কষে দেখি 21 (Koshe Dekhi 21)

$= \log_4 (64)^{-1}$

$= \log_4 (4^3)^{-1}$

$= \log_4 (4^{-3})$

$= -3 \log_4 4$

$= -3 \times 1 = -3$

$= \log_{0.01} (0.01)^3$

$= 3 \log_{0.01} (0.01)$

$= 3 \times 1 = 3$

$= \log_{\sqrt{6}} (6^3)$

$= \log_{\sqrt{6}} \left((\sqrt{6})^2\right)^3$

$= \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})^6$

$= 6 \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})$

$= 6 \times 1 = 6$

প্রথমে 1728 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: $1728 = 2^6 \times 3^3 = 2^6 \times (\sqrt{3})^6 = (2\sqrt{3})^6$

$\therefore \log_{2\sqrt{3}} (1728) = \log_{2\sqrt{3}} (2\sqrt{3})^6$

$= 6 \log_{2\sqrt{3}} (2\sqrt{3})$

$= 6 \times 1 = 6$

$= \log_2 [\log_2 \{\log_3 (\log_3 (3^3)^3)\}]$

$= \log_2 [\log_2 \{\log_3 (\log_3 3^9)\}]$

$= \log_2 [\log_2 \{\log_3 (9 \log_3 3)\}]$

$= \log_2 [\log_2 \{\log_3 9\}]$ [যেহেতু $\log_3 3 = 1$]

$= \log_2 [\log_2 \{\log_3 3^2\}]$

$= \log_2 [\log_2 \{2 \log_3 3\}]$

$= \log_2 [\log_2 2]$

$= \log_2 1$

$= 0$ [যেহেতু $\log_a 1 = 0$]

$= \frac{\log (3^3)^{\frac{1}{2}} + \log 2^3 - \log (10^3)^{\frac{1}{2}}}{\log (\frac{12}{10})}$

$= \frac{\log 3^{\frac{3}{2}} + \log 2^3 - \log 10^{\frac{3}{2}}}{\log 12 - \log 10}$

$= \frac{\frac{3}{2} \log 3 + 3 \log 2 - \frac{3}{2} \log 10}{\log (3 \times 2^2) - \log 10}$

লব থেকে $\frac{3}{2}$ কমন নিই:

$= \frac{\frac{3}{2} (\log 3 + 2 \log 2 - \log 10)}{\log 3 + \log 2^2 - \log 10}$

$= \frac{\frac{3}{2} (\log 3 + 2 \log 2 - \log 10)}{\log 3 + 2 \log 2 - \log 10}$

লব ও হরের বন্ধনীর অংশ সমান হওয়ায় কেটে যাবে,

$= \frac{3}{2}$

আমরা জানি, $\log_a b \times \log_b c = \log_a c$

$= (\log_3 4 \times \log_4 5) \times \log_5 6 \times \log_6 7 \times \log_7 3$

$= \log_3 5 \times \log_5 6 \times \log_6 7 \times \log_7 3$

$= (\log_3 5 \times \log_5 6) \times \log_6 7 \times \log_7 3$

$= \log_3 6 \times \log_6 7 \times \log_7 3$

$= \log_3 7 \times \log_7 3$

$= \log_3 3$

$= 1$

$= \log_{10} \frac{384}{5} + \log_{10} \frac{81}{32} + \log_{10} \left(\frac{5}{3}\right)^3 + \log_{10} \frac{1}{9}$

$= \log_{10} \left( \frac{384}{5} \times \frac{81}{32} \times \frac{125}{27} \times \frac{1}{9} \right)$

$= \log_{10} \left( \frac{384 \times 81 \times 125}{5 \times 32 \times 27 \times 9} \right)$

কাটাকুটি করে পাই: $5$ দিয়ে $125$ কাটলে $25$। $27 \times 9 = 243$। $81$ দিয়ে $243$ কাটলে ৩। $32 \times 3 = 96$। $384 \div 96 = 4$।

$\therefore$ বন্ধনীর ভেতরের মান $= 4 \times 25 = 100$

$= \log_{10} 100$

$= \log_{10} 10^2$

$= 2 \log_{10} 10$

$= 2 \times 1 = 2$

LHS $= \log \frac{75}{16} - \log \left(\frac{5}{9}\right)^2 + \log \frac{32}{243}$

$= \log \frac{75}{16} - \log \frac{25}{81} + \log \frac{32}{243}$

$= \log \left( \frac{75}{16} \div \frac{25}{81} \times \frac{32}{243} \right)$

$= \log \left( \frac{75}{16} \times \frac{81}{25} \times \frac{32}{243} \right)$

কাটাকুটি করে পাই:

$\frac{75}{25} = 3$

$\frac{32}{16} = 2$

$\frac{81}{243} = \frac{1}{3}$

$\therefore$ মান $= 3 \times 2 \times \frac{1}{3} = 2$

$= \log 2 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= \log_{10} 15 (\log_{15} 15 + \log_{15} 30) + \log_{10} 16^{\frac{1}{2}} (\log_4 4 + \log_4 7) - \log_{10} 6 (\log_6 3 + \log_6 6 + \log_6 7)$

