পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদের নবম শ্রেণির গণিত প্রকাশ বইয়ের অধ্যায় ৪ (স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়) এর 'কষে দেখি ৪' এর সম্পূর্ণ সমাধান।
সূত্র: মূলবিন্দু $(0, 0)$ থেকে কোনো বিন্দু $(x, y)$-এর দূরত্ব $= \sqrt{x^2 + y^2}$ একক।
দূরত্ব $= \sqrt{7^2 + (-24)^2}$
$= \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = $ 25 একক।
দূরত্ব $= \sqrt{3^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = $ 5 একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(a + b)^2 + (a - b)^2}$
আমরা জানি, $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$
$= $ $\sqrt{2(a^2 + b^2)}$ একক।
সূত্র: $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(5 - 8)^2 + (7 - 3)^2}$
$= \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25} = $ 5 একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(7 - 2)^2 + (0 - (-12))^2}$
$= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144}$
$= \sqrt{169} = $ 13 একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(-\frac{3}{2} - 0)^2 + (0 - (-2))^2}$
$= \sqrt{\frac{9}{4} + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4}$
$= \sqrt{\frac{9 + 16}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = $ $\frac{5}{2}$ একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(3 - (-2))^2 + (6 - (-6))^2}$
$= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144}$
$= \sqrt{169} = $ 13 একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(1 - 8)^2 + (-3 - 3)^2}$
$= \sqrt{(-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 36}$
$= $ $\sqrt{85}$ একক।
দূরত্ব $= \sqrt{(5 - 8)^2 + (7 - 3)^2}$
$= \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25} = $ 5 একক।
ধরি, $P(-2, -11)$, $A(-3, 7)$ এবং $B(4, 6)$ তিনটি বিন্দু।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, P বিন্দু থেকে A বিন্দুর দূরত্ব এবং P বিন্দু থেকে B বিন্দুর দূরত্ব সমান (অর্থাৎ $PA = PB$)।
$PA^2 = (-2 - (-3))^2 + (-11 - 7)^2$
$= (-2 + 3)^2 + (-18)^2$
$= 1^2 + 324 = 325$
$\therefore PA = \sqrt{325}$ একক।
$PB^2 = (-2 - 4)^2 + (-11 - 6)^2$
$= (-6)^2 + (-17)^2$
$= 36 + 289 = 325$
$\therefore PB = \sqrt{325}$ একক।
যেহেতু $PA = PB = \sqrt{325}$ একক, তাই প্রমাণিত হলো যে $(-2, -11)$ বিন্দুটি $(-3, 7)$ ও $(4, 6)$ বিন্দুদ্বয় থেকে সমদূরবর্তী।
ধরি, ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু হলো $A(7, 9)$, $B(3, -7)$ এবং $C(-3, 3)$।
প্রথমে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গ নির্ণয় করি:
এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, $BC^2 + AC^2 = 136 + 136 = 272$
এবং $AB^2 = 272$
$\therefore \mathbf{BC^2 + AC^2 = AB^2}$
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর (অতিভুজ) বর্গের সমান, তাই পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
নিয়ম: কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হলে তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।
$AB^2 = (1 - 4)^2 + (4 - 1)^2 = (-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$ $\Rightarrow AB = \sqrt{18}$ একক।
$BC^2 = (4 - 8)^2 + (1 - 8)^2 = (-4)^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65$ $\Rightarrow BC = \sqrt{65}$ একক।
$AC^2 = (1 - 8)^2 + (4 - 8)^2 = (-7)^2 + (-4)^2 = 49 + 16 = 65$ $\Rightarrow AC = \sqrt{65}$ একক।
যেহেতু $BC = AC = \sqrt{65}$ একক, তাই বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। (প্রমাণিত)
$PQ^2 = (-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2 = (-4)^2 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$ $\Rightarrow PQ = \sqrt{32}$ একক।
$QR^2 = (2 - 4)^2 + (2 - (-4))^2 = (-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40$ $\Rightarrow QR = \sqrt{40}$ একক।
$PR^2 = (-2 - 4)^2 + (-2 - (-4))^2 = (-6)^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40$ $\Rightarrow PR = \sqrt{40}$ একক।
