$ সেমি।

ভিতরের পরিধি = 440 সেমি।
$\therefore 2\pi r = 440 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 440 \Rightarrow \frac{44}{7} r = 440 \Rightarrow r = 440 \times \frac{7}{44} = 70$ সেমি।

বাইরের পরিধি = 616 সেমি।
$\therefore 2\pi R = 616 \Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times R = 616 \Rightarrow \frac{44}{7} R = 616 \Rightarrow R = 616 \times \frac{7}{44} = 14 \times 7 = 98$ সেমি।

পাথরের পাড়ের চওড়া $= \text{বাইরের ব্যাসার্ধ} - \text{ভিতরের ব্যাসার্ধ} = R - r$
$= 98 - 70 = 28$ সেমি।

সমাধান:

মোটরের চাকার ব্যাস = 14 সেমি।
$\therefore$ মোটরের চাকার পরিধি $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 14 = 44$ সেমি।

মোটরের চাকা 1 সেকেন্ডে ঘোরে 27 বার।
$\therefore$ 1 সেকেন্ডে বেল্টটি অতিক্রম করে $= 44 \times 27$ সেমি।

মেশিনের চাকার ব্যাস = 94.5 সেমি।
$\therefore$ মেশিনের চাকার পরিধি $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 94.5 = 22 \times 13.5 = 297$ সেমি।

মেশিনের চাকাটি 1 বার ঘুরতে 297 সেমি পথ নেয়।
$\therefore$ 1 সেকেন্ডে মেশিনের চাকা ঘোরে $= \frac{44 \times 27}{297} = \frac{1188}{297} = 4$ বার।

1 ঘণ্টায় (অর্থাৎ 3600 সেকেন্ডে) মেশিনের চাকা ঘুরবে $= 4 \times 3600 = 14400$ বার।

সমাধান:

আমরা জানি, 1 দিন = 24 ঘণ্টা।
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় ঘড়ির ডায়ালটি একবার সম্পূর্ণ ঘোরে। তাই 24 ঘণ্টায় এটি 2 বার ঘুরবে।
মিনিটের কাঁটা 1 ঘণ্টায় একবার সম্পূর্ণ ঘোরে। তাই 24 ঘণ্টায় এটি 24 বার ঘুরবে।

ঘণ্টার কাঁটার ক্ষেত্রে:
ব্যাসার্ধ ($r_1$) = 8.4 সেমি। একবার ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 2\pi r_1 = 2 \times \frac{22}{7} \times 8.4 = 44 \times 1.2 = 52.8$ সেমি।
একদিনে (2 বার ঘুরে) অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 2 \times 52.8 = 105.6$ সেমি।

মিনিটের কাঁটার ক্ষেত্রে:
ব্যাসার্ধ ($r_2$) = 14 সেমি। একবার ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 2\pi r_2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 88$ সেমি।
একদিনে (24 বার ঘুরে) অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 24 \times 88 = 2112$ সেমি।

সমাধান:

রহিমের গতিবেগ = 90 মিটার/মিনিট = $\frac{90}{60} = 1.5$ মিটার/সেকেন্ড।

ধরি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
মাঠের পরিধি (পুরোটা ঘুরতে অতিক্রান্ত দূরত্ব) = $2\pi r$ মিটার।
মাঠের ব্যাস (একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে সোজা দূরত্ব) = $2r$ মিটার।

দূরত্বের পার্থক্য $= 2\pi r - 2r = 2r(\pi - 1)$ মিটার।

শর্তানুসারে, এই দূরত্বের পার্থক্য অতিক্রম করতে তার 40 সেকেন্ড সময় লাগে।
$\therefore$ দূরত্বের পার্থক্য $= \text{গতিবেগ} \times \text{সময়} = 1.5 \times 40 = 60$ মিটার।

সমীকরণ গঠন করে পাই:
$2r(\pi - 1) = 60$
$\Rightarrow 2r \left(\frac{22}{7} - 1\right) = 60$
$\Rightarrow 2r \left(\frac{15}{7}\right) = 60$
$\Rightarrow \frac{30r}{7} = 60$
$\Rightarrow r = \frac{60 \times 7}{30} = 14$ মিটার।

মাঠের ব্যাস $= 2r = 2 \times 14 = 28$ মিটার।

সমাধান:

ধরি, বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1$ এবং $r_2$ ($r_2 > r_1$)।
তাদের পরিধির অনুপাত $\frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$

