প্রমাণ: $P = hdg$

ধরি, $d$ ঘনত্বের কোনো স্থির তরলের মুক্তপৃষ্ঠ থেকে $h$ গভীরতায় অনুভূমিকভাবে অবস্থিত একটি বিন্দুর চারপাশে $A$ ক্ষেত্রফল কল্পনা করা হল।

ওই $A$ ক্ষেত্রফলের ওপর তরল যে লম্ব বল (ঘাত) প্রয়োগ করবে তা হলো ওই ক্ষেত্রফলের ওপর দণ্ডায়মান তরলস্তম্ভের ওজনের সমান।
তরলস্তম্ভের আয়তন ($V$) = ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা = $A \times h$
তরলস্তম্ভের ভর ($m$) = আয়তন $\times$ ঘনত্ব = $A \times h \times d$
তরলস্তম্ভের ওজন (বল, $F$) = ভর $\times$ অভিকর্ষজ ত্বরণ = $A \times h \times d \times g$

আমরা জানি, চাপ ($P$) = বল / ক্ষেত্রফল
$P = \frac{F}{A}$
$P = \frac{A \times h \times d \times g}{A}$
$P = hdg$ (প্রমাণিত)

এর থেকে বোঝা যায়, স্থির তরলের চাপ গভীরতা, তরলের ঘনত্ব এবং অভিকর্ষজ ত্বরণের সমানুপাতিক।

ভাসন ও নিমজ্জনের শর্ত:

ধরি, কোনো বস্তুর নিজস্ব ওজন (যা খাড়া নীচের দিকে ক্রিয়া করে) = $W_1$
এবং বস্তুটি প্রবাহীতে সম্পূর্ণ নিমজ্জিত অবস্থায় যে পরিমাণ তরল অপসারণ করে তার ওজন অর্থাৎ প্লবতা (যা খাড়া ওপরের দিকে ক্রিয়া করে) = $W_2$

• শর্ত ১ (নিমজ্জন): $W_1 > W_2$
  বস্তুর ওজন প্লবতার চেয়ে বেশি হলে, লব্ধি বল ($W_1 - W_2$) নীচের দিকে কাজ করবে এবং বস্তুটি তরলে সম্পূর্ণ ডুবে পাত্রের তলায় পৌঁছাবে। (যেমন: লোহার টুকরো জলে ডোবে)।
• শর্ত ২ (তরলের অভ্যন্তরে ভাসন): $W_1 = W_2$
  বস্তুর ওজন এবং প্লবতা সমান হলে, লব্ধি বল শূন্য হবে। এক্ষেত্রে বস্তুটি তরলের মধ্যে সম্পূর্ণ নিমজ্জিত অবস্থায় যেকোনো গভীরতায় ভাসতে থাকবে।
• শর্ত ৩ (আংশিক নিমজ্জিত অবস্থায় ভাসন): $W_1 < W_2$ (সম্পূর্ণ ডোবা অবস্থায়)
  বস্তুর ওজন সম্পূর্ণ নিমজ্জিত অবস্থার প্লবতার চেয়ে কম হলে, ঊর্ধ্বমুখী লব্ধি বলের প্রভাবে বস্তুটি তরলের ওপর ভেসে উঠবে। বস্তুর কিছু অংশ তরলের ওপরে থাকবে এবং নিমজ্জিত অংশ ঠিক ততটাই তরল অপসারণ করবে যার ওজন বস্তুর মোট ওজনের সমান হবে। (যেমন: কাঠ জলে ভাসে)।

পৃষ্ঠটান (Surface Tension):

তরলের মুক্তপৃষ্ঠ সর্বদা একটি টানটান স্থিতিস্থাপক পর্দার ন্যায় আচরণ করে এবং তার ওপরিতলের ক্ষেত্রফলকে সম্ভাব্য সর্বনিম্ন করার চেষ্টা করে। তরলপৃষ্ঠের এই টান বা প্রবণতাকেই পৃষ্ঠটান বলে।

দৈনন্দিন জীবনের উদাহরণ:

1. বৃষ্টির ফোঁটা গোলাকার হওয়া: পৃষ্ঠটানের কারণে তরল তার ক্ষেত্রফল কমাতে চায়। নির্দিষ্ট আয়তনে গোলকের ক্ষেত্রফল সবচেয়ে কম, তাই বৃষ্টির ফোঁটা গোলাকার হয়।
2. রং করার ব্রাশ: রং করার ব্রাশ জলে ডুবিয়ে তুললে পৃষ্ঠটানের কারণে জলের মুক্তপৃষ্ঠ সংকুচিত হতে চায়, ফলে ব্রাশের রোঁয়াগুলি একসঙ্গে জড়ো হয়ে যায়।