$= \log_{10} 15 (\log_{15} (15 \times 30)) + \log_{10} 4 (\log_4 (4 \times 7)) - \log_{10} 6 (\log_6 (3 \times 6 \times 7))$

$= \log_{10} 15 \times \log_{15} 450 + \log_{10} 4 \times \log_4 28 - \log_{10} 6 \times \log_6 126$

সূত্র $\log_a b \times \log_b c = \log_a c$ প্রয়োগ করে পাই:

$= \log_{10} 450 + \log_{10} 28 - \log_{10} 126$

$= \log_{10} \left( \frac{450 \times 28}{126} \right)$

$= \log_{10} \left( \frac{450 \times 4}{18} \right) = \log_{10} (25 \times 4) = \log_{10} 100$

$= \log_{10} 10^2 = 2 \log_{10} 10$

$= 2 \times 1 = 2 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= \log_2 \log_2 \log_4 (4^4) + 2\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^2$

$= \log_2 \log_2 (4 \log_4 4) + 2 \times 2 \log_{\sqrt{2}} \sqrt{2}$

$= \log_2 \log_2 (4 \times 1) + 4 \times 1$

$= \log_2 \log_2 (2^2) + 4$

$= \log_2 (2 \log_2 2) + 4$

$= \log_2 (2 \times 1) + 4$

$= \log_2 2 + 4$

$= 1 + 4$

$= 5 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= \frac{1}{\log_x x^2} \times \frac{1}{\log_y y^2} \times \frac{1}{\log_z z^2}$

$= \frac{1}{2\log_x x} \times \frac{1}{2\log_y y} \times \frac{1}{2\log_z z}$

$= \frac{1}{2 \times 1} \times \frac{1}{2 \times 1} \times \frac{1}{2 \times 1}$

$= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{8} =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= \frac{\log a}{\log b^3} \times \frac{\log b}{\log c^3} \times \frac{\log c}{\log a^3}$ (নিধান পরিবর্তন সূত্র)

$= \frac{\log a}{3 \log b} \times \frac{\log b}{3 \log c} \times \frac{\log c}{3 \log a}$

$= \frac{1}{3 \times 3 \times 3} \times \left( \frac{\log a}{\log b} \times \frac{\log b}{\log c} \times \frac{\log c}{\log a} \right)$

সব লব ও হর কেটে যায়,

$= \frac{1}{27} \times 1 = \frac{1}{27} =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= \log_{xyz} (xy) + \log_{xyz} (yz) + \log_{xyz} (zx)$

$= \log_{xyz} (xy \times yz \times zx)$

$= \log_{xyz} (x^2 y^2 z^2)$

$= \log_{xyz} (xyz)^2$

$= 2 \log_{xyz} (xyz)$

$= 2 \times 1 = 2 =$ RHS (প্রমাণিত)

LHS $= \log \left( \frac{a^2}{bc} \times \frac{b^2}{ca} \times \frac{c^2}{ab} \right)$

$= \log \left( \frac{a^2 b^2 c^2}{a^2 b^2 c^2} \right)$

$= \log 1$

$= 0 =$ RHS (প্রমাণিত)

ধরি, $P = x^{\log y - \log z} \cdot y^{\log z - \log x} \cdot z^{\log x - \log y}$

উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে পাই:

$\log P = \log(x^{\log y - \log z}) + \log(y^{\log z - \log x}) + \log(z^{\log x - \log y})$

$\Rightarrow \log P = (\log y - \log z)\log x + (\log z - \log x)\log y + (\log x - \log y)\log z$

$\Rightarrow \log P = \log x\log y - \log x\log z + \log y\log z - \log x\log y + \log x\log z - \log y\log z$

$\Rightarrow \log P = 0$

যেহেতু $\log 1 = 0$, তাই $\log P = \log 1 \Rightarrow P = 1$

অতএব, $x^{\log y - \log z} \times y^{\log z - \log x} \times z^{\log x - \log y} = 1$ (প্রমাণিত)

ধরি, $P = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}$

উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে পাই:

$\log P = \log(x^{b+c}) + \log(y^{c+a}) + \log(z^{a+b})$

$\Rightarrow \log P = (b+c)\log x + (c+a)\log y + (a+b)\log z$

$\log x, \log y, \log z$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\log P = (b+c)k(b-c) + (c+a)k(c-a) + (a+b)k(a-b)$

$\Rightarrow \log P = k[(b+c)(b-c) + (c+a)(c-a) + (a+b)(a-b)]$

$\Rightarrow \log P = k[b^2 - c^2 + c^2 - a^2 + a^2 - b^2]$

$\Rightarrow \log P = k \times 0 = 0$

যেহেতু $\log 1 = 0$, তাই $P = 1$

ধরি, $Q = x^{b^2+bc+c^2} \cdot y^{c^2+ca+a^2} \cdot z^{a^2+ab+b^2}$

উভয়পক্ষে $\log$ নিয়ে পাই:

$\log Q = (b^2+bc+c^2)\log x + (c^2+ca+a^2)\log y + (a^2+ab+b^2)\log z$

$\log x, \log y, \log z$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\log Q = (b^2+bc+c^2)k(b-c) + (c^2+ca+a^2)k(c-a) + (a^2+ab+b^2)k(a-b)$

$\Rightarrow \log Q = k[(b-c)(b^2+bc+c^2) + (c-a)(c^2+ca+a^2) + (a-b)(a^2+ab+b^2)]$

আমরা জানি, $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$।

$\Rightarrow \log Q = k[b^3 - c^3 + c^3 - a^3 + a^3 - b^3]$

$\Rightarrow \log Q = k \times 0 = 0$

যেহেতু $\log 1 = 0$, তাই $Q = 1$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী,

$\log_2 \{\log_3 (4^x + 17)\} = 8^{\frac{1}{3}}$

$\Rightarrow \log_2 \{\log_3 (4^x + 17)\} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$

আবার লগ তুলে দিয়ে পাই,

$\log_3 (4^x + 17) = 2^2 = 4$

আবার লগ তুলে দিয়ে পাই,

$4^x + 17 = 3^4$

$\Rightarrow 4^x + 17 = 81$

$\Rightarrow 4^x = 81 - 17 = 64$

$\Rightarrow 4^x = 4^3$

নিধান পরিবর্তন সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$\frac{\log_2 x}{\log_2 8} + \frac{\log_2 x}{\log_2 4} + \log_2 x = 11$

$\Rightarrow \frac{\log_2 x}{3} + \frac{\log_2 x}{2} + \frac{\log_2 x}{1} = 11$

$\log_2 x$ কমন নিয়ে পাই:

$\log_2 x \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) = 11$

$\Rightarrow \log_2 x \left( \frac{2 + 3 + 6}{6} \right) = 11$

$\Rightarrow \log_2 x \left( \frac{11}{6} \right) = 11$

$\Rightarrow \log_2 x = 11 \times \frac{6}{11} = 6$

$\Rightarrow x = 2^6$

$\Rightarrow (\sqrt{x})^4 = 0.25$

$\Rightarrow x^2 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0.5$ (যেহেতু নিধান ধনাত্মক হয়)

সঠিক উত্তর: (a) 0.5

$\Rightarrow 7x - 5 = 10^2 = 100$

$\Rightarrow 7x = 105 \Rightarrow x = \frac{105}{7} = 15$

সঠিক উত্তর: (c) 15

$\log_8 27 = \log_{2^3} 3^3 = \frac{3}{3} \log_2 3 = 1 \times a = a$

সঠিক উত্তর: (d) a

$\log_{\sqrt{2}} x = a \Rightarrow x = (\sqrt{2})^a = 2^{\frac{a}{2}}$

$\log_{2\sqrt{2}} x = \log_{2^{\frac{3}{2}}} 2^{\frac{a}{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{3}{2}} \log_2 2 = \frac{a}{3}$

সঠিক উত্তর: (a) $\frac{a}{3}$

$\Rightarrow x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$

উভয়পক্ষকে $-3$ পাওয়ারে উন্নীত করে পাই,

$\Rightarrow (x^{-\frac{1}{3}})^{-3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3} \Rightarrow x^1 = 3^3 = 27$

সঠিক উত্তর: (a) 27

$= \log_4 \log_4 (\log_4 4^4)$

$= \log_4 \log_4 (4 \times 1) = \log_4 (\log_4 4)$

$= \log_4 (1)$

$= 0$

$= \log \left( \frac{a^n}{b^n} \times \frac{b^n}{c^n} \times \frac{c^n}{a^n} \right)$

$= \log (1)$

$= 0$

ধরি, $a^{\log_a x} = P$

উভয়পক্ষে $a$ নিধানের সাপেক্ষে $\log$ নিয়ে পাই:

$\log_a (a^{\log_a x}) = \log_a P$

$\Rightarrow \log_a x \cdot \log_a a = \log_a P$

$\Rightarrow \log_a x \cdot 1 = \log_a P$

$\Rightarrow \log_a x = \log_a P$

অতএব, $x = P$

ডানপক্ষ: $\log_{10} 16 \cdot \log_e 10 = \log_e 10 \cdot \log_{10} 16 = \log_e 16 = \log_e (2^4) = 4\log_e 2$

সুতরাং, সমীকরণটি হলো:

$\log_e 2 \cdot \log_x 25 = 4 \log_e 2$

উভয়পক্ষ থেকে $\log_e 2$ বাদ দিয়ে পাই (যেহেতু $\log_e 2 \neq 0$),

$\log_x 25 = 4$

$\Rightarrow x^4 = 25$

$\Rightarrow x^4 = (\sqrt{5})^4$

যেহেতু নিধান ধনাত্মক হতে হবে, তাই $x = \sqrt{5}$