ধরি, $r_1 = 2x$ এবং $r_2 = 3x$।

শর্তানুসারে, ব্যাসার্ধের অন্তর 2 সেমি।
$3x - 2x = 2 \Rightarrow x = 2$।

প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_1 = 2 \times 2 = 4$ সেমি। ব্যাস $= 4 \times 2 = 8$ সেমি।
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2 = 3 \times 2 = 6$ সেমি। ব্যাস $= 6 \times 2 = 12$ সেমি।

সমাধান:

বর্গাকার পাতের ক্ষেত্রফল = 196 বর্গ সেমি।
$\therefore$ বর্গাকার পাতের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{196} = 14$ সেমি।

একটি বর্গক্ষেত্র থেকে 4টি সর্ববৃহৎ বৃত্তাকার পাত কাটতে হলে, বৃত্তগুলিকে 2 $\times$ 2 গ্রিডে সাজাতে হবে।
এর ফলে 2টি বৃত্তের ব্যাস মিলে বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর সমান হবে।

$\therefore 2 \times \text{বৃত্তের ব্যাস} = 14$
$\Rightarrow \text{বৃত্তের ব্যাস} = \frac{14}{2} = 7$ সেমি।

বৃত্তের পরিধি $= \pi \times \text{ব্যাস} = \frac{22}{7} \times 7 = 22$ সেমি।

সমাধান:

নাসিফার গতিবেগ = 80 মিটার/মিনিট = $\frac{80}{60} = \frac{4}{3}$ মিটার/সেকেন্ড।

ধরি, মাঠের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
বৃত্ত বরাবর একপ্রান্ত থেকে অপরপ্রান্তে যাওয়া মানে অর্ধবৃত্তের পরিধি ($\pi r$) অতিক্রম করা।
ব্যাস বরাবর অতিক্রম করা মানে $2r$ দূরত্ব অতিক্রম করা।

দূরত্বের পার্থক্য $= \pi r - 2r = r(\pi - 2)$ মিটার।

এই দূরত্বের পার্থক্য অতিক্রম করতে তার 45 সেকেন্ড সময় লাগে।
$\therefore$ দূরত্বের পার্থক্য $= \text{গতিবেগ} \times \text{সময়} = \frac{4}{3} \times 45 = 4 \times 15 = 60$ মিটার।

শর্তানুসারে,
$r(\pi - 2) = 60$
$\Rightarrow r\left(\frac{22}{7} - 2\right) = 60$
$\Rightarrow r\left(\frac{22 - 14}{7}\right) = 60$
$\Rightarrow r \times \frac{8}{7} = 60$
$\Rightarrow r = \frac{60 \times 7}{8} = 7.5 \times 7 = 52.5$ মিটার।

মাঠটির ব্যাস $= 2r = 2 \times 52.5 = 105$ মিটার।

সমাধান:

রাস্তাটি চওড়া = 7 মি 5 ডেসিমি = 7.5 মিটার।

ধরি, ভিতরের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার।
তাহলে বাইরের ব্যাসার্ধ $R = (r + 7.5)$ মিটার।

যেহেতু গতিবেগ স্থির, তাই অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের সমানুপাতিক।
$\frac{\text{বাইরের পরিধি}}{\text{ভিতরের পরিধি}} = \frac{\text{বাইরের সময়}}{\text{ভিতরের সময়}}$

$\Rightarrow \frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{46}{44}$

$\Rightarrow \frac{r + 7.5}{r} = \frac{23}{22}$

$\Rightarrow 23r = 22(r + 7.5)$

$\Rightarrow 23r = 22r + 165$

$\Rightarrow 23r - 22r = 165 \Rightarrow r = 165$ মিটার।

ভিতরের ব্যাস $= 2r = 2 \times 165 = 330$ মিটার।

সমাধান:

পথটি চওড়া = 5 মিটার।
ধরি, ভিতরের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার। তাহলে বাইরের ব্যাসার্ধ = $(r + 5)$ মিটার।

পূর্বের অঙ্কের মতোই, দূরত্বের অনুপাত সময়ের অনুপাতের সমান।
$\frac{\text{বাইরের ব্যাসার্ধ}}{\text{ভিতরের ব্যাসার্ধ}} = \frac{20}{19}$

$\Rightarrow \frac{r + 5}{r} = \frac{20}{19}$

$\Rightarrow 20r = 19(r + 5)$

$\Rightarrow 20r = 19r + 95$

$\Rightarrow r = 95$ মিটার।

ভিতরের বৃত্তের ব্যাস $= 2r = 2 \times 95 = 190$ মিটার।