যেহেতু $QR = PR = \sqrt{40}$ একক, তাই বিন্দু তিনটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু। (প্রমাণিত)
প্রথমে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গ নির্ণয় করি:
সমদ্বিবাহু প্রমাণ:
যেহেতু $AB^2 = AC^2 = 50$, তাই $AB = AC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ একক।
দুটি বাহু সমান হওয়ায় এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সমকোণী প্রমাণ:
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, $AB^2 + AC^2 = 50 + 50 = 100$
এবং $BC^2 = 100$
$\therefore AB^2 + AC^2 = BC^2$
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার $\angle A = 90^\circ$।
অতিভুজের দৈর্ঘ্য:
যেহেতু $\angle A$ সমকোণ, তাই অতিভুজ হলো $BC$।
$\therefore BC = \sqrt{100} = \mathbf{10}$ একক।
ধরি, $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(-1, 2)$ এবং $D(1, 3)$ একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।
একটি চতুর্ভুজকে বর্গক্ষেত্র হতে হলে তার ৪টি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হতে হবে এবং দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্যও পরস্পর সমান হতে হবে।
চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য:
$\therefore AB = BC = CD = DA = \sqrt{5}$ একক। (৪টি বাহু সমান)
দুটি কর্ণের দৈর্ঘ্য:
$\therefore AC = BD = \sqrt{10}$ একক। (দুটি কর্ণ সমান)
যেহেতু চতুর্ভুজটির চারটি বাহু সমান এবং কর্ণ দুটিও সমান, তাই এটি একটি বর্গক্ষেত্র।
প্রশ্নানুসারে, $(2, y)$ এবং $(10, -9)$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = 10 একক।
দূরত্বের সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
$\sqrt{(2 - 10)^2 + (y - (-9))^2} = 10$
উভয় দিকে বর্গ করে পাই:
$(-8)^2 + (y + 9)^2 = 100$
$\Rightarrow 64 + (y + 9)^2 = 100$
$\Rightarrow (y + 9)^2 = 100 - 64$
$\Rightarrow (y + 9)^2 = 36$
$\Rightarrow y + 9 = \pm \sqrt{36}$
$\Rightarrow y + 9 = \pm 6$
এখন দুটি মান পাওয়া যাবে:
হয়, $y + 9 = 6 \Rightarrow y = 6 - 9 = \mathbf{-3}$
অথবা, $y + 9 = -6 \Rightarrow y = -6 - 9 = \mathbf{-15}$
ধরি, x-অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি হলো $P(x, 0)$।
শর্তানুসারে, $P(x, 0)$ বিন্দুটি $A(3, 5)$ এবং $B(1, 3)$ বিন্দু দুটি থেকে সমদূরবর্তী।
$\therefore PA = PB \Rightarrow PA^2 = PB^2$
মান বসিয়ে পাই:
$(x - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (x - 1)^2 + (0 - 3)^2$
$\Rightarrow (x^2 - 6x + 9) + 25 = (x^2 - 2x + 1) + 9$
উভয় দিক থেকে $x^2$ বাদ দিয়ে পাই:
$\Rightarrow -6x + 34 = -2x + 10$
$\Rightarrow 34 - 10 = -2x + 6x$
$\Rightarrow 24 = 4x$
$\Rightarrow x = \frac{24}{4} = 6$
তিনটি বিন্দু সমরেখ (Collinear) হবে যদি দুটি ছোট দূরত্বের যোগফল সবচেয়ে বড় দূরত্বের সমান হয়।
প্রথমে তিনটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি:
এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, $OA + AB = 5 + 5 = \mathbf{10}$ একক
এবং $OB = \mathbf{10}$ একক
যেহেতু, $OA + AB = OB$, অর্থাৎ দুটি সরলরেখাংশের যোগফল সম্পূর্ণ রেখাংশের সমান, তাই বিন্দু তিনটি একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত।
ধরি, $A(2, 2)$, $B(-2, -2)$ এবং $C(-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হবে ($AB = BC = CA$)।
$AB^2$: $(2 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2$
$= 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = \mathbf{32}$
$BC^2$: $(-2 - (-2\sqrt{3}))^2 + (-2 - 2\sqrt{3})^2$
$= (-2 + 2\sqrt{3})^2 + (-2 - 2\sqrt{3})^2$
আমরা জানি, $(a - b)^2 + (a + b)^2 = 2(a^2 + b^2)$
$= 2 \times ((-2)^2 + (2\sqrt{3})^2)$
$= 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = \mathbf{32}$
$CA^2$: $(2 - (-2\sqrt{3}))^2 + (2 - 2\sqrt{3})^2$
$= (2 + 2\sqrt{3})^2 + (2 - 2\sqrt{3})^2$
একই সূত্র ব্যবহার করে, $= 2 \times (2^2 + (2\sqrt{3})^2)$
$= 2 \times (4 + 12) = 2 \times 16 = \mathbf{32}$
যেহেতু $AB^2 = BC^2 = CA^2 = 32$, তাই $AB = BC = CA = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ একক।
তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হওয়ায় বিন্দু তিনটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