পৃষ্ঠটান যেসব বিষয়ের ওপর নির্ভর করে:

• উষ্ণতা: উষ্ণতা বাড়লে পৃষ্ঠটান হ্রাস পায়।
• দ্রবীভূত পদার্থ: অজৈব পদার্থ (যেমন নুন) দ্রবীভূত থাকলে পৃষ্ঠটান বাড়ে, কিন্তু জৈব পদার্থ (যেমন সাবান) দ্রবীভূত থাকলে পৃষ্ঠটান কমে।
• তরলপৃষ্ঠের দূষণ: তরলের পৃষ্ঠ ধুলো-বালি বা তেল দ্বারা দূষিত হলে পৃষ্ঠটান কমে যায়।

বার্নউলির উপপাদ্য (Bernoulli's Theorem):

আদর্শ ও অসংনম্য তরলের ধারারেখ প্রবাহের ক্ষেত্রে, প্রবাহনালীর যেকোনো ছেদে তরলের একক আয়তনের স্থিতিশক্তি, গতিশক্তি এবং চাপশক্তির সমষ্টি সর্বদা ধ্রুবক থাকে।
সহজ কথায়, অনুভূমিক প্রবাহের ক্ষেত্রে যেখানে প্রবাহীর বেগ বেশি, সেখানে প্রবাহীর চাপ কম হয় এবং যেখানে বেগ কম, সেখানে চাপ বেশি হয়।

ট্রেনের উদাহরণে প্রয়োগ:

প্রবল বেগে কোনো ট্রেন স্টেশনে ঢুকলে ট্রেনের গায়ে সংলগ্ন বাতাসও ট্রেনের সাথে প্রচণ্ড বেগে ছুটে যায়। বার্নউলির উপপাদ্য অনুযায়ী, বায়ুপ্রবাহের বেগ বেশি হওয়ায় ট্রেনের চারপাশের অঞ্চলে বায়ুর চাপ অনেক কমে যায়।
কিন্তু প্ল্যাটফর্মে দাঁড়ানো যাত্রীদের পিছনের দিকের বাতাসের বেগ কম থাকায় সেখানে বায়ুর চাপ স্বাভাবিক (অর্থাৎ বেশি) থাকে। ফলে উচ্চচাপ অঞ্চল (পিছন দিক) থেকে নিম্নচাপ অঞ্চলের (ট্রেনের দিক) দিকে একটি ধাক্কা বা বল কাজ করে, যা যাত্রীদের ট্রেনের দিকে ঠেলে দেয় বা ঝুঁকে পড়ার প্রবণতা তৈরি করে। তাই দ্রুতগামী ট্রেন এলে প্ল্যাটফর্মের কিনারা থেকে দূরে দাঁড়ানো উচিত।

হুকের সূত্র (Hooke's Law):

বিজ্ঞানী রবার্ট হুকের সূত্রানুযায়ী, "স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে কোনো বস্তুর পীড়ন সর্বদা বিকৃতির সমানুপাতিক হয়।"
অর্থাৎ, পীড়ন $\propto$ বিকৃতি $\implies$ (পীড়ন / বিকৃতি) = ধ্রুবক।

পীড়ন (Stress):

বাহ্যিক বল প্রয়োগ করে কোনো স্থিতিস্থাপক বস্তুর আকার বা আয়তনের পরিবর্তন করলে, বস্তুর অভ্যন্তরে একক ক্ষেত্রফলে যে প্রতিরোধী বা প্রতিক্রিয়াবল সৃষ্টি হয়, তাকে পীড়ন বলে। (পীড়ন = বল / ক্ষেত্রফল)। একক: $N/m^2$।

বিকৃতি (Strain):

বাহ্যিক বলের প্রভাবে বস্তুর একক মাত্রায় (প্রাথমিক মাত্রার সাপেক্ষে) যে পরিবর্তন ঘটে, তাকে বিকৃতি বলে। এটি সমজাতীয় রাশির অনুপাত হওয়ায় এর কোনো একক নেই।

ইয়ং গুণাঙ্ক (Young's Modulus):

স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন এবং অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতির অনুপাত একটি ধ্রুবক হয়। এই ধ্রুবককে ওই পদার্থের উপাদানের ইয়ং গুণাঙ্ক বলে। এটি কেবল কঠিন পদার্থের ধর্ম।

সান্দ্রতা (Viscosity):

যে ধর্মের জন্য কোনো প্রবাহী (তরল বা গ্যাস) তার অভ্যন্তরের বিভিন্ন স্তরের আপেক্ষিক গতিকে বাধা দেয় (অর্থাৎ পাশাপাশি দুটি স্তরের মধ্যে ঘর্ষণ বল কাজ করে), প্রবাহীর সেই ধর্মকে সান্দ্রতা বলে।

প্রান্তীয় বেগ অর্জন:

কোনো গোলকাকার বস্তুকে কোনো সান্দ্র মাধ্যমের (যেমন গ্লিসারিন বা জল) মধ্যে ছেড়ে দিলে বস্তুটি অভিকর্ষের টানে নীচের দিকে পড়তে শুরু করে। এই সময় বস্তুর ওপর তিনটি বল কাজ করে:
১. বস্তুর ওজন (W) খাড়া নীচের দিকে।
২. প্লবতা (U) খাড়া ওপরের দিকে।
৩. মাধ্যমের সান্দ্রতাজনিত বল (F) খাড়া ওপরের দিকে, যা বস্তুর বেগের সাথে বাড়তে থাকে।

প্রাথমিক অবস্থায় $W > (U + F)$ হওয়ায় বস্তুটি ত্বরণ নিয়ে নীচে পড়ে এবং বেগ বাড়তে থাকে। বেগ বাড়ার সাথে সাথে সান্দ্রতা বল (F) বাড়তে থাকে। একসময় এমন অবস্থা আসে যখন ঊর্ধ্বমুখী মোট বল নিম্নমুখী ওজনের সমান হয়, অর্থাৎ $W = U + F$।
এই অবস্থায় বস্তুর ওপর কার্যকর লব্ধি বল শূন্য হয়ে যায়। ফলে বস্তুর ত্বরণ শূন্য হয় এবং বস্তুটি একটি ধ্রুবক বা স্থির বেগ নিয়ে নীচে নামতে থাকে। এই স্থির বেগকেই প্রান্তীয় বেগ বলে।

ব্যারোমিটারের কাজ:

টরেসেলির পরীক্ষা অনুযায়ী একটি 1 মিটার লম্বা একমুখ বন্ধ কাচনলে পারদ পূর্ণ করে সেটিকে একটি পারদপূর্ণ পাত্রে উলটে দিলে দেখা যায়, নলের ভেতরের পারদস্তম্ভ কিছুটা নীচে নেমে 76 cm উচ্চতায় স্থির হয়। পাত্রের খোলা পারদপৃষ্ঠের ওপর বায়ুমণ্ডলীয় চাপ এবং কাচনলের 76 cm পারদস্তম্ভের চাপ সমান হয়। এই নীতি কাজে লাগিয়ে ফর্টিন ব্যারোমিটার বা অ্যানিরয়েড ব্যারোমিটার তৈরি হয় যা বায়ুমণ্ডলীয় চাপ মাপে।

আবহাওয়ার পূর্বাভাস:

• পাঠ ধীরে ধীরে কমলে: বায়ুমণ্ডলে জলীয় বাষ্পের পরিমাণ বাড়লে বায়ুর চাপ কমে। তাই পাঠ ধীরে ধীরে কমলে বৃষ্টির সম্ভাবনা বোঝায়।
• পাঠ দ্রুত কমলে: এর অর্থ কোনো স্থানে দ্রুত নিম্নচাপের সৃষ্টি হয়েছে। এটি প্রবল ঝড় বা ঘূর্ণিঝড়ের পূর্বাভাস দেয়।
• পাঠ ধীরে ধীরে বাড়লে: এর অর্থ বাতাস শুষ্ক ও ভারী হচ্ছে, যা পরিষ্কার ও শুষ্ক আবহাওয়ার ইঙ্গিত দেয়।
• পাঠ দ্রুত বাড়লে: এটি বায়ুর শুষ্কতা দ্রুত বৃদ্ধির লক্ষণ এবং পরিষ্কার রোদেলা আবহাওয়ার পূর্বাভাস।

প্লবতা (Buoyancy):

কোনো বস্তুকে প্রবাহীতে (তরল বা গ্যাসে) আংশিক বা সম্পূর্ণ নিমজ্জিত করলে ওই প্রবাহী বস্তুর ওপর একটি ঊর্ধ্বমুখী লব্ধি বল প্রয়োগ করে। প্রবাহী কর্তৃক প্রযুক্ত এই ঊর্ধ্বমুখী বলকেই প্লবতা বলে।

প্লবতার বৈশিষ্ট্য:

• ১. প্লবতা সর্বদা বস্তুর নিজস্ব ওজনের বিপরীতে (খাড়া ওপরের দিকে) কাজ করে।
• ২. প্লবতার মান বস্তু কর্তৃক অপসারিত প্রবাহীর ওজনের সমান হয় (আর্কিমিডিসের নীতি)।
• ৩. অপসারিত প্রবাহীর ভারকেন্দ্র (যাকে প্লবতা কেন্দ্র বলে) দিয়েই প্লবতা বল কাজ করে।

নির্ভরশীলতা:

প্লবতা ($=$ অপসারিত তরলের ওজন $= Vdg$) প্রধানত দুটি বিষয়ের ওপর নির্ভর করে:
১. নিমজ্জিত বস্তুর আয়তন (V): বস্তুর যে অংশ প্রবাহীতে ডুবে থাকে, তার আয়তন যত বেশি হবে, প্লবতা তত বেশি হবে।
২. প্রবাহীর ঘনত্ব (d): যে প্রবাহীতে বস্তু ডোবানো হয় তার ঘনত্ব যত বেশি হবে, প্লবতা তত বেশি হবে। (এই কারণেই নদীর জলের চেয়ে সমুদ্রের নোনা জলে সাঁতার কাটা সহজ)।

ইয়ং গুণাঙ্কের গাণিতিক রূপ:

ধরি, $L$ প্রাথমিক দৈর্ঘ্য এবং $A$ প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি তারের একপ্রান্ত দৃঢ়ভাবে আটকে অপর প্রান্তে অনুদৈর্ঘ্য বল $F$ প্রয়োগ করা হলো। এর ফলে তারটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পেয়ে $l$ হলো।

এখানে,
অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন = বল / ক্ষেত্রফল = $\frac{F}{A}$
অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতি = দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন / প্রাথমিক দৈর্ঘ্য = $\frac{l}{L}$

হুকের সূত্রানুসারে, স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে,
ইয়ং গুণাঙ্ক ($Y$) = $\frac{\text{অনুদৈর্ঘ্য পীড়ন}}{\text{অনুদৈর্ঘ্য বিকৃতি}}$

অতএব, $Y = \frac{F/A}{l/L}$
$Y = \frac{F \times L}{A \times l}$

যদি তারটির ব্যাসার্ধ $r$ হয়, তবে প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$ এবং ভর $m$ চাপালে বল $F = mg$।
সেক্ষেত্রে সমীকরণটি হবে:
$Y = \frac{mgL}{\pi r^2 l}$

সাইফন:

সাইফন হলো একটি উলটানো 'U' আকৃতির নল (সাধারণত রবার বা প্লাস্টিকের), যার সাহায্যে বায়ুমণ্ডলীয় চাপকে কাজে লাগিয়ে পাত্র না নড়িয়ে তরলকে উচ্চতলের পাত্র থেকে নিম্নতলের পাত্রে স্থানান্তরিত করা হয়।

কার্যনীতি:

ধরি, সাইফন নলের ছোট বাহু উচ্চপাত্রে এবং বড় বাহু নিম্নপাত্রে আছে। সম্পূর্ণ নলটি তরল দ্বারা পূর্ণ থাকলে, ছোট বাহুর তরলপৃষ্ঠের ওপর চাপ বায়ুমণ্ডলীয় চাপের সমান হয়, কিন্তু উচ্চতার পার্থক্যের জন্য বড় বাহুর উন্মুক্ত প্রান্তে তরলের চাপ বায়ুমণ্ডলীয় চাপের চেয়ে বেশি হয়ে যায়। ফলে চাপের এই পার্থক্যের কারণে তরল ছোট বাহু দিয়ে উঠে বড় বাহু দিয়ে তীব্র বেগে বেরিয়ে নিম্নপাত্রে জমা হতে থাকে, যতক্ষণ না উভয় পাত্রের তরলতল সমান হয়।

সাইফন ক্রিয়ার শর্ত:

• ১. তরল স্থানান্তরের জন্য দুটি পাত্রের তরলতলের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য থাকতে হবে।
• ২. সাইফন নলটিকে সম্পূর্ণভাবে ওই তরল দ্বারা পূর্ণ থাকতে হবে, নলের ভেতর বায়ু থাকলে চলবে না।
• ৩. নলের ছোট বাহুর উচ্চতা ওই স্থানে বায়ুমণ্ডলীয় চাপ দ্বারা সৃষ্ট তরলস্তম্ভের উচ্চতার (জলের ক্ষেত্রে প্রায় 10.3 মিটার) চেয়ে কম হতে হবে।
• ৪. সাইফন বায়ুশূন্য স্থানে কাজ করে না, বায়ুমণ্ডলীয় চাপ থাকা বাধ্যতামূলক।