ধরি, $A(-7, 12)$, $B(19, 18)$, $C(15, -6)$ এবং $D(-11, -12)$।
সামান্তরিক প্রমাণ করার জন্য আমরা দেখাবো যে এর বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সমান কিন্তু কর্ণগুলির দৈর্ঘ্য অসমান।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য (বর্গ):
$\therefore AB = CD$ এবং $BC = DA$ (বিপরীত বাহু সমান)।
কর্ণগুলির দৈর্ঘ্য (বর্গ):
$\therefore AC \neq BD$ (কর্ণগুলি অসমান)।
যেহেতু চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলি সমান কিন্তু কর্ণগুলি অসমান, তাই এটি একটি সামান্তরিক।
ধরি, $A(2, -2)$, $B(8, 4)$, $C(5, 7)$ এবং $D(-1, 1)$।
আয়তক্ষেত্র প্রমাণের শর্ত: বিপরীত বাহু সমান হবে এবং কর্ণ দুটি সমান হবে।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য (বর্গ):
$\therefore AB = CD$ এবং $BC = DA$ (বিপরীত বাহু সমান)।
কর্ণগুলির দৈর্ঘ্য (বর্গ):
$\therefore AC = BD$ (কর্ণগুলি সমান)।
যেহেতু চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলি সমান এবং কর্ণগুলি সমান, তাই এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
ধরি, $A(2, 5)$, $B(5, 9)$, $C(9, 12)$ এবং $D(6, 8)$।
রম্বস প্রমাণের শর্ত: ৪টি বাহু সমান হবে কিন্তু কর্ণ দুটি অসমান হবে।
বাহুগুলির দৈর্ঘ্য (বর্গ):
$\therefore AB = BC = CD = DA = 5$ একক (৪টি বাহু সমান)।
কর্ণগুলির দৈর্ঘ্য (বর্গ):
$\therefore AC \neq BD$ (কর্ণগুলি অসমান)।
যেহেতু চতুর্ভুজটির ৪টি বাহু সমান কিন্তু কর্ণগুলি অসমান, তাই এটি একটি রম্বস।
দূরত্ব $= \sqrt{(a + b - (a - b))^2 + (c - d - (c + d))^2}$
$= \sqrt{(2b)^2 + (-2d)^2} = \sqrt{4b^2 + 4d^2}$
$= \sqrt{4(b^2 + d^2)} = 2\sqrt{b^2 + d^2}$
সঠিক উত্তর: (b) $2\sqrt{b^2 + d^2}$
$\sqrt{(x - 3)^2 + (-7 - (-3))^2} = 5$
$\Rightarrow (x - 3)^2 + (-4)^2 = 25$
$\Rightarrow (x - 3)^2 + 16 = 25 \Rightarrow (x - 3)^2 = 9$
$\Rightarrow x - 3 = \pm 3 \Rightarrow x = 3 \pm 3 \Rightarrow x = 6$ অথবা $0$
সঠিক উত্তর: (a) 0 অথবা 6
$\sqrt{x^2 + 4^2} = 5 \Rightarrow x^2 + 16 = 25$
$\Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
সঠিক উত্তর: (c) $\pm 3$
ধরি, $A(3, 0), B(-3, 0), C(0, 3)$।
$AB^2 = 36 \Rightarrow AB = 6$
$BC^2 = 9 + 9 = 18 \Rightarrow BC = \sqrt{18}$
$CA^2 = 9 + 9 = 18 \Rightarrow CA = \sqrt{18}$
যেহেতু $BC = CA$ এবং $BC^2 + CA^2 = 18 + 18 = 36 = AB^2$, তাই এটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
সঠিক উত্তর: (d) সমকোণী সমদ্বিবাহু
ব্যাসার্ধ = কেন্দ্র থেকে বিন্দুর দূরত্ব = $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ একক।
সঠিক উত্তর: (a) 5 একক
$\sqrt{(-4)^2 + y^2} = 5$
$\Rightarrow 16 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3$
ধরি, y-অক্ষের উপরের বিন্দুটি $P(0, y)$।
শর্তানুসারে, $\sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (y - 2)^2}$
উভয় দিকে বর্গ করে: $4 + (y^2 - 6y + 9) = 1 + (y^2 - 4y + 4)$
$\Rightarrow -6y + 13 = -4y + 5 \Rightarrow -2y = -8 \Rightarrow y = 4$
অক্ষদ্বয় মূলবিন্দুতে $(0,0)$ সমকোণ উৎপন্ন করে। সমদ্বিবাহু হতে হলে মূলবিন্দু থেকে x-অক্ষের বিন্দুটির দূরত্ব এবং y-অক্ষের বিন্দুটির দূরত্ব সমান হতে হবে।
যেমন: $x = 5$ এবং $y = 5$ ধরলে বিন্দু দুটি হবে $(5, 0)$ এবং $(0, 5)$।
x-অক্ষ থেকে সমান দূরত্বে থাকার অর্থ হলো বিন্দু দুটির y-স্থানাঙ্কের মান (পরম মান) সমান হবে, শুধু চিহ্ন আলাদা হবে।
y-অক্ষ থেকে সমান দূরত্বে থাকার অর্থ হলো বিন্দু দুটির x-স্থানাঙ্কের মান (পরম মান) সমান হবে, শুধু চিহ্ন আলাদা হবে।
উপরে Class 9 Math Chapter 4 Koshe Dekhi 4 এর সমস্ত প্রশ্নের ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হয়েছে। এই অনুশীলনীর মূল উদ্দেশ্য হলো স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (Distance Formula) নির্ণয় করা এবং সেই দূরত্বের সূত্র প্রয়োগ করে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকার (যেমন: সমকোণী ত্রিভুজ, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, রম্বস ইত্যাদি) প্রমাণ করা। প্রমাণগুলিকে সহজে বোঝার জন্য গুরুত্বপূর্ণ জায়গাগুলিতে ইন্টারেক্টিভ গ্রাফ (Graph Paper) যুক্ত করে দেওয়া হয়েছে।
